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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題能力訓(xùn)練13 空間幾何體 文 1.(2018全國(guó)Ⅲ,文3) 中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2. 如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 3.(2018北京,文6)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此

2、四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為(　　) A.π B.4π C.4π D.6π 5.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則(　　) A.S1=S2=S3 B.S2=S1,且S2≠S3 C.S3=S1,且S3≠S2 D.S3=S2,且S3≠S1 6. 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與

3、半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 7.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為　　　　　.? 8.(2018天津,文11) 如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為　　　　　　.? 9. 如圖,已知在多面體ABCDEFG中,AB,AC,AD兩兩互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體

4、積為　　　　　.? 10.下列三個(gè)圖中,左面是一個(gè)正方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖.右面兩個(gè)是其正視圖和側(cè)視圖. (1)請(qǐng)按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖(不要求敘述作圖過(guò)程); (2)求該多面體的體積(尺寸如圖). 11. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由); (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值. 二、思維提升訓(xùn)練

5、 12.一塊邊長(zhǎng)為6 cm的正方形鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置.若其正視圖為等腰直角三角形,則該容器的體積為(　　) A.12 cm3 B.4 cm3 C.27 cm3 D.9 cm3 13.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為 (　　) A.1 B. C. D.2 14.已知一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是下圖,圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心,邊長(zhǎng)為1的正方形,則這個(gè)四面體的外接球的表面積是 (　　

6、) A.π B.3π C.4π D.6π 15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積為　　　　　.? 16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖②),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上. (1)證明:AD⊥平面DBC; (2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問(wèn):當(dāng)球的體積最大時(shí),球的半徑是多少? 專題能力訓(xùn)練13　空間幾何體 一、能力突破訓(xùn)練 1.A　解析 根據(jù)三視圖原則,從上往下看,看不見(jiàn)的線畫虛線,則A正確. 2.

7、A　解析 由三視圖可知,該幾何體是球截去后所得幾何體,則×R3=,解得R=2, 所以它的表面積為×4πR2+×πR2=14π+3π=17π. 3. C　解析 由該四棱錐的三視圖,得其直觀圖如圖.由正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以側(cè)面PAD和PDC都是直角三角形.由俯視圖為直角梯形,易知DC⊥平面PAD.又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以側(cè)面PAB也是直角三角形. 易知PC=2,BC=,PB=3,從而△PBC不是直角三角形.故選C. 4.B　解析 設(shè)球O的半徑為R,則R=,故V球=πR3=4π. 5.D　解析 三棱錐的各頂點(diǎn)在x

8、Oy坐標(biāo)平面上的正投影分別為A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).顯然D1點(diǎn)為A1C1的中點(diǎn),如圖①,正投影為Rt△A1B1C1,其面積S1=×2×2=2. 三棱錐的各頂點(diǎn)在yOz坐標(biāo)平面上的正投影分別為A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,).顯然B2,C2重合,如圖②,正投影為△A2B2D2,其面積S2=×2×. 三棱錐的各頂點(diǎn)在zOx坐標(biāo)平面上的正投影分別為A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,),由圖③可知,正投影為△A3D3C3,其面積S3=×2×. 綜上,S2=S

9、3,S3≠S1.故選D. 圖① 圖② 圖③ 　 6.B　解析 由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成. ∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2 =5πr2+4r2=16+20π,解得r=2. 7.　解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,外接球的半徑為R,則2R=a.∵正方體的表面積為18,∴6a2=18. ∴a=,R=. ∴該球的體積為V=πR3=. 8.　解析 ∵正方體ABCD-A1B1C1D1的

10、棱長(zhǎng)為1, ∴=V正方體- =1-×1×1×1-×1×1×1=. 9.4　解析 (方法一:分割法)幾何體有兩對(duì)相對(duì)面互相平行, 如圖,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DG于H,連接EH,即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH-ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG. 由題意,知 V三棱柱DEH-ABC=S△DEH×AD =×2=2, V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=×2=2. 故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG=2+2=4. (方法二:補(bǔ)形法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行, 如圖,將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體,顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半. 又正方體的體積

11、V正方體ABHI-DEKG=23=8, 故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG=×8=4. 10. 解 (1)作出俯視圖如圖所示. (2)依題意,該多面體是由一個(gè)正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個(gè)三棱錐(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱錐體積·A1E=×1=, 正方體體積=23=8, 故所求多面體的體積V=8-. 11.解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)作EM⊥AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH==6,AH=10,HB=6.

12、 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱, 所以其體積的比值為. 二、思維提升訓(xùn)練 12.D　解析 如圖(2),△PMN為該四棱錐的正視圖,由圖(1)可知,PM+PN=6 cm,且PM=PN. 由△PMN為等腰直角三角形,得MN=3 cm,PM=3 cm. 設(shè)MN的中點(diǎn)為O,則PO⊥平面ABCD,PO=MN= cm, 故VP-ABCD=×(3)2×=9(cm3).故選D. 13.D　解析 由題意得,該幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD,如圖,其最大面的表面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,其面積為×(2)2=2. 14.B　解析 由三視圖可知,該四面體是一個(gè)正方體

13、的內(nèi)接正四面體,所以此四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線的長(zhǎng),為, 所以此四面體的外接球的表面積為4π×=3π. 15.64π　解析 如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,因?yàn)锳B=1,AC=2,∠BAC=60°, 所以BC=,所以∠ABC=90°. 所以△ABC截球O所得的圓O'的半徑r=1. 設(shè)OO'=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,所以x2+1=+1, 解得x=,R2=+12,R=4. 所以球O的表面積為4πR2=64π. 16. (1)證明 設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖, 則

14、DH⊥平面ABC,得DH⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩DH=H, 所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC. 又AD⊥DC,DC∩BC=C, 所以AD⊥平面DBC. (2)解 當(dāng)球的體積最大時(shí),易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設(shè)球的半徑為R,球心為O, 則VD-ABC=R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6. 過(guò)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC. 易得DG=,HG=,DH=,S△DAB=×4×. 在△DAB和△BCD中, 因?yàn)锳D=BC,AB=DC,DB=DB, 所以△DAB≌△BCD, 故S△DBC=,VD-ABC=×6×. 則,于是(4+)R=,所以R=.