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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率 課下層級訓(xùn)練52 古典概型（含解析）文 新人教A版 1．(2019·云南檢測)在2,0,1,5這組數(shù)據(jù)中，隨機取出三個不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． C　[分析題意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝.] 2．若連續(xù)拋擲兩次質(zhì)地均勻的骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是(　　) A． B． C． D． D　[該試驗會出現(xiàn)6×6＝36種情況，點(m，n)在直線

2、x＋y＝4上的情況有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三種，則所求概率P＝＝.] 3．(2016·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) A． B． C． D． C　[第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，所以總的基本事件的個數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為.] 4．從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為(　　) A． B． C． D． B　[從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選2人共有10種情況，甲

3、被選中有4種情況，則甲被選中的概率為＝.] 5．從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A． B． C． D． C　[∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機抽取，∴P(第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù))＝×＝，P(第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù))＝×＝，∴P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝＋＝.] 6．在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是__________． 　[記“兩人都中獎”為事件A，設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，

4、那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，2種，所以P(A)＝＝.] 7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數(shù)列{an}的前10項中隨機抽取一項，則該項不小于8的概率是__________． 　[由題意可知an＝2·(－2)n－1，故前10項中，不小于8的只有8,32,128,512，共4項，故所求概率是＝.] 8．如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為__________. 甲

5、 乙 9 8 8 5 3 1 2 9 ● 5 0.3　[依題意，記題中被污損的數(shù)字為x，若甲的平均成績不超過乙的平均成績，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此時x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率P＝＝0.3.] 9．設(shè)a∈{2,4}，b∈{1,3}，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1． (1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率； (2)從f(x)中隨機抽取兩個，求它們在(1，f(1))處的切線互相平行的概率． 解　(1)f′(x)＝ax＋b，由題意f′(－1)≤0，即b≤a， 而(a，b)共有(2,1)，

6、(2,3)，(4,1)，(4,3)四種，滿足b≤a的有3種，故概率為． (2)由(1)可知，函數(shù)f(x)共有4種可能，從中隨機抽取兩個，有6種抽法．∵函數(shù)f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝a＋b， ∴這兩個函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，而只有(2,3)，(4,1)這1組滿足，∴概率為． 10．(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動． (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)

7、從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率． 解　(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． (2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，

8、{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}共21種． ②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝． [B級　能力提升訓(xùn)練] 11．(2019·山東威海調(diào)研)從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　) A． B． C． D． A　[由題意可知m＝(a，

9、b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因為m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)共2個，故所求的概率為.] 12．如圖所示方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許重復(fù)，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為(　　)　 A B A． B． C． D． D　[只考慮A，B兩個方格的填法，不考慮大小，所有填法有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，

10、(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16種．要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則從1,2,3,4中選2個數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6種，故填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為＝.] 13．連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m＝__________． 7　[m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9

11、,10,11,12，對應(yīng)的基本事件個數(shù)依次為1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴兩次向上的數(shù)字之和等于7對應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大．] 14．我們把形如“3241”形式的數(shù)稱為“鋸齒數(shù)”(即大小間隔的數(shù))，由1,2,3,4四個數(shù)組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則該四位數(shù)恰好是“鋸齒數(shù)”的概率為__________． 　[通過畫樹狀圖可知，由1,2,3,4四個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有24個，四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10個，所以四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的概率為＝.] 15．根據(jù)我國頒布

12、的《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定》：空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六級，對應(yīng)空氣質(zhì)量指數(shù)的六個級別，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴(yán)重，對人體健康的影響也越明顯．專家建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于等于150時，可以進行戶外運動；空氣質(zhì)量指數(shù)為151及以上時，不適合進行旅游等戶外活動，下表是我市2018年10月上旬的空氣質(zhì)量指數(shù)情況： 時間 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269

13、 (1)求10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率； (2)一外地游客在10月上旬來本市旅游，想連續(xù)游玩兩天，求適合連續(xù)旅游兩天的概率． 解　(1)該試驗的基本事件空間Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，基本事件總數(shù)n＝10． 設(shè)事件A為“市民不適合進行戶外活動”，則A＝{3,4,9,10}，包含基本事件數(shù)m＝4.所以P(A)＝＝，即10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率為． (2)該試驗的基本事件空間Ω＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)}，基本事件總數(shù)n＝9， 設(shè)事件B為“適合連續(xù)旅游兩天的

14、日期”，則B＝{(1,2)，(5,6)，(6,7)，(7,8)}，包含基本事件數(shù)m＝4，所以P(B)＝，所以適合連續(xù)旅游兩天的概率為． 16．甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張． (1)設(shè)(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面數(shù)字(如果甲抽到紅桃2，乙抽到紅桃3，記為(2,3))，寫出甲、乙兩人抽到的牌的所有情況； (2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙約定，若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則，乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？請說明理由． 解　(1)方片4用4′表示，則甲、乙兩人抽到的牌的所有情況為：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12種不同的情況． (2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字大于3的概率為． (3)甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種情況． 甲勝的概率為P1＝，乙勝的概率為P2＝． 因為<，所以此游戲不公平．