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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個(gè)附加題綜合仿真練（六）（理）（含解析） 1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請任選二個(gè)作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，B＝. (1)求AB； (2)若曲線C1：＋＝1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程． 解：(1)因?yàn)锳＝，B＝， 所以AB＝＝. (2)設(shè)Q(x0，y0)為曲線C1上的任意一點(diǎn)， 它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)， 則＝，即所以 因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在曲線C1上，則＋＝1， 從而＋＝1，即x2＋y2＝8. 因此曲線C1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得

2、到曲線C2：x2＋y2＝8. B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝β，若圓C與直線l相切，求直線l的極坐標(biāo)方程． 解：圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝1， 設(shè)直線l對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為y＝kx， 因?yàn)閳AC與直線l相切， 所以d＝＝1，得到k＝±， 故直線l的極坐標(biāo)方程θ＝或θ＝. C．[選修4－5：不等式選講] 已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. 證明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋

3、b2)(c2＋d2)． 因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 2.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，D為CC1上任意一點(diǎn)(含端點(diǎn))． (1)若D為CC1的中點(diǎn)，求異面直線BA1與AD所成角的余弦值； (2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C1重合時(shí)，求二面角A1BDA的正弦值． 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知A(0,0,0)，B(0，－2,0)，A1(0,0,2)，C1(2,0,2)， 所以＝(0，－2,0)，＝(0,2,2)． (1)若D為CC1的中點(diǎn)，則＝(2,0,1)， 設(shè)直線B

4、A1與直線AD的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝， 因此異面直線BA1與AD所成角的余弦值為. (2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C1重合時(shí)，易知D(2,0,2)，則＝(2,2,2)， 設(shè)平面A1BD的法向量為m＝(x，y，z)， 則即 取y＝1，解得x＝0，z＝－1，即平面A1BD的一個(gè)法向量為m＝(0,1，－1)， 同理，可得平面ABD的一個(gè)法向量為n＝(－1,0,1)． 設(shè)二面角A1BDA的大小為α， 則|cos α|＝＝＝， 因?yàn)棣痢蔥0，π]，所以sin α＝＝， 因此二面角A1BDA的正弦值為. 3．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，對任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋

5、. (1)求證：當(dāng)n≥2時(shí)，an≥2； (2)利用“?x＞0，ln(1＋x)＜x”，證明：an＜2e (其中e是自然對數(shù)的底數(shù))． 證明：(1)①由題意，a2＝×1＋＝2，故當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝2，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)不等式成立，即ak≥2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ak＋＞2. 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)①②可知，對所有n≥2，an≥2成立. (2)當(dāng)n≥2時(shí)，由遞推公式及(1)的結(jié)論有an＋1＝an＋≤an(n≥2)． 兩邊取對數(shù)，并利用已知不等式ln(1＋x)＜x，得 ln an＋1≤ln＋ln an＜ln an＋＋， 故ln an＋1－ln an＜＋(n≥2)， 求和可得ln an－ln a2＜＋＋…＋＋＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋·＝－＋－<. 由(1)知，a2＝2，故有l(wèi)n＜， 即an＜2e (n≥2)， 而a1＝1＜2e，所以對任意正整數(shù)n，有an＜2e.