《2022年高中數(shù)學人教B版選修4-4教學案：第一章 1-3 曲線的極坐標方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高中數(shù)學人教B版選修4-4教學案：第一章 1-3 曲線的極坐標方程（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高中數(shù)學人教B版選修4-4教學案：第一章 1-3 曲線的極坐標方程 [對應學生用書P8] [讀教材·填要點] 1．曲線的極坐標方程 在給定的平面上的極坐標系下，有一個二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲線C是由極坐標(ρ，θ)滿足方程的所有的點組成的，則稱此二元方程F(ρ，θ)＝0為曲線C的極坐標方程． 2．直線的極坐標方程 (1)當直線l過極點，從極軸到l的角是θ0，則l的方程為θ＝θ0. (2)當直線l過點M(d,0)且垂直于極軸時，l的方程為ρcos θ＝d. (3)當直線l過點M(d，)，且平行于極軸時，l的方程為ρsin_θ＝d. (4)極點到直線l

2、的距離為d，極軸到過極點的直線l的垂線的角度為α，此時直線l的方程為ρcos_(α－θ)＝d. [小問題·大思維] 1．在直角坐標系中，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程．那么，在極坐標系中，曲線上一點的所有極坐標是否一定都適合方程？ 提示：在直角坐標系內(nèi)，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，可是在極坐標系內(nèi)，曲線上一點的所有坐標不一定都適合方程．例如，給定曲線ρ＝θ，設點P的一極坐標為，那么點P適合方程ρ＝θ，從而是曲線上的一個點，但點P的另一個極坐標就不適合方程ρ＝θ了．所以在極坐標系內(nèi)，確定某一個點P是否在某一曲線C上，只需判斷點P的極坐標中是否有一對坐標適合曲線C的方程即可．

3、2．在直線的極坐標方程中，ρ的取值范圍是什么？ 提示：ρ的取值范圍是全體實數(shù)． [對應學生用書P8] 極坐標方程與直角坐標方程的互化 [例1]　進行直角坐標方程與極坐標方程的互化： (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； (3)ρcos2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝. [思路點撥]　本題考查極坐標與直角坐標的互化公式． [精解詳析]　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化簡，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋

4、x2－2x－1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0. 化簡，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos2＝1， ∴ρ·＝1， 即ρ＋ρcos θ＝2 ∴＋x＝2. 化簡，得y2＝－4(x－1)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4， 即x2－y2＝4. (5)∵ρ＝， ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2－x＝1. 化簡，得3x2＋4y2－2x－1＝0. 直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相

5、對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗． 1．求極坐標方程ρcos＝1所表示的直角坐標方程． 解：將ρcos＝1化為ρcos θ＋ρsin θ＝1. 將ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式，得x＋＝1， 即x＋y－2＝0. 求曲線的極坐標方程 [例2]　在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交

6、點． (1)寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標； (2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程． [思路點撥]　(1)利用兩角差余弦公式展開，結(jié)合互化公式可得直角坐標方程． (2)先求出P點的直角坐標，再求出OP的極坐標方程． [精解詳析]　(1)由ρcos＝1 得ρ＝1. 從而C的直角坐標方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2. 當θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)． 當θ＝時，ρ＝，所以N. (2)∵M點的直角坐標為(2,0)， N點的直角坐標為， 所以P點的直角坐標為. 則P點的極坐標為，所以直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 2．設M是定圓O內(nèi)一

7、定點，任作半徑OA，連接MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P點的軌跡方程． 解：以O為極點，射線OM為極軸，建立極坐標系，如圖． 設定圓O的半徑為r，OM＝a，P(ρ，θ)是軌跡上任意一點． ∵MP⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝|PA|2. 由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcos θ， |MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ， 由此可得a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2. 整理化簡，得ρ＝. 求直線的極坐標方程 [例3]　求出下列直線的極坐標方程： (1)過定點M(ρ0，θ0)，且與

8、極軸成α弧度的角； (2)過定點M(ρ0，θ0)，且與直線θ＝θ0垂直． [思路點撥]　本題考查直線的極坐標方程的求法．解答本題需要根據(jù)已知條件畫出極坐標系，然后借助平面幾何的知識建立ρ與θ間的關系． [精解詳析]　(1)設P(ρ，θ)為直線上任意一點(如圖)，且記∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2， 則∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)． 在△OMP中應用正弦定理得 ＝， 即ρ＝ρ0·＝ρ0·. 即直線方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)設P(ρ，θ)為直線上任意一點(如圖所示)，△OMP為直角三角形，顯然有ρcos (θ－θ0)＝ρ0.這就是所求直

9、線方程． 求直線極坐標方程的步驟： (1)設(ρ，θ)為直線上任一點的極坐標． (2)寫出動點滿足的幾何條件． (3)把上述條件轉(zhuǎn)化為ρ，θ的等式． (4)化簡整理． 3．求過A且和極軸所成角為的直線方程． 解：如圖所示，A， 即|OA|＝3，∠AOB＝. 設M(ρ，θ)為直線上任一點， 由已知得∠MBx＝， ∴∠OAB＝－＝. ∴∠OAM＝π－＝.∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ.在△MOA中，根據(jù)正弦定理，得＝. sin＝sin＝， 將sin展開，化簡上面的方程， 可得ρ(sin θ＋cos θ)＝＋. ∴過A且和極軸所成角為的直線方程為 ρ(si

10、n θ＋cos θ)＝＋. [對應學生用書P10] 一、選擇題 1．極坐標方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲線是(　　) A．余弦曲線　　　　　　　　 B．兩條相交直線 C．一條射線 D．兩條射線 解析：選D　∵cos θ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝表示兩條射線． 2．在極坐標系中與曲線C：ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2 C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin 解析：選A　ρ＝4sin θ的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程為x＝2，圓

11、x2＋(y－2)2＝4與直線x＝2顯然相切． 3．直線θ＝α和直線ρsin(θ－α)＝1的位置關系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 解析：選B　直線θ＝α化為直角坐標方程為y＝xtan α，ρsin(θ－α)＝1化為ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtan α＋.所以兩直線平行． 4．過點A(5,0)和直線θ＝垂直的直線的極坐標方程是(　　) A．ρsin＝5 B．ρcos＝ C．ρsin＝ D．ρsin＝ 解析：選C　直線θ＝即直線y＝x，∴過點A(5,0)和直線θ＝垂直的直線方程為y＝－x＋5，其極坐標方程為

12、ρsin＝. 二、填空題 5．在極坐標系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點到直線l的距離為________． 解析：將直線l的極坐標方程ρsin θ＝3化為直角坐標方程為y＝3，點在直角坐標系中為(，1)，故點到直線l的距離為2. 答案：2 6．在極坐標系中，圓ρ＝4被直線θ＝分成兩部分的面積之比是________． 解析：∵直線θ＝過圓ρ＝4的圓心，∴直線把圓分成兩部分的面積之比是1∶1. 答案：1∶1 7．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極坐標為________． 解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin

13、θ， 其普通方程為x2＋y2＝2y. ρcos θ＝－1的普通方程為x＝－1. 聯(lián)立解得 點(－1,1)的極坐標為. 答案： 8．在極坐標系中，定點A(1，)，點B在直線l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上運動．當線段AB最短時，點B的極坐標是________． 解析：將ρcos θ＋ρsin θ＝0化為直角坐標方程為x＋y＝0，點A化為直角坐標得A(0,1)．如圖，過A作AB⊥直線l于B.因為△AOB為等腰直角三角形，又因為|OA|＝1， 則|OB|＝，θ＝，故B點的極坐標是B. 答案： 三、解答題 9．求過(－2,3)點且斜率為2的直線的極坐標方程． 解：由題意知，

14、直線的直角坐標方程為y－3＝2(x＋2)， 即2x－y＋7＝0. 設M(ρ，θ)為直線上任意一點， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐標方程 2x－y＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0. 這就是所求的極坐標方程． 10．在極坐標系中，曲線C：ρ＝10cos θ和直線l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A，B兩點，求線段|AB|的長． 解：分別將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程： 圓C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圓心C(5,0)． 直線l：3x－4y－30＝0. 因為圓心C到直線l的距離d＝＝3， 所以

15、|AB|＝2＝8. 11．如圖，點A在直線x＝4上移動，△OPA為等腰直角三角形，△OPA的頂角為∠OPA(O，P，A依次按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程，并判斷軌跡形狀． 解：取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系，則直線x＝4的極坐標方程為ρcos θ＝4. 設A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)． ∵點A在直線ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ0＝4.① ∵△OPA為等腰直角三角形，且∠OPA＝， 而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝， ∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.② 把②代入①，得點P的軌跡的極坐標方程為 ρcos＝4. 由ρcos＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4. ∴點P軌跡的普通方程為x＋y＝4，是過點(4,0)且傾斜角為的直線．