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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)45 空間向量及其運(yùn)算 理 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，則x＝(　　) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)． 答案：B 2．對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有6＝＋2＋3，則(　　) A．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面 解

2、析：由6＝＋2＋3， 得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它們有公共點(diǎn)P，因此，P，A，B，C四點(diǎn)共面，故選B. 答案：B 3．已知空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點(diǎn)，則＝(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：顯然＝－＝(＋)－. 答案：B 4．已知四邊形ABCD滿足：·>0，·>0，·>0，·>0，則該四邊形為(　　) A．平行四邊形 B．梯形 C．長(zhǎng)方形 D．空間四邊形 解析：由·>0，·>0，·>0，·>0，知該四邊形一定不是平面圖形． 答案：D

3、5．[2019·日照調(diào)研]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C為線段AB上一點(diǎn)，且＝，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(，－，) B．(，－3,2) C．(，－1，) D．(，－，) 解析：由題意知2＝，設(shè)C(x，y，z)，則2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)， ∴∴即C(，－1，) 答案：C 二、填空題 6．已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________. 解析：如圖所示， ＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)． 答案：(b＋c－a) 7

4、．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：因?yàn)?a＋λb)⊥a， 所以(a＋λb)·a＝a2＋λb·a＝()2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2. 答案：－2 8．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為________． 解析：cos〈a，b〉＝＝－. 答案：－ 三、解答題 9．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以，為邊的平行四邊形的面積； (2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標(biāo)． 解析：(1)由題意可得：＝(－2，－

5、1,3)，＝(1，－3,2)， 所以cos〈，〉＝＝＝＝， 所以sin〈，〉＝， 所以以，為邊的平行四邊形的面積： S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7. (2)設(shè)a＝(x，y，z)， 由題意得解得或 所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)． 10．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算： (1)·； (2)·； (3)EG的長(zhǎng)． 解析：設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝＝c－a，＝－a，＝b－c， (1)·＝·(

6、－a) ＝a2－a·c＝. (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－. (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. [能力挑戰(zhàn)] 11．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸， CP所在直線為

7、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∵∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°， ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝. (1)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)解法一　由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)， 設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m＝(x0，y0，z0)， 由即 令x0＝1，得m＝(1,0，)， 又∵平面PAD的一個(gè)法向量n＝(－，2,1)， ∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD. 解法二　取AP的中點(diǎn)E，連接BE， 則E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥.∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A， ∴BE⊥平面PAD. 又∵BE?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD.