4、－b＝0
[化解疑難]
1．上面的“?”表示“等價于”，即可以互相推出．
2．“?”右邊的式子反映了實數(shù)的運算性質(zhì)，左邊的式子反映的是實數(shù)的大小順序，二者結(jié)合起來即是實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關系.
不等式的基本性質(zhì)
[提出問題]
問題1：若a>b，b>c，則a>c，對嗎？為什么？
提示：正確．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴(a－b)＋(b－c)>0.即a－c>0.∴a>c.
問題2：若a＞b，則a＋c＞b＋c，對嗎？為什么？
提示：正確．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0
即a＋c＞b＋c.
問題3：若a＞b，則ac＞bc，對嗎
5、？試舉例說明．
提示：不一定正確，若a＝2，b＝1，c＝2正確．c＝－2時不正確．
[導入新知]
不等式的性質(zhì)
(1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.
推論(同向可加性)：?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：?ac>bc；?acbd；
(5)正數(shù)乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正數(shù)開方性：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)．
[化解疑難]
1．在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件．不可強化或弱化成立的條件．
2．要注意“
6、箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性．
用不等式(組)表示不等關系
[例1] 某礦山車隊有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．
[解] 設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．由題意得
即
[類題通法]
用不等式表示不等關系的方法
(1)認真審題，設出所求量，并確認所求量滿足的不等關系．
(2)找出體現(xiàn)不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等
7、．用代數(shù)式表示相應各量，并用關鍵詞連接．特別需要考慮的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．
[活學活用]
1．用不等式(組)表示下列問題中的不等關系：
(1)限速80 km/h的路標；
(2)橋頭上限重10 噸的標志；
(3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.
解：(1)設汽車行駛的速度為v km/h，
則v≤80.
(2)設汽車的重量為ω噸，則ω≤10.
(3)
比較兩數(shù)(式)的大小
[例2] 比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小：
(1)x2＋3與2x；
(2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋a
8、b2的大小．
[解] (1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3
＝2＋2≥2＞0，
∴x2＋3＞2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
[類題通法]
比較兩個代數(shù)式大小的步驟
(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；
(2)變形：對差進行變形；
(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設條件判斷差
9、的符號；
(4)作出結(jié)論．
這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提．
[活學活用]
2．比較x3＋6x與x2＋6的大?。?
解：(x3＋6x)－(x2＋6)
＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)
＝(x－1)(x2＋6)
∵x2＋6＞0.
∴當x＞1時，(x－1)(x2＋6)＞0，
即x3＋6x＞x2＋6.
當x＝1時，(x－1)(x2＋6)＝0，
即x3＋6x＝x2＋6.
當x＜1時，(x－1)(x2＋6)＜0，
即x3＋6x＜x2＋6.
不等式的性質(zhì)
[例3] 已知a＞b＞
10、0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞.
[證明] ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，
∴＞.
[類題通法]
利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用．
(2)應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.
[活學活用]
3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求證：n－ap＜
11、m－bp.
證明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.
∴－ap＜－bp，
又m＞n，即n＜m.
∴n－ap＜m－bp.
[典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8.試求2a＋3b與a－b的取值范圍．
[解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，
∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范圍是(8,32)，a－b的取值范圍是(－7,2)．
【探究一】
利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍要
12、注意：同向不等式的兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．
【探究二】
同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應用時，要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍，注意變形的等價性．在本例條件下，求的取值范圍．
[解]∵2＜b＜8，∴＜＜，
而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范圍是(，2)．
[探究三]
不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號方向不變，同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，求解中，應明確所乘數(shù)的正負．
例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范圍．
解：因－6＜a＜8,2＜b＜3
13、.
∴＜＜，
(1)當0≤a＜8時，0≤＜4；
(2)當－6＜a＜0時，－3＜＜0.
由(1)(2)得：－3＜＜4.
[探究四]
利用不等式性質(zhì)求范圍，應注意減少不等式使用次數(shù)．
[例] 已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍．
[解] 設a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1.
(注：本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)
[隨堂即時演練]
1．完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500無，請瓦工共需付工資
14、每人400元，現(xiàn)有工人工資預算20 000元，設木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關系式是( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：選D 據(jù)題意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故選D.
2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M≥－5 D．M≤－5
解析：選A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5
＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，
∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(
15、x＋2)2＋(y－1)2＞0.
故M＞－5.
3．如果a＞b，那么c－2a與c－2b中較大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0.
答案：c－2b
4．若－10＜a＜b＜8，則|a|＋b的取值范圍是________．
解析：∵－10＜a＜8，
∴0≤|a|＜10，
又－10＜b＜8，
∴－10＜|a|＋b＜18.
答案：(－10,18)
5．(1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大??；
(2)若－1＜a＜b＜0，試比較，，a2，b2的大?。?
解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2
16、(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
∵x≤1，∴x－1≤0.
又3x2＋1＞0，
∴(x－1)(3x2＋1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
(2)∵－1＜a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0，
∴a2＞b2＞0.
∵a＜b＜0，
∴a·＜b·＜0，
即0＞＞，
∴a2＞b2＞＞.
[課時達標檢測]
一、選擇題
1．設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．與x有關
解析：選A M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0.
∴M＞N.
2．某校對高一美術生劃定錄取分數(shù)線，專業(yè)成績x不低于95分
17、，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式(組)表示就是( )
A. B.
C. D．
解析：選D 由題中x不低于95即x≥95，
y高于380即y>380，
z超過45即z>45.
3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，則( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：選D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
4．設α∈，β∈，則2α－的范圍是( )
A. B．
C. D．
解析：選D 0＜2α＜π，0≤≤，
∴
18、－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，則a＞c
B．若a＞－b，則c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，則＞
D．若a2＞b2，則－a＜－b
解析：選B 選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立，選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D只有a＞b＞0時才可以．否則如a＝－1，b＝0時不成立，故選B.
二、填空題
6．比較大?。篴2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋
19、c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
7．已知|a|＜1，則與1－a的大小關系為________．
解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝
∵0＜1－a2≤1，
∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
8．某公司有20名技術人員，計劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預計產(chǎn)值如下：
產(chǎn)品種類
每件需要人員數(shù)
每件產(chǎn)值(萬元/件)
A類
7.5
B類
6
今制定計劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應生產(chǎn)
20、________件，最高產(chǎn)值為________萬元．
解析：設應開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則＋≤20，解得x≤20.
由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
當且僅當x＝20時，y取最大值330.
所以應開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元．
答案：20 330
三、解答題
9．某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人；每個工人的年工作時間約為2 100 h；預計此產(chǎn)品明年的銷售量至少為80 000袋；生產(chǎn)每袋需用4 h；生產(chǎn)每袋需用原料20 kg；年底庫存
21、原料600 t，明年可補充1 200 t．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預測明年的產(chǎn)量．
解：設明年的產(chǎn)量為x袋，則，
解得80 000≤x≤90 000.
預計明年的產(chǎn)量在80 000到90 000袋之間．
10．(1)a＜b＜0，求證：＜；
(2)已知a＞b，＜，求證：ab＞0.
證明：(1)由于－＝
＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，
∴－＜0，
即＜0，而a＞b，
∴b－a＜0，∴ab＞0.
_3.2一元二次不等式及其解法
第一課時 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的概念
[提出問題]
22、
觀察下列不等式：
(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.
問題1：以上給出的3個不等式，它們含有幾個未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？
提示：它們只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是2.
問題2：上述三個不等式在表達形式上有何共同特點？
提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0.
[導入新知]
1．一元二次不等式
我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式
23、的解與解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集.
[化解疑難]
1．定義的簡單應用：判斷一個不等式是否為一元二次不等式，應嚴格按照定義去判斷，即未知數(shù)只有1個，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且最高次的系數(shù)不能為0.
2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式.
一元二次不等式的解法
[提出問題]
已知：一元二次函數(shù)y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.
問題1：試求二次函數(shù)與x軸交點坐標
提示：(0,0)、(2,0)
問題2：一元二次方程根是什么？
24、提示：x1＝0，x2＝2.
問題3：問題1中的坐標與問題2中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？
提示：交點的橫坐標為方程的根．
問題4：觀察二次函數(shù)圖象，x滿足什么條件，圖象在x軸上方？
提示：x＞2或x＜0.
問題5：能否利用問題4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？
提示：能，不等式的解集為{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}．
[導入新知]
一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的關系如表
判別式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有兩相異實根x1，x2，(x1＜x2)
有兩相等實根x1＝
25、x2＝－
沒有實數(shù)根
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
?
?
[化解疑難]
一元二次方程的根對應于二次函數(shù)圖象與x軸的交點，一元二次不等式的解對應于二次函數(shù)圖象在x軸上方(下方)，或在x軸上的點，由此得出二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點情況確定的一元二次不等式的圖象解法，這樣就形成了二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合的解一元二次不等式的方法．
一元二次不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2
26、)x2－4x－5≤0；
(3)－4x2＋18x－≥0；
(4)－x2＋3x－5＞0；
(5)－2x2＋3x－2＜0.
[解] (1)因為Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為{x|x＞－，或x＜－3}．
(2)原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為.
(4)原不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實根，又二次
27、函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為?.
(5)原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.
[類題通法]
解一元二次不等式的一般步驟
(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；
(2)計算對應方程的判別式；
(3)求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；
(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．
[活學活用]
1．解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.
(3
28、)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，
x2＝6.
結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化為x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－7x＋6的圖象知，原不等式的解集為
{x|10.
方程(x－2)(x＋3)＝0兩根為2和－3.
結(jié)合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}．
29、
(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等價于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－12x＋4的圖象知，原不等式的解集為{x|x≠}.
解含參數(shù)的一元二次不等式
[例2] 解關于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1，x2＝a，函數(shù)y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開口向上，則當a＜－1時，原不等式解集為{x|a＜x＜－1}；
當a＝－1時，原不等式解集為?；
當a＞－1時，原不等式解集為{x|－1＜x＜a}．
[類題通法]
解含參數(shù)的
30、一元二次不等式時：
(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0與小于0進行討論；
(2)若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；
(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．
[活學活用]
2．解關于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化為：
(ax＋1)(x－1)＜0，
當a＝0時，x＜1，
當a＞0時(x－1)＜0
∴－＜x＜1.
當a＝－1時，x≠1，
當－1＜a＜0時，(x－1)＞0，
∴x＞－或x＜1.
當a＜－1時，－＜1，
∴x＞1或x＜－，
綜上原不等式的解集是：
當a＝0時，
31、{x|x＜1}；
當a＞0時，；
當a＝－1時，{x|x≠1}；
當－1＜a＜0時，
.
當a＜－1時，，
一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的關系
[例3] 已知關于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求關于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
[解] ∵x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，
∴1,2是x2＋ax＋b＝0的兩根．
由韋達定理有
得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集為∪(1，＋∞)．
[類題通法]
1．一元二次
32、不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的橫坐標．
2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．
[活學活用]
3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－和2.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－和2，
由根與系數(shù)的關系，得
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，
33、ax2＋bx－1＞0可變?yōu)椋?x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集為{x|＜x＜1}．
[典例] 已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
[解題流程]
[規(guī)范解答]
由題意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，(2分)
且a＜0，故，(4分)
解得a＝c，b＝c.(6分)
所以不等式ax2－bx＋c＞0即為2x2－5x＋2＜0，(8分)
解得＜x＜2.
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集為.(12分)
[
34、名師批注]
不注意判斷a的符號，誤認為a＞0.
學生常出現(xiàn)解集不用集合表示的失誤．
[活學活用]
已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集為，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解：因為x2＋px＋q＜0的解集為，所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個實數(shù)根，
由根與系數(shù)的關系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即為－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．
[隨堂即時演練]
1．不等式x(2－x)＞0的解集為( )
A．{x|x＞0} B．{x
35、|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
解析：選D 原不等式化為x(x－2)＜0，故0＜x＜2.
2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，
則M∩N為( )
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
解析：選A ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}
＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．
3．二次函數(shù)y＝x2－4x＋3在y
36、＜0時x的取值范圍是________．
解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，
∴1＜x＜3
答案：(1,3)
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則實數(shù)a＝________，實數(shù)b＝________.
解析：由題意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個根．
由根與系數(shù)的關系得
解得a＝－2，b＝3.
答案：－2 3
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2＞2(x－1)．
解：(1)原不等式可化為x2－7x＋12≤0，因為方程x2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化為
37、x2－2x＋2＞0，
因為判別式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0無實根，而拋物線y＝x2－2x＋2的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為R.
[課時達標檢測]
一、選擇題
1．下列不等式①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有( )
A．5個 B．4個
C．3個 D．2個
解析：選D 根據(jù)一元二次不等式的定義知①②正確．
2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B．
C．? D．
解析：選D 不等式可化為(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－，即解
38、集為，故選D.
3．設集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，則( )
A．M∩N＝? B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解析：選B ∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，
∴MN，即M∩N＝M.
4．關于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全體實數(shù)的條件是( )
A. B．
C. D．
解析：選D 由于不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為全體實數(shù)，所以，與之相對應的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方，則有
5．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－2
39、2或x>2}
C．{x|－11}
解析：選A 令t＝|x|，則原不等式可化為
t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.
∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2.
∴|x|<2，得－2
40、：{x|0＜x＜1}
8．已知2a＋1＜0，關于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是________．
解析：∵方程x2－4ax－5a2＝0的兩個根為x1＝－a，x2＝5a，
又∵2a＋1＜0，即a＜－，∴x1＞x2.
故原不等式解集為{x|5a＜x＜－a}．
答案：{x|5a＜x＜－a}
三、解答題
9．已知ax2＋2x＋c＞0的解集為，試求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a＞0.
解：由ax2＋2x＋c＞0的解集是，知a＜0，且方程ax2＋2x＋c＝0的兩根為x1＝－，x2＝，由根與系數(shù)的關系知
解得a＝－12，c＝2.
此時，－cx2＋2x－a＞0，即2x
41、2－2x－12＜0，
其解集為{x|－2＜x＜3}．
10．解關于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
解：原不等式移項得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化簡為(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0.
當－2
42、之間的關系？
2．判別式Δ的值對一元二次不等式的解集有何影響？
43、
簡單的分式不等式
[例1] 解下列不等式
(1)<0；(2)≤2.
[解] (1)由<0，得>0，
此不等式等價于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．
(2)法一：移項得－2≤0，
左邊通分并化簡有≤0，即≥0，
它的同解不等式為
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}．
法二：原不等式可化為≥0，
此不等式等價于①
或②
解①得x≥5，解②得x<2，
∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}．
[類題通法]
1
44、．對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
2．對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
[活學活用]
1．解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
解：(1)原不等式等價于
即?－2≤x<3.
∴原不等式的解集為{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化為－1>0，即<0.
等價于(3x－2)(4x－3)<0.
∴
45、m＜x2＋1對x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
[解] 原不等式等價于mx2＋mx＋m－1＜0，對x∈R恒成立，
當m＝0時，0·x2＋0·x－1＜0對x∈R恒成立．
當m≠0時，由題意，得
?
??m＜0.
綜上，m的取值范圍為m≤0.
[類題通法]
不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為?的條件為
[活學活用]
2．若關于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：當
46、a＝0時，原不等式可化為2x＋2＞0，其解集不為R，故a＝0不滿足題意，舍去；
當a≠0時，要使原不等式的解集為R，只需
解得a＞.
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為.
一元二次不等式的實際應用
[例3] 某農(nóng)貿(mào)公司按每擔200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬擔，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點，預測收購量可增加2x個百分點．
(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關系式；
(2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．
[解] (1)降低稅率后的稅
47、率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔，收購總金額為200a(1＋2x%)．
依題意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(2)原計劃稅收為200a·10%＝20a(萬元)．
依題意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化簡得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤2.
∴x的取值范圍是{x|0＜x≤2}．
[類題通法]
用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟是：
(1)理解題意，搞清量與量之間的關系；
(2)建立相應的不等關系，把實際
48、問題抽象為數(shù)學中的一元二次不等式問題；
(3)解這個一元二次不等式，得到實際問題的解．
[活學活用]
3．某校園內(nèi)有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．
解：設花卉帶的寬度為x m，則中間草坪的長為(800－2x) m，寬為(600－2x) m．根據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去．
故
49、所求花卉帶寬度的范圍為(0,100] m.
[典例] 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，
如果對一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
[解] 由題意可知，只有當二次函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的圖象與直角坐標系中的x軸無交點時，才滿足題意，
則其相應方程x2＋2(a－2)＋4＝0此時應滿足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4.
故a的取值范圍是{a|0＜a＜4}．
【探究一】 解決此類問題要注意三個“二次”之間的相互聯(lián)系，并能在一定條件下相互轉(zhuǎn)換，若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以
50、根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的范圍．
【探究二】 若x2的系數(shù)為參數(shù)，應參考本節(jié)例2及變式的解法．
【探究三】 對于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，應利用函數(shù)圖象．如：
是否存在實數(shù)a，使得對任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由．
[解] 若對任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，則滿足題意的函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的圖象如圖所示．
由圖象可知，此時a應該滿足
即解得
這樣的實數(shù)a是不存在的，所以不存在實數(shù)a滿足：對任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
【探究
51、四】 對此類問題，要弄清楚哪個是參數(shù)，哪個是自變量．如：
已知函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4，對任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，試求x的取值范圍．
解：原函數(shù)可化為g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是關于a的一元一次函數(shù)．
要使對任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需滿足即
因為x2－2x＋4＜0的解集是空集，
所以不存在實數(shù)x，
使函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4，對任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
[隨堂即時演練]
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，則A∩B＝( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
52、
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：選B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集為空集，則a的取值范圍是( )
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a(chǎn)≤－4或a≥4 D．a(chǎn)＜－4或a＞4
解析：選A 依題意應有Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4，故選A.
3．不等式≤3的解集為________．
解析：≤3?－3≤0?≥0?x(2x－1)≥0且x≠0?x<0或x≥.
答案：
4．若函數(shù)f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定義域為R，則a的取值范圍為_
53、_______．
解析：已知函數(shù)定義域為R，即x2－2ax－a＞0
對任意x∈R恒成立．
∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.
解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
5．你能用一根長為100 m的繩子圍成一個面積大于600 m2的矩形嗎？
解：設圍成的矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50－x) m，且0＜x＜50.
由題意，得圍成矩形的面積S＝x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，當矩形一邊的長在(20,30)的范圍內(nèi)取值時，能圍成一個面積大于600 m2的矩形．
[課時達標檢測]
一、選擇題
1．不等式＞0的解集是(
54、)
A. B．
C. D．
解析：選A?。??(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集為.
2．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a＞0}，A∩B＝?，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)≥3
C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)≤3
解析：選B A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}，因為A∩B＝?，所以a≥3.故選B.
3．已知關于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關于x的不等式>0的解集是( )
A. B．
C. D．
解析：選A 依題意，
55、a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－)(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
4．設集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立}，則下列關系式中成立的是( )
A．PQ B．QP
C．P＝Q D．P∩Q＝?
解析：選A 當m＝0時，－4＜0對任意實數(shù)x∈R恒成立；當m≠0時，由mx2＋4mx－4＜0對任意實數(shù)x∈R恒成立可得．
解得－1＜m＜0，
綜上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，
∴PQ，故選A.
5．已知關于x的不等式x2－4x≥m對任意x∈(0,1]恒成立，則有(
56、)
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m＜0 D．m≥－4
解析：選A 令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上為減函數(shù)，當x＝1時，f(x)最小值＝－3，所以m≤－3.
二、填空題
6．若a＜0，則不等式＞0的解集是________．
解析：原不等式可化為(x－4a)(x＋5a)＞0，
由于a＜0，所以4a＜－5a，
因此原不等式解集為{x|x＜4a，或x＞－5a}．
答案：{x|x＜4a，或x＞－5a}
7．若關于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，則m的取值范圍是________．
解析：假設原不等式的解集為空集．當m＝0時，原不等式
57、化為1＜0，此時不等式無解，滿足要求．當m≠0時，即
∴0＜m≤4.綜上可得0≤m≤4.故當原不等式的解集不是空集時，有m＜0或m＞4.
答案：m＜0或m＞4
8．有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿，此時桶中的農(nóng)藥不超過容積的28%，則桶的容積的取值范圍是________．
解析：設桶的容積為x升，那么第一次倒出8升純農(nóng)藥液后，桶內(nèi)還有(x－8)(x>8)升純農(nóng)藥液，用水補滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度.
第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為升，此時桶內(nèi)有純農(nóng)藥液[(x－8)－]升．
依題意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>0，因而原不等式化簡為
58、
9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
解得≤x≤.又∵x>8，∴8
59、(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．
解：法一：令g(x)＝f(x)－a＝x2－2ax＋2－a，x∈[－1，＋∞)，因此當x∈[－1，＋∞)時要使f(x)≥a恒成立，只要不等式x2－2ax＋2－a≥0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象(如圖)．
∴Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
法二：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a.
當a∈(－∞，－1]時，
結(jié)合圖象知f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)最小值＝f(－1)＝2a＋3.
∴要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)最小值≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a≤－1.
當a∈(－1
60、，＋∞)時，f(x)最小值＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1＜a≤1.
綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1.
_3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
3.3.1 二元一次不等式(組)與平面區(qū)域
二元一次不等式(組)
[提出問題]
給出以下兩個方程：
①2x＋3y－6＝0，②x－4y＋4＝0.
問題1：這兩個方程是什么類型的方程？它們的解有多少個？它們對應的幾何圖形是什么？
提示：都是二元一次方程；都有無窮多解；對應的幾何圖形是直線．
問題2：若將上述方程變?yōu)椋孩?x＋3y－6＞0，②x－4y＋4＜0.將得到什么？又有何特點
61、？
提示：得到兩個不等式，它們都含有2個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1.
問題3：滿足不等式①、②的實數(shù)x、y存在嗎？若存在，試寫出兩組．
提示：都存在，滿足①的(2,2)、(2,4)，滿足②的(1,2)，(1,3)．
[導入新知]
1．二元一次不等式
含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式．
2．二元一次不等式組
由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組．
3．二元一次不等式(組)的解集
滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x、y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x、y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式
62、(組)的解集．
[化解疑難]
二元一次不等式組要求由多于一個的二元一次不等式組成的不等式組，其中的不等式個數(shù)可以是二個、三個，當然也可以是多個.
二元一次不等式表示平面區(qū)域
[提出問題]
已知直線l：x－y－1＝0.
問題1：點A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0，－2)、E(1，－2)與直線l有何位置關系？
提示：點A在直線l上，點B、C、D、E均不在直線l上．
問題2：通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，點B、C、D、E分別在直線l的哪個方向的區(qū)域內(nèi)？
提示：點B、C在直線l的左上方，點D、E在直線l的右下方．
問題3：點B、C、D、E的坐標分別滿足下列哪個不等式？(
63、1)x－y－1<0；(2)x－y－1>0.
提示：點B、C的坐標滿足(1)，D、E的坐標滿足(2)．
問題4：滿足這兩個不等式的解有多少個？這些解對應的平面直角坐標系中的點在相應的直線上嗎？若不在直線上，它們在這條直線的同一側(cè)嗎？
提示：這兩個不等式的解有無窮多個；它們對應的點不在直線上；而是在這條直線的同一側(cè)．
[導入新知]
1．二元一次不等式表示平面區(qū)域
在平面直角坐標系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線．
2．二元一次
64、不等式表示的平面區(qū)域的確定
(1)直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同．
(2)在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)取某個特殊點(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符號可以斷定Ax＋By＋C＞0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．
[化解疑難]
確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法是“線定界，點定域”，定邊界時需分清虛實，定區(qū)域時常選原點(C≠0)．
二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
[例1] 畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)
[解] (1)如圖，先畫出直線2x－y
65、－6＝0，
取原點O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴與點O在直線2x－y－6＝0同一側(cè)的所有點(x，y)都滿足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)．
(2)先畫出直線x－y＋5＝0(畫成實線)，如圖，取原點O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5＞0，
∴原點在x－y＋5＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)，即x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點的集合．同理可得，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點的集合．右上圖中陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域．
[類題通法
66、]
1．在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時，應先畫出每個不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可．其步驟為：①畫線；②定側(cè)；③求“交”；④表示．
2．要判斷一個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，只需在它所對應的直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的正負判定．
[活學活用]
1．畫出不等式組表示的平面區(qū)域．
解：不等式x＋y≤5表示直線x＋y－5＝0上及左下方的區(qū)域．
不等式x－2y＞3表示直線x－2y－3＝0右下方的區(qū)域．
不等式x＋2y≥0表示直線x＋2y＝0上及右上方的區(qū)域．
所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．
二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積
[例2] 不等式組表示的平面區(qū)域的面積為( )
A．4 B．1
C．5 D．無窮大
[解析] 不等式組
表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求．求出點A，B，C的坐標分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1.
[答案] B
[類題通法]
求平面區(qū)域面積的方法
求平面區(qū)域的面積，先畫
2022年高中數(shù)學 第三章 不等式學案 新人教A版必修5
