9、，－14 x2＋12x＋2)，DE＝|12x－2|＝2－12x，DF＝|－14 x2＋12x＋2|，
當 2－12x＝－12x2＋x＋4，即點F位于x軸上方，解得 x1＝－1，x2＝4(舍去)，
將 x＝－1代入 y＝
1
x －2，得到y(tǒng)＝－
5
，∴E(－1，－
5
)，
2
2
2
當 2－12x＝12x2－x－4，即點F位于x軸下方，
解得 x1＝－3，x2＝4(舍去)，將 x＝－3代入 y＝12x－2，得到 y＝－72，∴E(－3，－72)．
綜上所述：點 E 的坐標為：(－1，－52)，(－3，－72)
10、．
★2.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線 y＝－x＋4與 x 軸交于點 A，過點 A 的拋物線 y＝ax2＋bx與直線 y＝－x＋4交于另一點 B，且點 B 的橫坐標為1.
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是線段AB上一個動點(點P不與點A、B重合)，過點
P 作 PM∥OB 交第一象限內(nèi)的拋物線于點 M ，過點 M 作
MC⊥x 軸于點 C，交 AB 于點 N，過點 P 作 PF⊥MC 于點 F，
設(shè) PF 的長為 t，
①求 MN 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量 t 的取值
范圍)；
②當 MN 取最
11、大值時，連接 ON，直接寫出sin∠BON 的值．
第 2 題圖
解：(1)∵y＝－x＋4與x軸交于點A，
∴A(4，0)，
∵點 B 的橫坐標為1，且直線 y＝－x＋4經(jīng)過點 B，∴B(1，3)，
∵拋物線 y＝ax2＋bx 經(jīng)過 A(4，0)，B(1，3)，
ì16a+ 4b= 0
，
∴ í
3
?a + b =
ìa = -1
解得 í .
?b =4
∴拋物線的解析式為 y＝－x2＋4x；
(2)①如解圖①，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E，
12、
第 2
∵B(1，3)，A(4，0)，
∴OD＝1，BD＝3，OA＝4，
∴AD＝3，
∴AD＝BD，
∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∵MC⊥x 軸，
∴∠ANC＝∠BAD＝45°，
∴∠PNF＝∠ANC＝45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN＝∠PNF＝45°，
∴NF＝PF＝t，
∵∠PFM＝∠ECM＝90°，
第 2 題解圖①
∴PF∥EC，
∴∠MPF＝∠MEC，
∵ME∥OB，
∴∠MEC＝∠BOD，
∴∠MPF＝∠BOD，
∴tan∠BOD＝t
13、an∠MPF，
∴ODBD＝MFPF＝3，
∴MF＝3PF＝3t，
∵MN＝MF＋FN，
∴MN＝3t＋t＝4t；
②如解圖②，作 BG⊥ON 于 G 點，
第 2 題解圖②
當過點 M 的直線與直線 AB 平行且與拋物線只有一個交點時， MN 取最大，
∴設(shè)與 AB 平行的直線 y＝－x＋b，
當－x2＋4x＝－x＋b；即 x2－5x＋b＝0，
25
＝25－4b＝0，解b＝4 .
25
∴直線 y＝－x＋4，
∴拋物線 y＝－x2＋4x 與 y＝－x＋254的
14、交點 M(52，154)，
∴N 點的橫坐標為52，N 點的縱坐標為－52＋4＝32，即 N(52，
32 )，
∴ON 的解析式為 y＝53 x，
∵BG⊥ON，
5
設(shè) BG 的解析式為 y＝－3 x＋b，
將 B(1，3)代入 y＝－
5
x＋b，解得 b＝
14
，
3
3
5 14
∴BG 的解析式為 y＝－3 x＋3，
ìy =
3
x
ìx =
35
5
17
?
?
15、聯(lián)立
í
5
14 ，解得
í
21 ，
?
?
?y = -
x +
? y =
3
3
17
?
?
35 21
即 G(17，17)．
∴由勾股定理，得 OB＝ 12+ 32＝ 10 ，
BG＝ (1735-1)2+ (1721- 3)2＝61734，
634
∴sin∠BON＝BG＝ 17 ＝ 685 .
OB 10 85
★3 如圖，拋物線y＝x2＋
16、bx＋c過點A(3，0)，B(1，0)，
交 y 軸于點 C，點 P 是該拋物線上一動點，點 P 從 C 點沿拋物線向 A 點運動(點 P 不與點 A 重合)，過點 P 作 PD∥y 軸交直線 AC 于點 D.
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；
(3)在拋物線對稱軸上是否存在點M，使|MA－MC|最大？若
存在，請求出點 M 的坐標，若不存在，請說明理由．
解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3，0)，B(1，0)，
ì9 + 3b+c= 0
ìb =－4
，
∴ í
17、
，解得 í
?1+b+c= 0
?c =3
∴拋物線解析式為 y＝x2－4x＋3；
(2)令x＝0，則y＝3，
∴點 C(0，3)，
則直線 AC 的解析式為 y＝－x＋3，
設(shè)點 P(x，x2－4x＋3)，
∵PD∥y 軸，
∴點 D(x，－x＋3)，
3 9
∴PD＝(－x＋3)－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋4，∵a＝－1<0，
∴當 x＝32時，線段 PD 的長度有最大值94；
(3)由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，
∴MA＝MB，
由三角形的三邊關(guān)系，|MA－MC|<
18、BC，
∴當 M、B、C 三點共線時，|MA－MC|最大，即為 BC 的長
度，
設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx＋m(k≠0)，
ìk + m =0
ì
k = -3
，
則 í
，解得 í
?m =3
?m =3
∴直線 BC 的解析式為 y＝－3x＋3，
∵拋物線 y＝x2－4x＋3的對稱軸為直線 x＝2，
∴當 x＝2時，y＝－3×2＋3＝－3，
∴點 M(2，－3)，
即拋物線對稱軸上存在點 M(2，－3)，使|MA－MC|最大．類型三 面積問題
★1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠
19、0)與x軸交于A、B兩點，與 y 軸交于點 C(0，3)，且此拋物線的頂點坐標為 M(－1，
4)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)設(shè)點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當△ACD與
△ACB 面積相等時，求點 D 的坐標；
(3)點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作x軸的垂線，垂足為 E，將△PCE 沿直線 CE 翻折，使點 P 的對應(yīng)點 P′與 P、E、C 處在同一平面內(nèi)，請求出點 P′坐標，并判斷點 P′是否在該拋物線上．
第 1 題圖
解：(1)∵拋物線y＝ax2＋b
20、x＋c經(jīng)過點C(0，3)，頂點為 M(－1，4)，
ìc =3
ìa = -1
?
b
?b = -2
?-
= -1
，
∴ í
2a
，解得 í
?
?
?a - b + c =4
?c =3
?
∴所求拋物線的解析式為 y＝－x2－2x＋3.
(2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或x＝1，
故 A(－3，0)，B(1，0)．∴AB＝4，
∴OA＝OC＝3，△AOC 為等腰直角三角形．∴直線 AC 的解析式為 y＝x＋3，
如解圖①
21、，設(shè) AC 交對稱軸 x＝－1于
點 F(－1，yF)．
易得 yF＝2，故點 F(－1，2)．
設(shè)點 D 坐標為(－1，yD)，
則 S△ADC＝12|DF|·|AO|＝12×|yD－2|×3.
又 S△ABC＝1|AB|·|OC|＝1×4×3＝6.
第 1 題解圖①
2
2
由12×|yD－2|×3＝6 得：|yD－2|＝4，
故 yD＝－2或 yD＝6.
∴點 D 坐標為(－1，－2)或(－1，6)．
(3)如解圖②，點P′為點P關(guān)于直線CE的對稱點．過點 P′作 P′H⊥y 軸于點 H，設(shè) P′E 交 y 軸于點
22、N.在△EON 和△CP′N 中
ìDCNP￠ = DENO
?
íDCP￠N = DEON =90，
故△CP′N≌△EON(AAS)．
∴CN＝EN，
設(shè) NC＝m，則 NE＝m，
第 1 題解圖②
易得直線 AM 的解析式為 y＝2x＋6，
當 y＝3時，x＝－32，故點 P(－32，3)．
∴P′C＝PC＝32，P′N＝3－m，
在 Rt△P′NC中，由勾股定理，得(32)2＋(3－m)2＝m2，
解得 m＝158，則3－m＝98.即 CN＝158，P′N＝98，
∵S△P′NC＝
23、12|CN|·|P′H|＝12|P′N|·|P′C|，
∴P′H＝109.
由△CHP′∽△CP′N 可得CHCP￠=CPCN￠，故 CH＝CPCN￠2＝65.
∴OH＝3－65＝95，
∴P′的坐標是(109，95)．
將點 P′(109，95)的坐標代入拋物線解析式，等式不成立，所以
點 P′不在該拋物線上．
★2. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋8的圖象與一次函數(shù) y＝－x＋b 的圖象交于 A、B 兩點，點 A 在 x 軸上，點 B 的縱坐標為－7.點 P 是二次函數(shù)圖象上 A、B 兩點之間的一個動
24、點(不與點 A、B 重合)，設(shè)點 P 的橫坐標為 m，過點 P 作 x 軸的垂線交 AB 于點 C，作 PD⊥AB 于點 D.
(1)求b及 sin∠ACP的值；
(2)用含m的代數(shù)式表示線段PD的長；
(3)連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適
合的 m 值，使這兩個三角形的面積之比為1∶2？如果存在，
直接寫出 m 的值；如果不存在，請說明理由．
第 2 題圖
解：(1)∵當y＝0時，－x2＋2x＋8＝0，
∴x1＝－2，x2＝4.
∵點 A 在 x 軸負半軸上，
∴A(－2，
25、0)，OA＝2，
∵點 A 在一次函數(shù) y＝－x＋b 的圖象上，
∴2＋b＝0，
∴b＝－2，
∴一次函數(shù)表達式為 y＝－x－2，
如解圖，設(shè)直線 AB 交 y 軸于點 E，則 E(0，－2)，OE＝OA
＝2，
∴△AOE 為等腰直角三角形，∠AEO＝45°，
∵PC⊥x 軸交 AB 于點 C，
∴PC∥y 軸，
∴∠AEO＝∠ACP＝45°，
∴sin∠ACP＝sin45°＝ 22；
第 2 題解圖
(2)∵點P在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋8圖象
26、上且橫坐標為m，
∴P(m，－m2＋2m＋8)，
∵PC⊥x 軸且點 C 在一次函數(shù) y＝－x－2的圖象上，
∴C(m，－m－2)，
∴PC＝－m2＋3m＋10，
∵PD⊥AB 于點 D，
∴在 Rt△CDP中，sin∠ACP＝PDPC＝22，
∴PD＝－22 m2＋322 m＋52 ；
(3)存在，m的值為－1或2.
理由如下：如解圖，分別過點 D、B 作 DF⊥PC，BG⊥PC，
垂足分別為 F、G.
∵sin∠ACP＝ 22，∴cos∠ACP＝ 22，又∵∠FDP＝∠ACP，∴cos∠FDP＝ 22，
27、
在 Rt△PDF中，DF＝22PD＝－12m2＋32m＋5，
∵點 B 縱坐標為－7，且點 B 在直線 AB：y＝－x－2上，
∴點 B(5，－7)，∴BG＝5－m，
∵P 不與 A、B 兩點重合，∴－2
28、解析式和對稱軸；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最
?。咳舸嬖?，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)連接AC，在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC 的面積最大？若存在，請求出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由．
第 3 題圖
解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)，
把點 A(0，4)代入上式，解得 a＝54，
∴y＝54 (x－1)(x－5)＝54x2－245x＋4＝54 (x－3)2－165，
29、∴拋物線的對稱軸是直線 x＝3.
(2)存在，P點坐標為(3，85)．理由如下如解圖①，連接 AC 交對稱軸于點 P，連接 BP，BA，
∵點 B 與點 C 關(guān)于對稱軸對稱，
∴PB＝PC， 第 3 題解圖①
∴C△PAB＝AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC，
∴此時△PAB 的周長最小，
設(shè)直線 AC 的解析式為 y＝kx＋b(k≠0)，
把 A(0，4)，C(5，0)代入 y＝kx＋b 中，
ìb =4
ì
4
?k =－
5 ，
得 í
，解得 í
?5k+b= 0
30、
?
?b =4
∴直線 AC 的解析式為 y＝－45x＋4，
∵點 P 的橫坐標為3，
∴y＝－45×3＋4＝85，
∴P 點坐標為(3，85)．
(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大，理由如下：
如解圖②，設(shè) N 點的橫坐標為 t，
第 3 題解圖②
此時點 N(t，45t2－245t＋4)(0
31、由(2)可知直線AC的解析式為y＝－45x＋4，
把 x＝t 代入 y＝－45x＋4得 y＝－45t＋4，則 G(t，－45t＋4)．
此時 NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t，
∵AD＋CF＝OC＝5，
∴S△NAC＝ S△ANG＋ S△CNG＝12 NG·AD ＋12 NG·CF ＝12 NG·OC ＝
12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252，
∴當 t＝52時，△NAC 的面積最大，最大值為252，
由 t＝52，得 y＝45t2－245t＋4＝－3，
∴N 點坐標為(
32、52，－3)．
類型四 特殊三角形存在問題
★1.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直
線 x＝－1，且經(jīng)過 A(1，0)，C(0，3)兩點，與 x 軸的另一個交點為 B.
(1)若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點，求拋物線和直線BC的
解析式；
(2)在拋物線的對稱軸x＝－1 上找一點M，使點M到點A的
距離與到點 C 的距離之和最小，求點 M 的坐標；
(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝－1 上的一個動點，求使
△BPC 為直角三角形的點 P 的坐標．
33、
第 1 題圖
ì
b
=－1
?－
ìa =－1
2a
解：
(1)
?
?
，
依題意，得ía + b + c =0
，解得íb =－2
?
?
?c =3
?c =3
?
∴拋物線解析式為 y＝－x2－2x＋3.
∵對稱軸為直線 x＝－1，拋物線經(jīng)過 A(1，0)，
∴B(－3，0)．
把 B(－3，0)，C(0，3)分別代入 y＝mx＋n，
34、ì-3m+n= 0
ì
m =1
，
得 í
，解得 í
?n =3
?n =3
∴直線 BC 的解析式為 y＝x＋3.
（2）如解圖，連接MA，
第 1 題解圖
∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使 MA＋MC 值最小的點 M 應(yīng)為直線 BC 與對稱軸 x＝－1
的交點．
設(shè)直線 BC 與對稱軸 x＝－1的交點為 M，把 x＝－1，代入直
線 y＝x＋3，得 y＝2.
∴M(－1，2)．
(3)設(shè)P(－1，t)，結(jié)合B(－3，0
35、)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋
10.
①若 B 為直角頂點，則 BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－
6t＋10，解得t＝－2；
②若 C 為直角頂點，則 BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若 P 為直角頂點，則 PB2＋PC2＝BC2，即：
4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝3+217 ，t2＝3-217 .
綜上所述，滿足條件的 P 點共有四個，分別為：
P1(－1，－2)，P
36、2(－1，4)，P3(－1，3+217 )，P4(－1，3-217 )．
★2.如圖，拋物線L：y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A，B(3，0)兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，3)，已知對稱軸直線 x＝1.
(1)求拋物線L的解析式；
(2)將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC 內(nèi)(包括△OBC 的邊界)，求 h 的取值范圍；
(3)設(shè)點P是拋物線L上任意一點，點Q在直線l：x＝－3 上，△PBQ 能否成為以點 P 為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點 P 的坐標；若不能，請說明理由．
37、
第 2 題圖
解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得c＝3.
把 B(3，0)代入 y＝ax2＋bx＋3，得 9a＋3b＋3＝0，
又－2ba＝1，∴解得a＝－1，b＝2.
∴解析式是：y＝－x2＋2x＋3；
【一題多解】設(shè)所求解析式為：y＝m(x－1)2＋n，
ì4m+n= 0
ì
m = -1
，
則把 B(3，0)，C(0，3)代入得í
，解得 í
?m + n =3
?n =4
解析式是：y＝－(x－1)2＋4，即 y＝－x2＋2x＋3.
(2)由y＝－
38、(x－1)2＋4得拋物線的頂點D(1，4)，
如解圖①，過點 D 作 y 軸的平行線分別交 CB，OB 于點 E，
F，
∴△BEF∽△BCO，
則OCEF＝BOBF，
∴EF＝2，
∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.
【一題多解】由 y＝－(x－1)2
＋4 得拋物線頂點D(1，4)，
∵△OBC 是等腰直角三角形，
∠OBC＝45°， 第 2 題解圖①
∴EF＝BF＝2，
∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.
(3)設(shè)P(x，－x2＋2x＋3)，如解圖②，過點P分別作x軸與l
的垂線，
垂足分別
39、是點 M ， N ，∠PMB ＝∠PNQ ＝90°，∠BPM ＝
∠QPN，PB＝PQ，
∴△PMB≌△PNQ，
PM＝PN.
第 2 題解圖②
①當點 P 在 x 軸上方時，有－x2＋2x＋3＝x＋3，
即：x2－x＝0，解得 x1＝0，x2＝1，
∴P1(0，3)，P2(1，4)．
②當點 P 在 x 軸的下方時，有：－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，即：x2－3x－6＝0，
解得 x
40、＝
3 ± (-3)2- 4 ′1′ (-6)
＝
3 ±
33
，
2
2
∴P3(
3－
33
，－
9－
33
)，P4(
3 +
33
，－
9 +
33
)，
2
2
2
2
41、
∴滿足條件的點 P 有四個點，分別是 P1(0，3)，P2(1，4)，
P3(3－233 ，－9－233 )，P4(3+233 ，－9+233 )．
★3. 如圖，已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c(c>0)的圖象與x 軸交于 A、B 兩點(點 A 在點 B 的左側(cè))，與 y 軸交于點 C，
且 OB＝OC＝3，頂點為 M.
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為 Q，若 OQ＝m，四邊形 ACPQ 的面積為 S，求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)解析式，并寫出 m 的取值范圍；
(3)探索：線
42、段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？
如果存在，求出點 N 的坐標；如果不存在，請說明理由．
第 3 題圖
解：(1)∵OB＝OC＝3，
∴B(3，0)，C(0，3)，
ì0 = -9 + 3b+c
ìb =2
，
∴ í
，解得 í
?3 =c
?c =3
二次函數(shù)的解析式為：y＝－x2＋2x＋3；
(2)如解圖所示，連接AC，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
則 M(1，4)，
設(shè)直線 MB 的解析式為 y＝kx＋n，
ì
43、
4 =k+n
，
則有 í
?0 = 3k+n
ì
k = -2
，
解得 í
?n =6
∴直線 MB 的解析式為 y＝－2x＋6，
∵PQ⊥x 軸，OQ＝m，
第 3 題解圖
∴點 P 的坐標為(m，－2m＋6)，
∴S 四 邊 形ACPQ＝ SRt△AOC＋ S 梯 形
44、PQOC ＝
1
AO·CO ＋
1
(PQ＋
2
2
CO)·OQ ＝12×1×3＋12(－2m ＋6＋3)·m ＝－ m2＋92 m ＋32(1≤m<3)；
7
16
2
10
10
(3)
線段 BM 上存在點 N(
，
)，(2，2)，(1＋
，4－
)
5
5
5
5
使△NMC 為等腰三角形．
理由如下：如解圖，連接 MC，
45、
由于 N 是直線 BM 上一點，由(2)知：直線 BM 的解析式為：
y＝－2x＋6，因此設(shè) N(x，－2x＋6)且1
46、去)，此時 N(1＋ 10 ，4－210 )；
5 5
③當 CN＝MN 時，
x2+(-2x +3)2＝ (x-1)2+ (-2x+ 2)2，
解得 x＝2，此時 N(2，2)．
類型五 特殊四邊形的存在問題
★1.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸 DE 交 x 軸于點 E，連接 BD.
(1)求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；
(2)點P是線段BD上一點，當PE＝PC時，求點P的坐標；
(3)在(2)的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，
47、G為拋物線上一動點，M 為 x 軸上一動點，N 為直線 PF 上一動點，當以 F、M、N、G 為頂點的四邊形是正方形時，請求出點 M 的坐標．
第 1 題圖 備用圖
解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)兩
點，
ì-1 -b+c= 0
ìb =2
，
∴ í
0
，解得 í
?-9 + 3b+c=
?c =3
∴經(jīng)過 A，B，C 三點的拋物線的函數(shù)表達式為 y＝－x2＋2x
＋3；
(2)如解圖①，連接PC、PE.
48、拋物線對稱軸為直線 x＝－2ba＝
2
－ ＝1，
2×（－1）
當 x＝1時，y＝－1＋2＋3＝4，
∴點 D 坐標為(1，4)，第1題解圖①設(shè)直線 BD 的解析式為：y＝mx＋n，
ìm = -2
將 B、D 分別代入表達式，解得í?n=6 ，則 y＝－2x＋6，
設(shè)點 P 的坐標為(x，－2x＋6)，∵C(0，3)，E(1，0)，∴由勾股定理可得 PC2＝x2＋[3－(－2x＋6)]2，
PE2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，
∵PC＝PE，
∴x2＋(3＋2x－6)2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，
解得 x＝
49、2，y＝－2×2＋6＝2，
∴點 P 坐標為(2，2)；
(3)依題意可設(shè)點M的坐標為(a，0)，則G坐標為(a，－a2＋
2a＋3),
如解圖②，以 F、M、N、G 為頂點的四邊形是正方形時，必
有 FM＝MG，
|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，
①2－a＝－(－a2＋2a＋3)，
解得 a＝1± 21 ，
2
②2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝
第 1 題解圖②
3 ±
13
，
2
∴M 點的坐標為
50、(
1－
21
，0)，(
1 +
21
，0)，(
3－
13
，0)，
2
2
2
( 3+ 13 ，0)．
2
★2.如圖，拋物線y＝ax2＋3x＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P在第一象限的拋物線上，且點P的橫坐標為t，過
點 P 向 x 軸作垂線交直線 BC 于點 Q，設(shè)線段 PQ 的長為 m，求 m 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 m 的最大值；
(3)
51、在(2)在條件下，m的最大值為拋物線上點D的縱坐標(D
不與 C 重合)，在 x 軸上找一點 E，使點 B、C、D、E 為頂點
的四邊形是平行四邊形，請直接寫出 E 點坐標．
第 2 題圖
解：(1)∵拋物線y＝ax2＋3x＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)兩點，
ìa -3+ c =0
∴í?16a+12 +c= 0 ，
解得：a＝－1，c＝4.
∴拋物線的解析式為 y＝－x2＋3x＋4.
(2)∵將x＝0代入拋物線的解析式得：y＝4，
∴C(0，4)．
設(shè)直線 BC 的解析式
52、為 y＝kx＋b.
ì
4k+b= 0
，解得：k＝－1，b
將 B(4，0)，C(0，4)代入得：í
= 4
?b
＝4，
∴直線 BC 的解析式為：y＝－x＋4.
過點 P 作 x 的垂線與直線 BC 交于點 Q，如解圖：
第 2 題解圖
∵點 P 的橫坐標為 t，
∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4)．∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∴m＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0
53、E為(1，0)或(7，0)．
【解法提示】將 y＝4代入拋物線的解析式得：－x2＋3x＋4
＝4.
解得：x1＝0，x2＝3.
∵點 D 與點 C 不重合，
∴點 D 的坐標為(3，4)．
又∵C(0，4)，
∴CD∥x 軸，CD＝3.
∴當 BE＝CD＝3時，B、C、D、E 為頂點的四邊形是平行四
邊形．
∴點 E(1，0)或(7，0)．
1
★3.如圖，拋物線y＝4x2＋bx＋c經(jīng)過原點O和點A(4，
0)．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若該拋物線的對稱軸交x軸于點B，拋物線頂點為C，點
54、
P 為拋物線上任意一點，設(shè)點 P 的橫坐標為 x，當 S△ABP＝1
時，請求出滿足條件的所有的點 P 的坐標；
(3)點M為拋物線對稱軸上一個動點，點N為平面內(nèi)任一點，
能否滿足以 M、N、A、C 為頂點的四邊形為菱形，若滿足，
請直接寫出 M 點的坐標；若不滿足，請說明理由．
第 3 題圖
解：(1)∵拋物線y＝14x2＋bx＋c經(jīng)過原點O和點A(4，0)，
∴y＝14x(x－4)，即 y＝14x2－x.
(2)如解圖①，由題意，拋物線對稱軸為直線x＝2，∴B(2，0),
又∵A(4，0)，
55、
∴AB＝2，
∵S△ABP＝1，
∴1AB·|yP|＝1，
2
∴1×2·|yP|＝1，
2
∴|yP|＝1，
第 3 題解圖①
∴yP＝±1，
當 yP＝1時，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2±22 ；
當 yP＝－1時，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2，
∴P1(－22 ＋2，1)，P2( 22 ＋2，1)，P3(2，－1)；
(3)M1(2， 5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32)
【解法提示】如解圖②，連接 AC，∵
56、A(4，0)，B(2，0)，點
C 是拋物線 y＝14x2－x 的頂點，
∴C(2，－1)，
∴AC＝ 5 ，
以 M、N、A、C 為頂點的四邊形為菱形時，分兩種情況討論：
Ⅰ、當 AC 為菱形的邊時：
第 3 題解圖②
①∵四邊形 ACM1N1為菱形，AM1、CN1為對角線，
∴AC＝CM1＝ 5 ，
∴BM1＝ 5 －1，
∴M1的坐標為(2， 5 －1)；
②∵四邊形 ACM2N2為菱形，AM2、CN2為對角線，AC＝ 5 ，
∴
57、AC＝CM2＝ 5 ，
∴BM2＝ 5 ＋1，
∴M2的坐標為(2，－ 5 －1)；
③∵四邊形 ACN3M3為菱形，CM3、AN3為對角線，
且根據(jù)拋物線和菱形的對稱性得：N3與 O 點重合，
∴CB＝BM3＝1，
∴M3的坐標為(2，1)；
Ⅱ、當 AC 為菱形的對角線時，D 為 AC 中點，
∵四邊形 AN4CM4為菱形，AC＝ 5 ，
5
∴CD＝2，
∵S△ACM4＝12AB·CM4＝12AC·DM4，設(shè) CM4長為 x，
∴12×2x＝25 × x2-(25)2，
解得 x＝52.
58、
∴BM4＝CM4－1＝32，
∴M4的坐標為(2，32)．
綜上所述，存在點 M，點 M1(2，5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32)．
類型六 三角形相似問題
★1. 如圖，直線y＝－x＋3與x軸，y軸分別相交于點B、
C，經(jīng)過 B、C 兩點的拋物線 y＝ax2＋bx＋c 與 x 軸的另一個
交點為 A，頂點為 P，且對稱軸為直線 x＝2.
(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接PB、PC，求△PBC的面積；
(3)連接AC，在x軸上是否存在一點Q，使得以點P、B、Q
為頂點的三角形與△AB
59、C 相似，若存在，求出點 Q 的坐標；
若不存在，請說明理由．
第 1 題圖
解：(1)∵y＝－x＋3與x軸、y軸相交于B、C兩點，
∴C(0，3)，B(3，0)，
∵拋物線的對稱軸為：x＝2，
∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
ì3 = 4a+k
把 B(3，0)、C(0，3)兩點代入，得í ，
?0 =a+k
ìa =1
解得， í?k= -1 ，
∴拋物線的解析式為：y＝(x－2)2－1，即 y＝x2－4x＋3.
(2)∵y＝x2－4x
60、＋3＝(x－2)2－1，
∴P(2，－1)，
又∵B(3，0)、C(0，3)，
∴PC＝ 2 2+ 4 2＝ 20 ＝ 25 ，PB＝ (3 - 2)2+12＝ 2 ，BC＝ 3 2+ 3 2＝ 18 ＝ 32 ，
又∵PB2＋BC2＝2＋18＝20，PC2＝20，∴PB2＋BC2＝PC2，∴△PBC 是直角三角形．
∴S△PBC＝12PB·BC＝12× 2 × 32 ＝3.
(3)設(shè)存在點Q(m，0)，使得以點P、B、Q為頂點的三角形與
△ABC 相似，
易證∠ABC＝∠ABP＝45°，∴Q 點在 B 點左邊，則 m<3，
61、
于是 AB＝2，BC＝32 ，BQ＝3－m，BP＝ 2 ，
①當
BC
＝
BA
時，△QBP∽△ABC，則
3
2
＝
2
，解得，
3 -m
BP BQ
2
m＝73，∴Q(73，0)；
②當BQBC＝BABP時，△PBQ∽△ABC，則33-2m＝22，解得，m
＝0，∴Q(0，0)，
故存在點 Q，使得以點 P、B、Q 為頂點的三角形與△ABC 相
似．Q 點的坐標為 Q(73，0)或 Q(0，0)．
★2.如圖，已知拋物線經(jīng)過
62、原點O，頂點為A(1，1)，且與直線 y＝x－2交于 B，C 兩點．
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；
(2)求證：△ABC是直角三角形；
(3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物
線交于點 M，則是否存在以 O，M，N 為頂點的三角形與△ABC
相似，若存在，請求出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由．
第 2 題圖
(1)解：∵頂點坐標為(1，1)，
∴設(shè)拋物線解析式為 y＝a(x－1)2＋1(a≠0)，
又∵拋物線過原點，
∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝
63、－1，∴拋物線解析式為 y＝－(x－1)2＋1，即 y＝－x2＋2x，
ì
2
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 íy= -x
+ 2 x
，
?y = x -2
ìx =2
ì
x = -1
，
解得 í
或 í
?y =0
? y = -3
∴B(2，0)，C(－1，－3)；
（2）證明：如解圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x
軸于 D、E 兩點，
第 2 題解圖
則 AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3，
64、
∴∠ABO＝∠CBO＝45°，
即∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形；
(3)解：假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N(x，0)，則M(x，－x2
＋2x)，
∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，
由(2)知，在 Rt△ABD和 Rt△CEB中，可分別求得AB＝ 2 ，
BC＝32 ，
∵MN⊥x 軸于點 N，
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴當△ABC 和△MNO 相似時有MNAB＝ONBC或MNBC＝ONAB，
MN
ON
-x2+2x
x
65、
①當△MNO∽△ABC，
＝
時，則有
＝
，
AB
CB
2
3
2
即|x||－x＋2|＝13|x|，
∵當 x＝0時，M、O、N 不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，
∴|－x＋2|＝13，即－x＋2＝±13，解得x＝53或x＝73；
此時 N 點坐標為(
5
，0)或(
7
，0)；
3
3
②當△MNO∽△CBA，
MN
＝
ON
時，則有
-x2+2 x
＝
x
，
CB AB
3 2
2
即|x||－x＋2|＝3|x|，
∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5 或x＝－1，
此時 N 點坐標為(－1，0)或(5，0)，
綜上可知存在滿足條件的 N 點，其坐標為(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0)．
內(nèi)蒙古中考數(shù)學重點題型專項訓練 二次函數(shù)綜合題
