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1、內蒙古中考數學重點題型專項訓練 幾何多解題 類型一 點位置不確定 ★1.如圖，正△ABC的邊長為 10，點P為BC邊上的任意一點(不 與點 B，C 重合)，且∠APD＝60°， PD 交 AB 于點D.若 BD＝2，則 BP 的長為________． 第 1 題解圖 5＋5或5－5【解析】∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∵∠APD＝ 60°，∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴CABP＝BDCP.設 BP＝x，則 PC＝10－x，∴x＝2 ，解得x1＝5＋5，x210 10

2、－x ＝5－5. ★2.已知△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，點D為直 線 BC 上的一點，且∠ADB＝30°，則△ABD 的面積為_____． 43－4或43＋4【解析】如解圖①，當點D在CB的延 長線上時，過點 A 作 AH⊥BC 于 H，∵∠BAC＝90°，AC＝ AB ＝ 4 ， ∴△ABC 為 等 腰直角三角形， ∴BC ＝4 2 ，  第 2 題解圖 ∴AH＝BH＝CH＝2 2，又∵∠ADB＝30°，∴DH＝AH tan∠ADB ＝ 22 ＝2

3、 6，BD＝DH－BH＝2 6－2 2，∴SABD＝BD·AH tan30°△2 ＝（26－22）×22＝4 3－4；如解圖②，當點D在BC 2 的延長線上時，過點 A 作 AH⊥BC 于 H, BD＝DH＋BH＝26 BD·AH （2 6 ＋2 2 ）×2 2 ＋2 2，∴S△ABD＝ ＝ ＝4 3＋4. 2 2 ★3. 正方形ABCD的邊長為4，E

4、是AD的中點，點P是直線 BC 邊上的動點，若 CP＝6，則 EP 長為________． 4 5或42【解析】當點 P在直線BC的延長線上，如解圖①，設 DF＝x，則 CF＝4－x，易證：△EDF∽△PCF， ∴DECP＝DFCF，即26＝4－xx，解得 x＝1，∴DF＝1，CF＝3，根據勾股定理得 EF ＝ ED2＋DF2＝ 22＋12＝ 5 ，FP＝CP2＋CF2＝62＋32＝35，∴EP＝5＋35＝45；當點 P 在直線 CB 的延長線上，如解圖②，過點 E 作 EN⊥BC 于點 N，∵CP＝6，BC＝4，AE＝2，∴PB＝2，PN＝4，又∵EN ＝

5、4，∴EP＝ EN2＋PN2＝4 2.∴EP的長為 4 5或 4 2. 第 3 題解圖 類型二 線段位置不確定 ★1. 已知D，E分別在直線AB，AC上，且BC∥DE，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝2DE＝8，則BD的長為________． 2 或 6【解析】如解圖①，當D，E分別為AB，AC的中點時，BC∥DE，此時，AB＝12BC＝4，所以 BD＝2；如解圖②， 當 D，E 分別在 BA，CA 的延長線上時，因為 AB＝12BC＝4,BC∥DE，所以AD＝12DE＝2，所以BD＝6.

6、 第 1 題解圖 ★2. 在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，將△ABC 沿 AC 翻折得到△ADC，若△ABC 一邊上的高為3，則四邊形 ABCD 的周長為________． 24 或 83【解析】由∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，可得 ∠ACB＝30°，所以 AB＝BC；由翻折可得四邊形 ABCD 為菱 形；①當 AC 邊上的高為3時，可得 BC＝6，所以四邊形 ABCD 的周長為 24；②當AB或BC邊上的高為 3 時，可得AB＝23， 所以四邊形 ABCD 的周長為83.

7、 ★3. 已知△ABC 是等邊三角形，AB＝6，D 是 BC 邊上 一點，且 BD＝2，點 E 是 AC 邊一點，若 BE＝AD，則 CE＝ ________． 2 或 4 【解析】如解圖，過A作AM⊥BC于M，過B作BN⊥AC 于 N，易得 AM＝BN，∵AD＝BE，∴Rt△ADM≌Rt△BEN, ∴EN＝DM，∵△ABC 是等邊三角形，AB=6,∴BM＝MC＝3， ∵BD＝2，∴EN＝DM＝1，當 E 在 N 點下方時，有 CE1＝CN－NE1＝3－1＝2，當 E 在 N 點上方時，有 CE2＝CN＋NE2＝ 3＋1＝4.

8、 第 3 題解圖 類型三 特殊圖形邊或角不確定 ★1. 在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分 別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分 是如圖所示的四邊形 ABCD，其中 AB＝2，BC＝4，CD＝3，∠B＝∠C＝90°，則原三角形紙片的斜邊長是________． 第 1 題圖 4 5或10【解析】如解圖①，因為AC＝22＋42＝25，點 A 是斜邊 EF 的中點，所以 EF＝2AC＝45；如解圖②，因為 BD＝32＋42＝5，點D是斜邊

9、EF的中點，所以EF＝ 2BD＝10，綜上所述，原直角三角形紙片的斜邊長是 4 5或 10. 圖① 圖② 第 1 題解圖 ★2.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC＝AC＝4，將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉得到△AB′C′，旋轉角為α(0°≤α≤180°)，射 線 AB′與射線 BC 相交于點 D，若△ACD 為直角三角形，那么 B，D 兩點的距離為________． 第 2 題圖 6 或 12 【解析】由∠B＝30°，BC＝

10、AC，可得∠ACB＝120°， 將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉到如解圖①所示的位置，且 ∠ADC＝90°時，可得∠ACD＝60°，所以 CD＝cos60°·AC＝ 12×4＝2，所以BD＝BC＋CD＝6；將△ABC繞點A逆時針旋 轉到如解圖②所示的位置，且∠CAD＝90°時，可得∠ACD＝ 60°，所以CD＝cos60°AC＝8，所以BD＝BC＋CD＝12. ★3. 已知半徑為1的⊙O中，弦AB＝2，點C是優(yōu)弧AB 上的一個動點，且△ABC 是等腰三角形，則劣弧 AC 的長 等于________． 34π或12π或π

11、【解析】如解圖，作 AB 上的垂直平分線，交優(yōu) ︵ ︵ ︵ 弧 AB 于一點 C，在優(yōu)弧 AB 取兩點 D，E，使得AB＝AD＝BE， ∵OA＝OB＝1，AB＝ 2 ，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°， ︵ 1 90π×1 3 ︵︵︵ 90π×1 1 ︵ ∴l(xiāng)AC＝ 2 (2π×1－ 180 )＝ 4 π，lAD＝lAB＝lBE＝ 180 ＝ 2 π，∴l(xiāng)AE ＝l︵＋l︵＝π. AB BE

12、 第 3 題解圖 類型四 圖形旋轉方向不確定 ★1. 如圖，在 △ABC 中， AB ＝ AC ， ∠BAC ＝ 90° ， DE∥BC，且 BC＝2DE＝2.將△ADE繞點A旋轉 90°得到△AD′E′，則 BE′的長為________． 第 1 題圖 2－1或2＋1 【解析】根據題意可得 2DE＝2，DE＝2， ∴AE＝AD＝1，∵BC＝2，∴AB＝2.①如解圖①，將△ADE 繞點 A 順時針旋轉90°得到△AD′E′，則點 E′落在 AB 上，此 時，BE′＝AB－AE′＝2－1；②如解圖②，將△ADE繞點A 逆時針旋轉 90°得到△AD′E′，則點D′落在AC上，點E′落在 BA 的延長線上，此時可得 BE′＝AB＋AE′＝AB＋AE＝2＋1. 第 1 題解圖