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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 平面向量、三角函數(shù)與解三角形學(xué)案 理 第一講 小題考法——平面向量 考點(diǎn)(一) 向量的線性運(yùn)算與有關(guān)定理 主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及向量共線、平面向量基本定理的應(yīng)用. [典例感悟] [典例]　(1)(2018·福州模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，則2r＋3s＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 (2)(2019屆高三·開(kāi)封模擬)已知平面向量a，b，c，a＝(－1,1)，b＝(2,3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，則實(shí)數(shù)k＝________. [解析]　(1)法一：根

2、據(jù)圖形，由題意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋ .因?yàn)椋絩＋s，所以r＝，s＝，則2r＋3s＝1＋2＝3，故選C. 法二：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點(diǎn)B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m>0，h>0. 由＝r＋s，得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)， 所以解得 所以2r＋3s＝1＋2＝3，選C. (2)由題意，得a＋b＝(1,4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8. [答案]　(1)C　(2)－8 [方法技巧] 解決平面向量問(wèn)題的常用3種方法 幾何法 求解有關(guān)平面向量的問(wèn)題時(shí)，若能靈

3、活利用平面向量加、減法運(yùn)算及其幾何意義進(jìn)行分析，則有利于問(wèn)題的順利獲解 建系法 處理有關(guān)平面圖形的向量問(wèn)題時(shí)，若能靈活建立平面直角坐標(biāo)系，則可借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算巧解題，這也體現(xiàn)了向量的代數(shù)化手段的重要性 基底法 求解有關(guān)平面向量的問(wèn)題時(shí)，若能靈活地選取基底，則有利于問(wèn)題的快速獲解．理論依據(jù)：適當(dāng)選取一組基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相關(guān)向量知識(shí)，可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于e1，e2的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題 [演練沖關(guān)] 1．(2018·合肥二模)如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝

4、 解析：選A　由題意知＝＋，又＝2＝，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 2．(2018·西安高級(jí)中學(xué)三模)在△ABC中，＝2，＝3，連接BF，CE，且BF∩CE＝M，＝x＋y，則x－y等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選C　因?yàn)椋?，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線得x＋y＝1.① 因?yàn)椋?，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由C，M，E三點(diǎn)共線得x＋y＝1.② 聯(lián)立①②解得所以x－y＝－＝－，故選C. 3．已知A(－1,2)，B(a－1,3)，C(－2，a＋1)，D(2,2a＋1)，若向量與平行且同向，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．

5、 解析：法一：由已知得＝(a,1)，＝(4，a)，因?yàn)榕c平行且同向，故可設(shè)＝λ (λ>0)，則(a,1)＝λ(4，a)，所以解得故所求實(shí)數(shù)a＝2. 法二：由已知得＝(a,1)，＝(4，a)，由∥，得a2－4＝0，解得a＝±2.又向量與同向，易知a＝－2不符合題意．故所求實(shí)數(shù)a＝2. 答案：2 考點(diǎn)(二) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 主要考查數(shù)量積、夾角以及向量模的計(jì)算或用數(shù)量積解決最值范圍問(wèn)題. [典例感悟] [典例]　(1)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)已知單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D.

6、(2)(2018·福州四校聯(lián)考)已知向量a，b為單位向量，且a·b＝－，向量c與a＋b共線，則|a＋c|的最小值為(　　) A．1 B. C. D. (3)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 [解析]　(1)因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0.在平面直角坐標(biāo)系中作出a，b，b－a，如圖，易知a與b－a的夾角是，故選D. (2)法一：∵向量c與a＋b共線，∴可設(shè)c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a

7、＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b為單位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1＝2＋≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值為，故選D. 法二：∵向量a，b為單位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夾角為120°，在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)向量a＝(1,0)，b＝，則a＋b＝.∵向量c與a＋b共線，∴可設(shè)c＝t(t∈R)，∴a＋c＝，∴|a＋c|＝ ＝≥，∴|a＋c|的最小值為，故選D. (3)如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,

8、0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，故當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，為－. [答案]　(1)D　(2)D　(3)B [方法技巧] 解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問(wèn)題的方法 (1)選擇平面圖形中模與夾角確定的向量作為一組基底，用該基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個(gè)向量，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律求解． (2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標(biāo)系的條件，可建立直角坐標(biāo)系將向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決． [演練沖關(guān)] 1．(2018·昆明模擬)已知向量a＝

9、(－1,2)，b＝(1,3)，則|2a－b|＝(　　) A. B．2 C. D．10 解析：選C　由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故選C. 2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：選B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3. 3．(2018·陜西寶雞一模)在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不與A，C重合)為AC邊上

10、的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足||＝，則·的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0)，直線AC的方程為x＋y＝2. 設(shè)M(a,2－a)，則0

11、AB，△MBC，△MCA的面積分別為2，m，n，則＋的最小值是(　　) A．20 B．18 C．16 D．8 解析：選D　設(shè)△ABC的內(nèi)角B，C所對(duì)的邊分別為b，c，因?yàn)椤ぃ?，，的夾角為150°，所以8 ＝bc·cos 30°，解得bc＝16，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝×16×sin 30°＝4.依題意得2＋m＋n＝4，解得m＋n＝2.因?yàn)椋健粒?＋≥5＋×2＝8，所以＋的最小值是8.故選D. [必備知能·自主補(bǔ)缺]依據(jù)學(xué)情課下看，針對(duì)自身補(bǔ)缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干 [主干知識(shí)要記牢] 1．平面向量的兩個(gè)充要條件 若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)

12、，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．平面向量的性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝ . (4)|a·b|≤|a|·|b|. [二級(jí)結(jié)論要用好] 1．三點(diǎn)共線的判定 (1)A，B，C三點(diǎn)共線?，共線． (2)向量，，中三終點(diǎn)A，B，C共線?存在實(shí)數(shù)α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. [針對(duì)練1]　在?ABCD中，點(diǎn)E是AD

13、邊的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若＝m＋n (m，n∈R)，則＝________. 解析：如圖，∵＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋(2n＋1)，∵F，E，B三點(diǎn)共線，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2. 答案：－2 2．中點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo) (1)設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (2)三角形的重心坐標(biāo)公式：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)是G. 3．三角形“四心”向量形式的充要條件 設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則

14、 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?·＝·＝·. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0. [易錯(cuò)易混要明了] 1．要特別注意零向量帶來(lái)的問(wèn)題：0的模是0，方向任意，并不是沒(méi)有方向；0與任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0與任意向量的數(shù)量積等于0，即0·a＝0；但不說(shuō)0與任意非零向量垂直． 2．當(dāng)a·b＝0時(shí)，不一定得到a⊥b，當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立；(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等，(a·b)·c與c平行，而a·(b·c)與a平行

15、． 3．兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角(鈍角)與向量的數(shù)量積大于(小于)0不等價(jià)． [針對(duì)練2]　已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是________________． 解析：依題意，當(dāng)a與b的夾角為鈍角時(shí)，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而當(dāng)a與b共線時(shí)，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即當(dāng)λ＝2時(shí)，a＝－b，a與b反向共線，此時(shí)a與b的夾角為π，不是鈍角，因此，當(dāng)a與b的夾角為鈍角時(shí)，λ的取值范圍是∪(2，＋∞)． 答案：∪(2，＋∞) A級(jí)——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2018·貴州模擬)已知向量a

16、＝(1,2)，b＝(m，－1)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B．－ C．3 D．－3 解析：選B　由題意，得1×(－1)－2m＝0，解得m＝－，故選B. 2．(2018·福州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，則|c|＝(　　) A. B．3 C. D. 解析：選B　因?yàn)閏＝2a－b＝2(1,2)－(－1,1)＝(3,3)， 所以|c|＝＝3.故選B. 3．(2019屆高三·廣西五校聯(lián)考)設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝2，則(　　) A．＝－ B．＝－ C．＝－ D．＝－ 解析：選A?。剑剑剑?/p>

17、－. 4．(2018·云南調(diào)研)在?ABCD中，＝8，＝6，N為DC的中點(diǎn)，＝2，則·＝(　　) A．48 B．36 C．24 D．12 解析：選C　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24. 5．已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：選C　依題意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3. 6．(2019屆高三·湖南五市十校聯(lián)考)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，

18、則向量a，b的夾角為(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：選C?。剑?a＋b－2a＝b，則向量a，b的夾角即為向量與的夾角，故向量a，b的夾角為120°. 7．(2018·西工大附中四模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)，且滿足＋＋＝0，·＝0，若a2＋b2＝λc2(λ∈R)，則λ＝(　　) A．－5 B．－2 C．2 D．5 解析：選D　設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接GD(圖略)，則＋＝2. 又＋＋＝0，所以2＝， 所以A，G，D三點(diǎn)共線，且AG＝2GD. 故＝＝×(＋)＝(＋)． 同理可得BG―→＝

19、(＋)． 由·＝0，得(＋)·(＋)＝0， 所以(＋)·(－2)＝0， 即||2－2||2－·＝0， 所以b2－2c2－bc·＝0， 化簡(jiǎn)得a2＋b2＝5c2. 又a2＋b2＝λc2(λ∈R)，所以λ＝5.故選D. 8．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，則λ＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，∴＝(2,0)，＝(1，)，又＝λ，＝(1－λ)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(

20、1－λ))，∴·＝(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，化簡(jiǎn)得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝. 9．(2018·西安八十三中二模)稱d(a，b)＝|a－b|為兩個(gè)向量a，b間的“距離”．若向量a，b滿足：①|(zhì)b|＝1；②a≠b；③對(duì)任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)⊥(a－b) C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) 解析：選C　由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因?yàn)樯鲜綄?duì)任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(

21、a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故選C. 10．(2018·河南林州檢測(cè))已知△ABC的外接圓的圓心為O，滿足：＝m＋n,4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，則·＝(　　) A．36 B．24 C．24 D．12 解析：選A　·＝m2＋n·，因?yàn)镺為△ABC的外心，所以2＝m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，因?yàn)?m＋3n＝2，所以24＝12(2－3n)＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||

22、·||cos∠BCA＝4×6×＝36. 11．設(shè)e1，e2，e3為單位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2為兩邊的三角形的面積為，則k的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)e1，e2的夾角為θ，則由以向量e1，e2為兩邊的三角形的面積為，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.從而將e3＝e1＋ke2兩邊平方得1＝＋k2，解得k＝或k＝－(舍去)． 12.如圖所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若＝m＋n (m>0，n>0)，m＋n＝2，則∠AOB的最小值為(　　) A.

23、 B. C. D. 解析：選D　將＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB， cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)等號(hào)成立)， ∵0<∠AOB<π，∴∠AOB的最小值為. 二、填空題 13．(2018·汕頭模擬)已知向量a＝(2,1)，b＝(3，m)．若(a＋2b)∥(3b－a)，則實(shí)數(shù)m的值是________． 解析：a＋2b＝(2,1)＋(6,2m)＝(8,1＋2m)，3b－a＝(9,3m)－(2,1)＝(7,3m－1)，由(a＋2b)∥(3b－a)，得8(3m－1)－7(1＋2m)＝0，解得m＝. 答案： 14．(2018·長(zhǎng)春模擬)已知平

24、面內(nèi)三個(gè)不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，則|a＋b＋c|＝________. 解析：由平面內(nèi)三個(gè)不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，可得夾角均為，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2. 答案：2 15．(2018·河北衡水中學(xué)三調(diào))如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為_(kāi)_______． 解析：法一：如圖所示，作平行四

25、邊形OB1CA1，則＝1＋1，因?yàn)榕c的夾角為120°，與的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△B1OC中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6. 答案：6 16．(2018·渭南一模)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝30°，E為CD的中點(diǎn)，若·＝1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，

26、所以＝＋，＝＋CE―→＝－，所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1， 又2＝1，·＝1×||×cos 30°＝||， 所以1－2＋||＝1， 解得||＝或||＝0(舍去)． 答案： B級(jí)——難度小題強(qiáng)化練 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：選A　法一：作出示意圖如圖所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故選A. 法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝

27、(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－. 2．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝6，則 ＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，在△ABC中，＋＝2，即2＝6，所以＝3，即P為BD的三等分點(diǎn)，所以＝，又＝，所以＝. 3．(2018·嘉興一模)設(shè)平面向量＝(2,0)，＝(0,1)，點(diǎn)P滿足＝＋，其中m>0，n>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　設(shè)P(x，y)，因?yàn)椋?2,0)，＝(0,1)，＝＋＝，所以x＝，y＝(其中m，n>0)，所以x2＋y2＝2(其中x，y>0)，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為×2π×＝

28、. 4．(2018·重慶模擬)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的內(nèi)心，P是△IBC內(nèi)部(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(2,3) 解析：選A　以B為原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，因?yàn)镮是△ABC的內(nèi)心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．設(shè)P(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P在△IBC內(nèi)部(不含邊界)，所以0

29、，y)，且＝λ＋μ，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0

30、動(dòng)點(diǎn)P(包含點(diǎn)D，C)與CB延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)Q(包含點(diǎn)B)滿足||＝||，則·的最小值為_(kāi)_______． 解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，1)，Q(2，y)，由題意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴當(dāng)x＝時(shí)，·取得最小值，為. 答案： 第二講 小題考法——三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點(diǎn)(一) 三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用 主要考查三角函數(shù)的圖象變換或根據(jù)圖象求解析式(或參數(shù)

31、). [典例感悟] [典例]　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 (2)(2019屆高三·廣西南寧模擬)如圖，函數(shù)

32、f(x)＝Asin(2x＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，)，則f(x)的函數(shù)解析式為(　　) A．f(x)＝2sin　 B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin (3)(2018·石家莊模擬)若ω>0，函數(shù)y＝cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)y＝sin ωx的圖象重合，則ω的最小值為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　(1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲線C1上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝sin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，即曲線C2.

33、(2)由函數(shù)圖象可知，A＝2，又函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，)，所以2sin φ＝，即sin φ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin，故選B. (3)將函數(shù)y＝cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y＝cos的圖象． 因?yàn)樗煤瘮?shù)圖象與y＝sin ωx，即y＝cos的圖象重合， 所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)， 解得ω＝－－6k(k∈Z)， 因?yàn)棣?0，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，ω取得最小值，故選B. [答案]　(1)D　(2)B　(3)B [方法技巧] 1．函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B的確定方法 字母 確定途徑 說(shuō)明 A 由最值確定 A＝ B 由最值

34、確定 B＝ ω 由函數(shù)的 周期確定 相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為半個(gè)周期，最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為個(gè)周期，ω＝ φ 由圖象上的 特殊點(diǎn)確定 一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置，利用待定系數(shù)法并結(jié)合圖象列方程或方程組求解 2．三角函數(shù)圖象平移問(wèn)題處理的“三看”策略 [演練沖關(guān)] 1．(2018·陜西模擬)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin 2x的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 解析：選D　函數(shù)

35、y＝sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y＝sin＝sin的圖象．故選D. 2．(2018·廣州模擬)將函數(shù)y＝2sinsin的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則φ的最小值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，該函數(shù)的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)＝sin＝sin，因?yàn)間(x)＝sin為奇函數(shù)，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值為，故選A. 3.函數(shù)f(x)＝－4sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(1

36、6)的值為(　　) A．－ B. C．－2 D．2 解析：選C　由圖象得＝8，所以T＝16，因?yàn)棣?0，所以ω＝＝，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)＝0，則×(－2)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝－4sin.所以f(16)＝－4sin＝－4sin＝－2.故選C. 4．(2018·山東日照一模)函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)g(x)＝Asin ωx的圖象，只需將函數(shù)y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平

37、移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 解析：選B　由圖可得函數(shù)的最大值為2，即A＝2.函數(shù)的周期T＝2＝π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．又f ＝2cos＝2，即cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．又－π<φ<0，故k＝0，φ＝－.所以f(x)＝2cos＝2cos，而g(x)＝2sin 2x＝2cos＝2cos＝2cos 2，所以g(x)＝f.因此把函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度才能得到函數(shù)y＝g(x)的圖象. 考點(diǎn)(二) 三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 主要考查三角函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性、周期性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

38、以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等求參數(shù)的值或范圍. [典例感悟] [典例]　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．f(x)的一個(gè)周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱 C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝ D．f(x)在單調(diào)遞減 (2)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．π (3)(2018·惠州模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分圖象如圖所示，且f(a)＝f(b)＝0，對(duì)不同的x1，x2∈

39、[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，則(　　) A．f(x)在上是減函數(shù) B．f(x)在上是增函數(shù) C．f(x)在上是減函數(shù) D．f(x)在上是增函數(shù) [解析]　(1)根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，所以函數(shù)的一個(gè)周期為－2π，A正確； 當(dāng)x＝時(shí)，x＋＝3π， 所以cos＝－1，所以B正確； f(x＋π)＝cos＝cos， 當(dāng)x＝時(shí)，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正確； 函數(shù)f(x)＝cos在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確． (2)法一：f(x)＝cos x－sin x＝－sin，當(dāng)x∈，即x－∈時(shí)，y＝sin單調(diào)遞增

40、，則f(x)＝－sin單調(diào)遞減． ∵函數(shù)f(x)在[－a，a]是減函數(shù)， ∴[－a，a]?，∴0

41、，∴θ＝，∴f(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增； 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減．所以選項(xiàng)B正確． [答案]　(1)D　(2)A　(3)B [方法技巧] 1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法 (1)代換法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得． (2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖

42、象求其單調(diào)區(qū)間． 2．判斷對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的方法 利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)這一性質(zhì)，通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷． 3．求三角函數(shù)周期的常用結(jié)論 (1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan的最小正周期為. (2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期；正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是個(gè)周期． [演練沖關(guān)] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(

43、x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 解析：選B　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期為π，最大值為4.故選B. 2．(2018·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝時(shí)取得最小值，則f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因?yàn)?<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝時(shí)取得最小值，所以＋θ＝

44、π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選A. 3．(2018·四川宜賓二診)先將函數(shù)y＝2sin圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸是x＝ B．函數(shù)g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 C．函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸是x＝ D．函數(shù)g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 解析：選C　先將函數(shù)y＝2sin圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y＝2sin的圖象，再向右平移個(gè)單

45、位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 2x的圖象．令2x＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z.所以函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)， 對(duì)稱軸方程為x＝.顯然＝?jīng)]有整數(shù)解，所以x＝不是函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸．排除A.令2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱中心為，k∈Z.顯然＋＝和＋＝?jīng)]有整數(shù)解，所以和不是函數(shù)g(x)的對(duì)稱中心．排除B，D.故選C. 4．(2018·開(kāi)封模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(π＋x)sin的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中φ∈(0，π)，則φ＝________. 解析：因?yàn)閒(x)＝2sin(π＋x)sin的圖象

46、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)＝2sin(π＋x)sin為奇函數(shù)，則y＝sin為偶函數(shù)，則＋φ＝＋kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝. 答案： 考點(diǎn)(三) 三角函數(shù)的值域與最值問(wèn)題 主要考查求三角函數(shù)的值域或最值，以及根據(jù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù). [典例感悟] [典例]　(1)已知函數(shù)f(x)＝2sincos－sin(2x＋3π)．若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為(　　) A．－ B．－1 C. D．1 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是

47、________． (3)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x＋sin 2x，則f(x)的最小值是________． [解析]　(1)f(x)＝2sincos－sin(2x＋3π)＝sin＋sin 2x＝sin 2xcos＋cos 2xsin ＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.由題意知函數(shù)g(x)＝f＝sin＝sin＝cos，因?yàn)閤∈，所以2x＋∈，故當(dāng)2x＋＝π，即x＝時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值，且g(x)min＝－1；當(dāng)2x＋＝，即x＝0時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值，且g(x)max＝.所以函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為－.故選A. (2)

48、依題意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因?yàn)閤∈，所以cos x∈[0,1]，因此當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)max＝1. (3)f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．∵cos x＋1≥0，∴當(dāng)cos x<時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)cos x>時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)cos x＝，f(x)有最小值．又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，∴當(dāng)sin x＝－時(shí)，f(x)有最

49、小值，即f(x)min＝2××＝－. [答案]　(1)A　(2)1　(3)－ [方法技巧] 求三角函數(shù)的值域(最值)的常見(jiàn)函數(shù)類型及方法 三角函數(shù)類型 求值域(最值)方法 y＝asin x＋bcos x＋c 先化為y＝Asin(x＋φ)＋k的形式，再求值域(最值) y＝asin2x＋bsin x＋c 可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求值域(最值) y＝asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋c 可先設(shè)t＝sin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求值域(最值) y＝asin 2x＋bsin x 求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)工具解決 [演練

50、沖關(guān)] 1．已知函數(shù)y＝asin 2x＋cos 2x的最大值為2，則a的值為(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2－ 解析：選C　由條件知a≠0，且y＝asin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，則a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1. 2．已知函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，則f(x)的最大值為(　　) A.＋1 B．4 C．3 D．2 解析：選D　∵f(x)＝cos x＝cos x＋sin x＝2sin，∵x∈.∴x＋∈，∴當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，f(x)max＝2. 3．已知函數(shù)f(x)＝cos，其中x∈，若

51、f(x)的值域是，則m的取值范圍是________． 解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，即≤m≤. 答案： [必備知能·自主補(bǔ)缺]　依據(jù)學(xué)情課下看，針對(duì)自身補(bǔ)缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干 [主干知識(shí)要記牢] 1．三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調(diào)性 在(k∈Z)上單調(diào)遞增；在(k∈Z)上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單

52、調(diào)遞增 對(duì)稱性 對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對(duì)稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對(duì)稱中心：(k∈Z)；對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對(duì)稱中心：(k∈Z) 2．三角函數(shù)的兩種常見(jiàn)的圖象變換 (1)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)． (2)y＝sin xy＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)． [二級(jí)結(jié)論要用好] 1．sin α－cos α＞0?α的終邊在直線y＝x上方(特殊地，當(dāng)α在第二象限時(shí)有 sin α－cos α＞1)． 2．sin α＋c

53、os α＞0?α的終邊在直線y＝－x上方(特殊地，當(dāng)α在第一象限時(shí)有sin α＋cos α>1)． [易錯(cuò)易混要明了] 求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意ω，A的符號(hào)．ω<0時(shí)，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解；在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，弧度和角度不能混用，需加2kπ時(shí)，不要忘掉k∈Z，所求區(qū)間一般為閉區(qū)間． 如求函數(shù)f(x)＝2sin的單調(diào)減區(qū)間，可將函數(shù)化為f(x)＝－2sin，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y＝sin的單調(diào)增區(qū)間． A級(jí)——12＋4提速練 一、選擇題 1.函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A．f(

54、x)＝sin　　 B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin 解析：選A　由題圖可知， 函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝×4＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以sin＝1，則＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函數(shù)f(x)＝sin，故選A. 2．(2018·重慶模擬)函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，所以函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，故

55、選C. 3．(2018·寶雞質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：選B　由kπ－<2x－

56、＝sin(x＋θ)，其中θ滿足cos θ＝，sin θ＝，所以函數(shù)y＝2sin x＋cos x的周期為2π，所以個(gè)周期為π.于是由題設(shè)知平移后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sin x－cos x．故選D. 5．(2018·鄭州模擬)若將函數(shù)f(x)＝sin圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：選A　將函數(shù)f(x)＝sin圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin＝－sin 2x的圖象，令＋2

57、kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，故選A. 6．(2018·唐山模擬)把函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為(　　) A．x＝0 B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 解析：選C　將函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)＝sin＝sin的圖象，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，則x＝，選C. 7．(2018·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ時(shí)取得最大值，則cos＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：

58、選C　∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ時(shí)取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故選C. 8．(2019屆高三·福州四校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選C　因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，所以g(x)＝sin，又函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

59、，所以g＝sin＝1且≥，所以所以ω＝2，故選C. 9．(2018·合肥一模)將函數(shù)y＝cos x－sin x的圖象先向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍，得到y(tǒng)＝cos 2x＋sin 2x的圖象，則φ，a的可能取值為(　　) A．φ＝，a＝2 B．φ＝，a＝2 C．φ＝，a＝ D．φ＝，a＝ 解析：選D　將函數(shù)y＝cos x－sin x＝cos的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝cos的圖象，再將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍，得到y(tǒng)＝cos的圖象，又y＝cos＝cos 2x＋sin 2x＝cos，∴＝2，－φ＝－＋2kπ

60、(k∈Z)，∴a＝，φ＝＋2kπ(k∈N)，又φ>0，結(jié)合選項(xiàng)知選D. 10．(2018·開(kāi)封模擬)若存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f(x)＝sin2(ωx＋φ)的圖象如圖所示(圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0))，那么ω的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其圖象知，<×<1，即<ω<π，所以正整數(shù)ω＝2或3.由函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由圖象知f(0)>，即＝>，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故選B. 11．(2018·沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(

61、x)＝sin，以下命題中為假命題的是(　　) A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱 B．x＝－是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn) C．函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到 D．函數(shù)f(x)在上是增函數(shù) 解析：選C　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，選項(xiàng)A正確；令2x＋＝kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－，即x＝－是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)B正確；2x＋＝2，故函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若x∈，則2x＋∈，故f(x)在上是增函數(shù)，選項(xiàng)D正確．故選

62、C. 12．(2018·江蘇南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＝－f且f(x)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則ω＝(　　) A. B．2 C. D.或6 解析：選D　f(0)＝sin＝－， 令ωx1－＝0得，x1＝，而＝＝，故x1＝. 又f(0)＝－f， 如圖，若f(x)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)， 則＝T＋×2或＝，即T＝或T＝，則ω＝或6，故選D. 二、填空題 13．(2018·廣州模擬)函數(shù)f(x)＝4cos xsin－1(x∈R)的最大值為_(kāi)_______． 解析：∵f(x)＝4cos xsin－1＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2co

63、s2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴f(x)max＝2. 答案：2 14．(2018·北京東城質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______． 解析： 由函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋. ∵x∈，∴2x－∈. 當(dāng)2x－＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值為1. 答案：1 15．(2018·武漢調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對(duì)稱軸完全相同，則φ＝________. 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象

64、的對(duì)稱軸與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對(duì)稱軸完全相同，故它們的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函數(shù)f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，則x＝＋，k∈Z，故函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，則x＝－，m∈Z，故函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱軸為x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－. 答案：－ 16．設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．若函數(shù)f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則函數(shù)f(x)的最小正周期為_(kāi)_______． 解析：法一：∵

65、f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的極值點(diǎn)，其極值應(yīng)該在x＝＝處取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，又f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，∴x＝－＝為f(x)的另一個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2×＝π. 法二：由已知可畫出草圖，如圖所示，則＝－，解得T＝π. 答案：π B級(jí)——難度小題強(qiáng)化練 1．(2018·宜昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin－cos的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角θ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選D　∵f(x)＝2sin，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，∴θ－

66、＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又|θ|<，∴θ＝. 2．(2018·洛陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平移θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則θ的最小值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，將其圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得y＝2sin的圖象，再將得到的圖象上所有的點(diǎn)向右平移θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得y＝2sin＝2sin的圖象．由y＝2sin的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得－3θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝－π，k∈Z，又θ>0，故當(dāng)k＝－1時(shí)，θ取得最小值，故選C. 3．(2018·洛陽(yáng)尖子生統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)，x∈R，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)且最小正周期為π B．函數(shù)f(x)是奇函數(shù) C．函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇1，] D．函數(shù)f(x)在上是增函數(shù) 解析：選C　f(x)＝s