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1、廣西柳州市2022年中考數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練05 函數(shù)與幾何圖形的綜合 1.[xx·濟寧]已知函數(shù)y=mx2-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點. (1)求m的取值范圍,并寫出當(dāng)m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式; (2)題(1)中求得的函數(shù)記為C1. ①當(dāng)n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,求n的值; ②函數(shù)C2:y=m(x-h)2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點P落在以原點為圓心,半徑為的圓內(nèi)或圓上.設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點為M,求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式. 2.[xx·攀枝花改編]如圖ZT5-1,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A

2、,B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,3). 圖ZT5-1 (1)求拋物線的解析式; (2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的最大值. (3)點D為拋物線對稱軸上一點.當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,求點D的坐標(biāo). 3.[xx·無錫]如圖ZT5-2,以原點O為圓心,3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(點B在點A的右邊),P是半徑OB上一點,過點P且垂直于AB的直線與☉O分別交于C,D兩點(點C在點D的上方),直線AC,DB交于點E.若AC∶CE=1∶2. 圖ZT5-2 (

3、1)求點P的坐標(biāo); (2)求過點A和點E,且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達式. 4.[xx·柳北區(qū)三模]如圖ZT5-3,拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3),交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)). 圖ZT5-3 (1)求拋物線的解析式,并寫出頂點M的坐標(biāo); (2)連接OC,CM,求tan∠OCM的值; (3)若點P在拋物線的對稱軸上,連接BP,CP,BM,當(dāng)∠CPB=∠PMB時,求點P的坐標(biāo). 5.[xx·柳北區(qū)4月模擬]如圖ZT5-4①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=x+m與x軸,y軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y=x2

4、+bx+c經(jīng)過點B,且與直線l的另一個交點為C(4,n). 圖ZT5-4 (1)求n的值和拋物線的解析式. (2)點D在拋物線上,且點D的橫坐標(biāo)為t(0

5、x2-x-與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上. 圖ZT5-5 (1)求直線AE的解析式. (2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是線段CP上的一點,點N是線段CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值. (3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2-x-沿x軸正方向平移得到新拋物線y',y'經(jīng)過點D,y'的頂點為點F.在新拋物線y'的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由

6、. 參考答案 1.解:(1)由題意可得: 解得:m<,且m≠0. 當(dāng)m=2時,函數(shù)解析式為y=2x2+x. (2)①函數(shù)y=2x2+x圖象開口向上,對稱軸為直線x=-, ∴當(dāng)x<-時,y隨x的增大而減小. ∵當(dāng)n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n, ∴2n2+n=-3n. ∴n=-2或n=0(舍去). ∴n=-2. ②∵y=2x2+x=2x+2-, ∴函數(shù)C1的圖象頂點M的坐標(biāo)為-,-. 由圖形可知當(dāng)P為射線MO與圓的交點時,距離最大. ∵點P在直線OM上,由O(0,0),M-,-可求得直線的解析式為y=x. 設(shè)P(a,b),則有a=2

7、b. 根據(jù)勾股定理可得PO2=(2b)2+b2=()2,解得b=1(負值已舍). ∴a=2. ∴PM最大時函數(shù)C2的解析式為y=2(x-2)2+1. 2.解:(1)由題意得解得 ∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3. (2)方法1(代數(shù)法):如圖①,過點P作PG∥CF交CB于點G, 由題意知∠BCO=∠CFE=45°,F(0,m),C(0,3), ∴△CFE和△GPE均為等腰直角三角形, ∴EF=CF=(3-m),PE=PG. 又易知直線BC的解析式為y=-x+3. 設(shè)xP=t(1

8、3=t+m,∴m=t2-5t+3. ∴PE+EF=(3-m)+(-m-2t+3)=(-2t-2m+6)=-(t+m-3)=-(t2-4t)=-(t-2)2+4, ∴當(dāng)t=2時,PE+EF取最大值4. 方法2:(幾何法)如圖②,由題易知直線BC的解析式為y=-x+3,OC=OB=3, ∴∠OCB=45°. 同理可知∠OFE=45°, ∴△CEF為等腰直角三角形. 以BC為對稱軸將△FCE對稱得到△F'CE,作PH⊥CF'于點H 則PE+EF=PF'=PH. 又PH=yC-yP=3-yP. ∴當(dāng)yP最小時,PE+EF取最大值. ∵拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,-1), ∴當(dāng)y

9、P=-1時,(PE+EF)max=×(3+1)=4. (3)由(1)知對稱軸為直線x=2,設(shè)D(2,n),如圖③. 當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC上方D1位置時, 由勾股定理得C+BC2=B, 即(2-0)2+(n-3)2+(3)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5; 當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC下方D2位置時, 由勾股定理得B+BC2=C, 即(2-3)2+(n-0)2+(3)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1. ∴當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,D點坐標(biāo)為(2,5)或(2,-1). 3.解:(1)過點

10、E作EF⊥x軸于點F, ∵CD⊥AB, ∴CD∥EF,PC=PD. ∴△ACP∽△AEF, △BPD∽△BFE. ∵AC∶CE=1∶2, ∴AC∶AE=1∶3. ∴==,==.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB. ∴3AP-3PB=AB. 又∵☉O的半徑為3,設(shè)P(m,0), ∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0). (2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0). ∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12. 連接BC.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°. ∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP, ∴=. ∴CP2=

11、AP·BP=4×2=8. ∴CP=2(負值已舍).∴EF=3CP=6. ∴E(9,6). ∵拋物線的頂點在直線CD上, ∴CD是拋物線的對稱軸, ∴拋物線過點(5,0). 設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c. 根據(jù)題意得 解得 ∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-x-. 4.解:(1)由拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3), 得3=a(4-2)2-1,解得a=1, ∴拋物線的解析式為y=(x-2)2-1,頂點M的坐標(biāo)為(2,-1). (2)如圖,連接OM, ∵OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20, ∴CM2+O

12、M2=OC2, ∴∠OMC=90°. OM=,CM=2,tan∠OCM===. (3)如圖,過C作CN垂直于對稱軸,垂足N在對稱軸上,取一點E,使EN=CN=2,連接CE,EM=6. 當(dāng)y=0時,(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0). ∵CN=EN,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°, ∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM, ∴∠EPC=∠PBM,∴△CEP∽△PMB, ∴=,易知MB=,CE=2, ∴=,解得PM=3±, ∴P點坐標(biāo)為(2,2+)或(2,2-). 5.解:(1)∵直線l:y=x+m經(jīng)過點B(0,

13、-1), ∴m=-1, ∴直線l的解析式為y=x-1. ∵直線l:y=x-1經(jīng)過點C(4,n), ∴n=×4-1=2. ∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,-1), ∴ 解得 ∴拋物線的解析式為y=x2-x-1. (2)令y=0,則x-1=0, 解得x=, ∴點A的坐標(biāo)為,0, ∴OA=. 在Rt△OAB中,OB=1, ∴AB===. ∵DE∥y軸, ∴∠ABO=∠DEF, 在矩形DFEG中,EF=DE·cos∠DEF=DE·=DE, DF=DE·sin∠DEF=DE·=DE, ∴p=2(DF+EF)=2×+DE=DE, ∵點D的橫坐

14、標(biāo)為t(0

15、)2-(x+1)-1+, 解得x=-. 綜上所述,點A1的橫坐標(biāo)為或-. 6.解:(1)令y=0,得x2-x-=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴點A(-1,0),B(3,0). ∵點E(4,n)在拋物線上, ∴n=×42-×4-=, 即點E, 設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b, 則,解得 ∴直線AE的解析式為y=x+. (2)令y=x2-x-中x=0,得y=-, ∴C(0,-).由(1)得點E, ∴直線CE的解析式為y=x-. 過點P作PH∥y軸,交CE于點H,如圖①, 設(shè)點Pt,t2-t-,則Ht,t-, ∴PH=t--=-t2+t, ∴S△PCE=S

16、△PHC+S△PHE=·PH· =××4 =-t2+t =-(t2-4t) =-(t-2)2+. ∵-<0, ∴當(dāng)t=2時,S△PCE最大,此時點P(2,-). ∵C(0,-), ∴PC∥x軸. ∵B(3,0),K為BC的中點, ∴K,-. 如圖②,作點K關(guān)于CP,CD的對稱點K1,K2,連接K1K2,分別交CP,CD于點M,N. 此時KM+MN+NK最小,易知K1,-. ∵OC=,OB=3,OD=1, ∴∠OCB=60°,∠OCD=30°, ∴CD平分∠OCB, ∴點K2在y軸上. ∵CK=OC=, ∴點K2與原點O重合, ∴KM+MN+NK=K1M+MN+NO=OK1==3, ∴KM+MN+NK的最小值為3. (3)存在.如圖③,點Q的坐標(biāo)分別為Q1(3,2),Q23,,Q33,-, Q43,.