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2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項和 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項和 文 一、選擇題 1.(2018·湖南衡陽二十六中期中)在等差數(shù)列{an}中,a3=1,公差d=2,則a8的值為(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 [解析] a8=a3+5d=1+5×2=11,故選C. [答案] C 2.在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7,則a5=(  ) A.11 B.10 C.7 D.3 [解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則有解得所以a5=-2+4×3=10.故選B. [答案] B 3.(2018·湖北武漢調(diào)研)設(shè)Sn是

2、等差數(shù)列{an}的前n項和,S5=3(a2+a8),則的值為(  ) A. B. C. D. [解析] 因為S5=3(a2+a8),所以5a1+10d=3(2a1+8d),即a1=-14d,所以===. [答案] D 4.(2017·安徽合肥二模)已知是等差數(shù)列,且a1=1,a4=4,則a10=(  ) A.- B.- C. D. [解析] 由題意,得=1,=,所以等差數(shù)列的公差為d==-,由此可得=1+(n-1)×=-+,因此=-,所以a10=-.故選A. [答案] A 5.(2017·山西太原一模)在等差數(shù)列{an}中,2(a1+a3+a5)+3

3、(a8+a10)=36,則a6=(  ) A.8 B.6 C.4 D.3 [解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=2×3a3+3×2a9=6×2a6=36,得a6=3,故選D. [答案] D 6.(2018·遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若m>1,且am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,則m等于(  ) A.38 B.20 C.10 D.9 [解析] 因為am-1+am+1-a=0,所以am-1+am+1=a.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2am=a,顯然am≠0,所以am=2.又因為S2m-1=38

4、,所以S2m-1==(2m-1)am.將am=2代入可得(2m-1)×2=38,解得m=10.故選C. [答案] C 二、填空題 7.(2016·江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+a=-3,S5=10,則a9的值是________. [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+a=a1+(a1+d)2=-3,S5=5a1+10d=10.解得a1=-4,d=3,則a9=a1+8d=-4+24=20. [答案] 20 8.(2018·廣東深圳中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a3=7,a1+a7=10,Sn為其前n項和,則使Sn取到最大值的n等于____

5、____. [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得故d=a4-a3=-2,an=a3+(n-3)d=7-2(n-3)=13-2n.令an>0,得n<6.5,所以在等差數(shù)列{an}中,其前6項均為正,其他各項均為負(fù),于是使Sn取到最大值的n的值為6. [答案] 6 9.(2017·遼寧師大附中期末)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且=,則=________. [解析] 在等差數(shù)列中,S19=19a10,T19=19b10,因此===. [答案]  三、解答題 10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=,

6、證明:是等差數(shù)列. [證明] ∵an=Sn-Sn-1(n≥2), 又an=-2Sn·Sn-1, ∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0. ∴-=2(n≥2). 由等差數(shù)列的定義知是以==2為首項,以2為公差的等差數(shù)列. [能力提升] 11.(2017·河南百校聯(lián)盟質(zhì)監(jiān))等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,已知a2016=2016,且-=2000,則a1等于(  ) A.-2016 B.-2015 C.-2014 D.-2013 [解析] 解法一:因為Sn=,所以=.因為-=2000,所以==2000,所以d=2.又因為a2016=2016,所以a1+(2

7、016-1)×2=2016,解得a1=-2014,故選C. 解法二:因為Sn=na1+d,所以=n+a1-,故是以a1為首項,以為公差的等差數(shù)列.所以-=2000×=2000,所以d=2.所以a2016=a1+(2016-1)×2=2016,所以a1=-2014.故選C. 解法三:由題意得 解得故選C. [答案] C 12.(2018·黑龍江齊齊哈爾月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(  ) A.6 B.7 C.12 D.13 [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a

8、1+(n-1)d.∵a6+a7=a3+a10>0,即2a1+11d>0,且a6a7<0,a1>0,∴a6>0,a7<0.∴d=a7-a6<0.又∵a7=a1+6d<0,∴2a1+12d<0.當(dāng)Sn==>0時,2a1+(n-1)d>0.由2a1+11d>0,2a1+12d<0知n-1最大為11,即n最大為12.故選C. [答案] C 13.(2016·長安一中月考)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=________時,{an}的前n項和最大. [解析] ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0.∴數(shù)列的前8項

9、和最大,即n=8. [答案] 8 14.(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知數(shù)列{an}是各項為正且首項為1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若數(shù)列{}也為等差數(shù)列,則的最小值是________. [解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0), 即有an=1+(n-1)d,Sn=n+n(n-1)d, = ,由于數(shù)列{}也為等差數(shù)列, 可得1-d=0,即d=2, 即有an=2n-1,Sn=n2, 則==≥·2·=2,當(dāng)且僅當(dāng)n=2取得等號, 由于n為正整數(shù),即有n=2或3取得最小值.當(dāng)n=2時,取得3;n=3時,取得.故最小值為. [答案]  15.(2017·河南南陽期終

10、質(zhì)量評估)設(shè)f(x)=(a>0),令a1=1,an+1=f(an),又bn=an·an+1,n∈N*. (1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求數(shù)列{bn}的前n項和. [解] (1)證明:an+1=f(an)=,所以==+, 即-=,又a1=1,所以=1. 所以是首項為1,公差為的等差數(shù)列. 所以=1+(n-1)=. 所以an=. (2)bn=an·an+1=· =a2, 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則 Tn= a2 =a2=a2·=, 即數(shù)列{bn}的前n項和為. 16.已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2(n∈N*),

11、它的前n項和為Sn,且a3=10,S6=72,若bn=an-30,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn的最小值. [解] ∵2an+1=an+an+2,∴an+1-an=an+2-an+1, 故數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由a3=10,S6=72得, 解得a1=2,d=4. ∴an=4n-2,則bn=an-30=2n-31, 令即解得≤n≤, ∵n∈N*,∴n=15, 即數(shù)列{bn}的前15項均為負(fù)值,∴T15最?。邤?shù)列{bn}的首項是-29,公差為2, ∴T15==-225, ∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值為-225. [延

12、伸拓展]  已知數(shù)列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*). (1)求a2,a3的值; (2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由. [解] (1)∵a1=5, ∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33. (2)解法一:假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列. 設(shè)bn=,由{bn}為等差數(shù)列, 則有2b2=b1+b3. ∴2×=+. ∴=+.解得λ=-1. 事實上,bn+1-bn=- =[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1. 綜上可知,存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列為首項是2,公差是1的等差數(shù)列. 解法二:假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列. 設(shè)bn=,由{bn}為等差數(shù)列, 則有2bn+1=bn+bn+2(n∈N*). ∴2×=+. ∴λ=4an+1-4an-an+2 =2(an+1-2an)-(an+2-2an+1) =2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1. 綜上可知,當(dāng)λ=-1時,數(shù)列為首項是2、公差是1的等差數(shù)列.

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