3、＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，則＝，AC＝BC．
8．如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∠OAB＝50°，則∠BOC等于40°．
9．如圖所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，則∠A＝40°．
10．(教材P49練習(xí)T2變式)如圖所示，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，求∠AEO的度數(shù)．
解：∵＝＝，
∠COD＝34°，
∴∠BOE＝102°.
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO＝∠BOE＝51°.
中檔題
11．如圖，AB是⊙O的直徑，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA.則∠BCD等于(C)
A．100° B．11
4、0° C．120° D．135°
12．如圖，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，則下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為(D)
①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知，是同圓的兩段弧，且＝2，則弦AB與2CD之間的關(guān)系為(B)
A．AB＝2CD
B．AB＜2CD
C．AB＞2CD
D．不能確定
提示：如圖，在圓上截?。?，連接DE，CE，則有＝.∴AB＝CE.又CD＋DE＝2CD>CE＝AB，∴AB＜2CD，故選B.
14．如圖，A
5、，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度數(shù)；
(2)連接AB，BC，CA，試確定△ABC的形狀．
解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA.
∴△ABC是等邊三角形．
15．如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，DE，求證：BD＝DE.
證明：連接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA.
6、
∴∠BOD＝∠DOE.
∴BD＝DE.
16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB.求證：＝.
證明：連接OC，OD，
∵AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點(diǎn)，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．
∴∠＝∠DON.
∴＝.
綜合題
17．如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？
7、
(2)如果OE＝OF，那么與的大小有什么關(guān)系？為什么？
解：(1)OE＝OF.理由：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD.
在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)＝.
理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO＝BO，CO＝DO，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
∴點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)．
∴BE＝DF.
8、
∵AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD.
∴＝.
2.2.2 圓周角
第1課時(shí) 圓周角定理及其推論1
基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 認(rèn)識(shí)圓周角
1．下列四個(gè)圖中，∠x是圓周角的是(C)
知識(shí)點(diǎn)2 圓周角定理
2．(xx·衢州)如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，則∠AOB的度數(shù)是(B)
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O.若∠A＝α，則∠OBC等于(D)
A．180°－2α B．2α
C．90°＋α D．90°－α
4．如圖，將直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在
9、圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)(與A，B不重合)，則∠APB＝30°．
5．(xx·廣東)在同圓中，已知弧AB所對(duì)的圓心角是100°，則弧AB所對(duì)的圓周角是50°．
知識(shí)點(diǎn)3 圓周角定理推論1
6．如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于點(diǎn)E，則∠ABD＝(A)
A．∠ACD B．∠ADB
C．∠AED D．∠ACB
7．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A)
A．28° B．42° C．56° D．84°
8．(教材P5
10、2練習(xí)T3變式)如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，則∠B等于(C)
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數(shù)是(D)
A．60° B．45° C．35° D．30°
10．如圖所示，弦AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，BC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)相等的角，它們是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．
11．如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)
11、，AB＝BC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，AD.求證：DB平分∠ADC.
證明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠BDC＝∠ADB.
∴DB平分∠ADC.
易錯(cuò)點(diǎn) 忽略弦所對(duì)的圓周角不唯一而致錯(cuò)
12．已知某個(gè)圓的弦長(zhǎng)等于它的半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為30°或150°．
中檔題
13．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別交⊙O于C，D兩點(diǎn)，已知和所對(duì)的圓心角分別為90°和50°，則∠P＝(D)
A．45° B．40° C．25° D．20°
14．(xx·菏澤)如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，則∠OBA等于(D)
A．6
12、4° B．58° C．32° D．26°
15．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠AED的正弦值等于．
16．如圖所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，則∠ABO的度數(shù)為50°．
17．(教材P52練習(xí)T3變式)如圖，在⊙O中，A，B是圓上的兩點(diǎn)，已知∠AOB＝40°，直徑CD∥AB，連接AC，則∠BAC＝35°．
18．如圖，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，過(guò)C作CD∥AB與⊙O相交于D點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且滿足AD＝DE，連接BD與AE相交于點(diǎn)F.求證：△AFD∽△ABC.
證明：∵AB∥CD，
∴
13、∠BAC＝∠ACD.
∵AD＝DE，∴＝.
∴∠DAE＝∠AED.
∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.
∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，
∴△AFD∽△ABC.
綜合題
19．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
證明：(1)△ABC是等邊三角形．
在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是所對(duì)的圓周角，
∠ABC與∠APC是所對(duì)的圓周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.
又∵∠A
14、PC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC為等邊三角形．
(2)在PC上截取PD＝AP，連接AD，
∵∠APC＝60°，
∴△APD是等邊三角形．
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)．
∴BP＝CD.
又∵PD＝AP.
∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.
第2課時(shí) 圓周角定理推論2及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 圓周角定理推論2
1．(xx·福建)如圖，AB是⊙O的
15、直徑，C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．則下列四個(gè)角中，一定與∠ACD互余的角是(D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
2．如圖，小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)量直徑的測(cè)量器，標(biāo)有刻度的尺子OA，OB在O點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直，在測(cè)直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個(gè)單位長(zhǎng)度，OF＝6個(gè)單位長(zhǎng)度，則圓的直徑為(B)
A．12個(gè)單位長(zhǎng)度 B．10個(gè)單位長(zhǎng)度
C．4個(gè)單位長(zhǎng)度 D．15個(gè)單位長(zhǎng)度
3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，則∠CAB的度數(shù)為(C)
A．20° B．40° C．50°
16、 D．70°
4．如圖，CD是⊙O的直徑，已知∠1＝30°，則∠2＝(C)
A．30° B．45° C．60° D．70°
5．如圖，把直角三角形的直角頂點(diǎn)O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，則該圓玻璃鏡的半徑是(B)
A. cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度數(shù)．
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
17、∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
知識(shí)點(diǎn)2 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)
7．如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠BAD＝105°，則∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．(教材P55例4變式)(xx·邵陽(yáng))如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是(B)
A．80° B．120° C．100° D．90°
9．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BCD＝110°，則∠BAD＝
18、70°．
10．如圖，已知∠EAD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，并且BD＝DC.求證：AD平分∠EAC.
證明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導(dǎo)致錯(cuò)誤
11．如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，則∠α＝140°．
中檔題
12．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，則∠D等于(B)
A．60° B．1
19、20° C．140° D．150°
13．如圖，AB為⊙O的直徑，關(guān)于角p，q，r，s之間的關(guān)系：①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正確的是(A)
A．只有①和② B．只有①和③
C．只有②和③ D．①②③
14．(xx·白銀)如圖，⊙A過(guò)點(diǎn)O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，點(diǎn)B是x軸下方⊙A上的一點(diǎn)，連接BO，BD，則∠OBD的度數(shù)是(B)
A．15° B．30° C．45° D．60°
15．(xx·北京)如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝70°．
16
20、．如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D均在⊙O上，CD為∠ACE的平分線．
(1)求證：△ABD為等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半徑．
解：(1)證明：
∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.∴AB是直徑．
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝＝＝6.
∴⊙O的半徑為3.
21、
17．(xx·宜昌)如圖，在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C.
(1)求證：四邊形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圓和菱形ABFC的面積．
解：(1)證明：∵AB為半圓的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)
∴平行四邊形ABFC是菱形．
(2)連接BD.
∵AD＝7，BE＝CE＝2，
設(shè)CD＝x，則AB＝AC＝7＋x.
∵AB為半圓的直徑，
∴
22、∠ADB＝90°.
∴AB2－AD2＝CB2－CD2.
∴(7＋x)2－72＝42－x2.
∴x1＝1或x2＝－8(舍去)．
∴S半圓＝×π×42＝8π.
∴BD＝.
∴S菱形ABFC＝8.
綜合題
18．如圖，在⊙O中，直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)(不與A，B重合)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.
(1)試猜想：△PCQ與△ACB具有何種關(guān)系？(不要求證明)
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC≌△PCB？并給出證明．
解：(1)△PCQ∽△ACB.
(2)當(dāng)為半圓時(shí)，
△ABC≌△PCB.
證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°.
∵為半圓，
∴CP是直徑．
∴∠PBC＝90°，AB＝CP.
∵CB是公共邊，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．
2022屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 2.2 圓心角、圓周角練習(xí) （新版）湘教版
