《（浙江專(zhuān)版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.3.2 第1課時(shí) 拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.3.2 第1課時(shí) 拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1課時(shí)　雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線(xiàn)方程.3.能用雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　雙曲線(xiàn)的性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) 坐標(biāo) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線(xiàn) y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a

2、，b，c間的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知識(shí)點(diǎn)二　等軸雙曲線(xiàn) 思考　求下列雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)，并分析其共同點(diǎn)． (1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1. 答案　(1)的實(shí)半軸長(zhǎng)1，虛半軸長(zhǎng)1 (2)的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng). 它們的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等． 梳理　實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為y＝±x，離心率為. (1)雙曲線(xiàn)－＝1與－＝1(a＞0，b＞0)的形狀相同．(√) (2)雙曲線(xiàn)－＝1與－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線(xiàn)相同．(×) (3)等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程有關(guān)．(×) (4)離心率

3、是的雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)．(√) 類(lèi)型一　雙曲線(xiàn)的性質(zhì) 例1　求雙曲線(xiàn)9y2－4x2＝－36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線(xiàn)方程． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c及漸近線(xiàn) 解　雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0)， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)， 實(shí)軸長(zhǎng)2a＝6，虛軸長(zhǎng)2b＝4，離心率e＝＝， 漸近線(xiàn)方程為y＝±x. 引申探究 求雙曲線(xiàn)nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心

4、率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程． 解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝， 虛半軸長(zhǎng)b＝，c＝， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(－，0)， 離心率e＝＝＝， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)， 所以漸近線(xiàn)方程為y＝±x，即y＝±x. 反思與感悟　由雙曲線(xiàn)的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟 (1)把雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵． (2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練1　求雙曲線(xiàn)9y2－16x2＝144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐

5、標(biāo)、離心率、漸近線(xiàn)方程． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c及漸近線(xiàn) 解　把方程9y2－16x2＝144化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1. 由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝4，虛半軸長(zhǎng)b＝3； c＝＝＝5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－5)，(0,5)； 離心率e＝＝；漸近線(xiàn)方程為y＝±x. 類(lèi)型二　由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例2　(1)已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c及漸近線(xiàn) 答案　B 解析　

6、由已知，得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上， 從而可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． ∵一個(gè)頂點(diǎn)為(0,2)，∴a＝2. 又實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于焦距的倍， ∴2a＋2b＝2c. 又a2＋b2＝c2，∴b2＝4， ∴所求雙曲線(xiàn)的方程為－＝1. (2)求與雙曲線(xiàn)－＝1有共同的漸近線(xiàn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－3)的雙曲線(xiàn)的方程． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c及漸近線(xiàn) 解　雙曲線(xiàn)－＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±x. 當(dāng)所求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)， 設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 因?yàn)椋?，所以b＝a.① 因?yàn)辄c(diǎn)A(2，－3)在所求雙曲線(xiàn)上，

7、所以－＝1.② 聯(lián)立①②得方程組無(wú)解． 當(dāng)所求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)， 設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 因?yàn)椋?，所以a＝b.③ 因?yàn)辄c(diǎn)A(2，－3)在所求雙曲線(xiàn)上，所以－＝1.④ 由③④，得a2＝，b2＝4， 所以所求雙曲線(xiàn)的方程為－＝1. 反思與感悟　(1)根據(jù)雙曲線(xiàn)的某些幾何性質(zhì)求雙曲線(xiàn)方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式． (2)巧設(shè)雙曲線(xiàn)方程的六種方法與技巧 ①焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)． ②焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)． ③與雙曲線(xiàn)

8、－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為－＝1(λ≠0，－b2<λ0，b>0)的離心率e＝，過(guò)點(diǎn)A(0，－b)和B(a,0)的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為，求此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　已知雙曲線(xiàn)的焦距、漸近線(xiàn)求雙曲線(xiàn)的方

9、程 解　(1)設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為－＝λ(λ≠0)． ∵點(diǎn)M(3，－2)在雙曲線(xiàn)上， ∴－＝λ，即λ＝－2. ∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.① 又∵直線(xiàn)AB的方程為bx－ay－ab＝0， ∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．② 解①②組成的方程組，得a2＝3，b2＝1. ∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 類(lèi)型三　求雙曲線(xiàn)的離心率 例3　已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線(xiàn)的弦，如果∠PF2Q＝90°，求雙曲線(xiàn)的離心率． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn) 題點(diǎn)　求雙曲線(xiàn)的

10、離心率 解　設(shè)F1(c,0)，將x＝c代入雙曲線(xiàn)的方程得－＝1， 那么y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0， 即e2－2e－1＝0， 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以雙曲線(xiàn)的離心率為1＋. 反思與感悟　求雙曲線(xiàn)離心率的三種方法： (1)若可求得a，c，則直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2

11、＋q·e＋r＝0求解． 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)雙曲線(xiàn)－＝1(b＞a＞0)的焦距為2c，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為c，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn) 題點(diǎn)　求雙曲線(xiàn)的離心率 答案　2 解析　如圖所示，在△OAB中， |OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c， |AB|＝＝c. 因?yàn)閨AB|·|OE|＝|OA|·|OB|， 所以c·c＝ab，即(a2＋b2)＝ab， 兩邊同除以a2，得2－＋＝0， 解得＝或＝(舍去)， 所以e＝＝＝＝2. 1．已知雙曲線(xiàn)方程為x2－8y2＝32，則(　　) A．實(shí)軸

12、長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為2 B．實(shí)軸長(zhǎng)為8，虛軸長(zhǎng)為4 C．實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為4 D．實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為8 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c 答案　B 解析　雙曲線(xiàn)方程x2－8y2＝32化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，可得a＝4，b＝2，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8，虛軸長(zhǎng)為4. 2．下列雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線(xiàn)方程為y＝±x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－x2＝1 D．y2－＝1 考點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　已知雙曲線(xiàn)的焦距、漸近線(xiàn)求雙曲線(xiàn)的方程 答案　D 解析　從選項(xiàng)知，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)有－x2＝1與y2－＝1，

13、而－x2＝1的漸近線(xiàn)方程是y＝±2x，y2－＝1的漸近線(xiàn)方程是y＝±x，故選D. 3．(2017·浙江余姚中學(xué)期中)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)C的右支上的點(diǎn)，射線(xiàn)PT平分∠F1PF2，過(guò)原點(diǎn)O作PT的平行線(xiàn)交PF1于點(diǎn)M，若|MP|＝|F1F2|，則雙曲線(xiàn)C的離心率為(　　) A.B．3C.D. 答案　A 4．與雙曲線(xiàn)－＝1共漸近線(xiàn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，6)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________． 答案?。? 解析　設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝t(t≠0)， 又經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，6)， ∴－＝t，即t＝2， 故所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝

14、1. 5．已知F是雙曲線(xiàn)C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)．當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程研究其他問(wèn)題 答案　12 解析　設(shè)左焦點(diǎn)為F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周長(zhǎng)為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周長(zhǎng)最小即為|AP|＋|PF1|最小，當(dāng)A，P，F(xiàn)1在一條直線(xiàn)上時(shí)最小，過(guò)AF1的直線(xiàn)方程為＋＝1，與x2－＝1聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，此時(shí)S＝－＝12. 1．隨著x和y趨向于無(wú)窮大，雙

15、曲線(xiàn)將無(wú)限地與漸近線(xiàn)接近，但永遠(yuǎn)沒(méi)有交點(diǎn)；由漸近線(xiàn)方程可確定a與b或b與a的比值，但無(wú)法確定焦點(diǎn)位置． 2．求漸近線(xiàn)的方程，常把雙曲線(xiàn)的方程右邊的常數(shù)寫(xiě)成0，分解因式即得漸近線(xiàn)方程，若已知漸近線(xiàn)方程mx＋ny＝0，求雙曲線(xiàn)的方程，常將雙曲線(xiàn)的方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)求解． 3．與雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0). 一、選擇題 1．雙曲線(xiàn)2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是(　　) A．2B．2C．4D．4 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c及漸近線(xiàn) 答案　C 解析　將雙曲線(xiàn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為－＝1，

16、得2a＝4. 2．若雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn) 題點(diǎn)　漸近線(xiàn)與離心率的關(guān)系 答案　B 解析　由e＝＝＝，得2＝2. 故漸近線(xiàn)方程為y＝±x，故選B. 3．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線(xiàn)的離心率 答案　C 解析　不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，則

17、|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， 則∠PF1F2是△PF1F2的最小內(nèi)角，為30°， ∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos 30°， ∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×， 化為e2－2e＋3＝0，解得e＝. 4．設(shè)雙曲線(xiàn)＋＝1的漸近線(xiàn)方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　) A．－4B．－3C．2D．1 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程求a，b，c及漸近線(xiàn) 答案　A 解析　∵方程表示雙曲線(xiàn)， ∴a<0，標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1， ∴

18、漸近線(xiàn)方程為y＝±x， ∴＝，解得a＝－4. 5．等軸雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－6,0)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 考點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　已知雙曲線(xiàn)的焦距求方程 答案　D 解析　∵等軸雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－6,0)，∴c＝6， ∴2a2＝36，a2＝18， ∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 6．(2017·浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)右支交于A，B兩點(diǎn)(B在第四象限)，若△ABF1是B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)該雙曲線(xiàn)的離心率為

19、e，則e2為(　　) A．5－2 B．5＋2 C．4＋2 D．4－2 答案　A 7．設(shè)F為雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為－1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)，若＝－3，則雙曲線(xiàn)C的離心率e等于(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線(xiàn)的離心率 答案　D 解析　設(shè)F(c,0)，則過(guò)雙曲線(xiàn)：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F且斜率為－1的直線(xiàn)l的方程為y＝－(x－c)， 而漸近線(xiàn)方程是y＝±x， 由得B， 由得A， ＝， ＝， 由＝－3， 得＝－3， 則＝－3·， 即b＝a， 則c＝＝a，

20、 則e＝＝，故選D. 二、填空題 8．(2017·嘉興一中期末)雙曲線(xiàn)C：x2－4y2＝1的焦距是________，雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程是__________． 答案　　y＝±x 9．已知雙曲線(xiàn)y2－＝1(m＞0)的離心率e∈(1,2)，則m的取值范圍是________． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn) 題點(diǎn)　雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍 答案　(0,3) 解析　由雙曲線(xiàn)y2－＝1(m＞0)知，a＝1，b＝， 所以e＝＝， 又e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得0＜m＜3. 10．(2017·金華一中月考)已知雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)

21、，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_____________． 答案　y＝±2x 11．過(guò)雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F(－c,0)(c＞0)作圓x2＋y2＝的切線(xiàn)，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)P，若＝(＋)，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線(xiàn)離心率 答案　 解析　如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為M，連接PM. ∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中， |EF|＝. 又＝(＋)， ∴E是PF的中點(diǎn)， ∴|PF|＝2|EF|＝2 ， |PM|＝2|OE|＝a. 由雙曲線(xiàn)的定義知，|PF|－|PM|＝2a， ∴2 －a＝2a，

22、 ∴e＝＝. 三、解答題 12．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為x＋y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64有相同的焦距，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　已知雙曲線(xiàn)的焦距、漸近線(xiàn)求雙曲線(xiàn)的方程 解　橢圓方程為＋＝1，可知橢圓的焦距為8. ①當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)， 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴解得 ∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1； ②當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)， 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴　解得 ∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 由①②可知，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1或－＝1. 13．已知點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C

23、：－y2＝1上． (1)當(dāng)|PA|最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMN的面積為2，求直線(xiàn)l的方程． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程研究其他問(wèn)題 解　(1)設(shè)P(x，y)，則|PA|＝ ＝＝， 當(dāng)y＝時(shí)，|PA|最小， 故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (2)由題知直線(xiàn)l的斜率存在，故可設(shè)l的方程為y＝kx＋1， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立得 (1－2k2)x2－4kx－4＝0， 則Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，即k2＜. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2

24、＝， ∴|x1－x2|＝＝， S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2， 解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±， ∴l(xiāng)的方程為x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 四、探究與拓展 14．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線(xiàn)的離心率 答案　A 解析　因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|＝. 又sin∠MF2F1＝，所以＝， 即|MF2|＝3|MF1|. 由雙曲線(xiàn)的定義，得2a＝|MF2|－|M

25、F1|＝2|MF1|＝， 所以b2＝a2， 所以c2＝b2＋a2＝2a2， 所以離心率e＝＝. 15．已知雙曲線(xiàn)C：－y2＝1(a＞0)，直線(xiàn)l：x＋y＝1，雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B，直線(xiàn)l與y軸交點(diǎn)為P. (1)求離心率e的取值范圍； (2)若＝，求a的值． 考點(diǎn)　雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線(xiàn)方程研究其他問(wèn)題 解　(1)由雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得 方程組有兩個(gè)不同的解， 消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① ∴ 解得－＜a＜且a≠±1. 又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1. ∵雙曲線(xiàn)的離心率e＝＝， ∵0＜a＜且a≠1， ∴e＞且e≠， ∴雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍是∪(，＋∞)． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)． ∵＝， ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)， 由此可得x1＝x2. ∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， ∴x1＋x2＝x2＝－. x1x2＝x＝－， 消去x2得－＝，即a2＝. 又∵a＞0，∴a＝. 17