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1、湖南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練06 圓綜合問題練習(xí) 06 圓綜合問題 1.如圖ZT6-1,△ABC為☉O的內(nèi)接三角形,點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn),連接AD,CD,CO,BO,延長CO,交AB于點(diǎn)F,CD=BC. (1)求證:∠DAC=∠ACO+∠ABO; (2)點(diǎn)E在OC上,連接EB,若∠DAB=∠OBA+∠EBA,求證:EF=EB. 圖ZT6-1 2.[xx·陜西] 如圖ZT6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作☉O,分別與AC,BC相交于點(diǎn)M,N. (1)過

2、點(diǎn)N作☉O的切線NE,與AB相交于點(diǎn)E,求證:NE⊥AB; (2)連接MD,求證:MD=NB. 圖ZT6-2 3.如圖ZT6-3,☉O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC,交☉O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E作直線l∥BC. (1)判斷直線l與☉O的關(guān)系,并說明理由; (2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF; (3)在(2)的條件下,若DE=5,DF=3,求AF的長. 圖ZT6-3 4.[xx·攀枝花] 如圖ZT6-4,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別與BC,AC交于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作

3、DF⊥AC于點(diǎn)F. (1)若☉O的半徑為3,∠CDF=15°,求陰影部分的面積; (2)求證:DF是☉O的切線; (3)求證:∠EDF=∠DAC. 圖ZT6-4 5.[xx·畢節(jié)] 如圖ZT6-5,在△ABC中,以BC為直徑的☉O交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的垂線,交AB于點(diǎn)F,交CB的延長線于點(diǎn)G,且∠ABG=2∠C. (1)求證:EG是☉O的切線; (2)若tanC=,AC=8,求☉O的半徑. 圖ZT6-5 6.[xx·黔南州] 如圖ZT6-6所示,以△ABC的邊AB為直徑作☉O,點(diǎn)C在☉O上,BD是☉O的弦,∠A=∠CB

4、D,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CE∥BD,交AB的延長線于點(diǎn)E. (1)求證:CE是☉O的切線; (2)求證:CG=BG; (3)若∠DBA=30°,CG=4,求BE的長. 圖ZT6-6 參考答案 1.證明:(1)如圖,連接OA. ∵OA=OC,∴∠1=∠ACO.∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO. ∵DC=BC,∴=.∴∠BAC=∠DAC. ∴∠DAC=∠ACO+∠ABO. (2)∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴

5、∠BAD=∠BOC. ∵∠DAB=∠OBA+∠EBA, ∴∠BOC=∠OBA+∠EBA. ∵∠BOC=∠OBF+∠OFB, ∴∠EFB=∠EBF.∴EF=EB. 2.證明:(1)如圖①,連接ON. ∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線, ∴CD=AB=BD.∴∠DCB=∠B. ∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB. ∴∠ONC=∠B.∴ON∥DB. ∵NE是☉O的切線,∴ON⊥NE. ∴NE⊥AB. (2)如圖②,連接ND. ∵CD為☉O的直徑, ∴∠CND=∠CMD=90°. ∵CD=BD=AD, ∴BN=BC,CM=AM. ∴DM是△ABC的中位線.

6、 ∴DM=BC.∴MD=NB. 3.解:(1)直線l與☉O相切.理由:如圖,連接OE. ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE. ∴=.∴OE⊥BC. ∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直線l與☉O相切. (2)證明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF. 又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF. 又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB. ∴BE=EF. (3)由(2)得BE=EF=DE+DF=8.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴=,即=.解得AE=.∴AF=AE-EF=-8=. 4.

7、解:(1)如圖①,連接OE,過點(diǎn)O作OM⊥AC于M,則∠AMO=90°. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°. ∵∠FDC=15°,∴∠C=90°-15°=75°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°. ∴OM=OA=×3=,AM=OM=. ∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3. ∵∠AEO=∠BAC=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°. ∴陰影部分的面積S=S扇形AOE-S△AOE=-×3×=3π-. (2)證明:如圖②,連接OD.∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠O

8、DB=∠C,∴AC∥OD. ∵DF⊥AC,∴DF⊥OD. ∵OD是☉O的半徑,∴DF是☉O的切線. (3)證明:如圖③,連接BE. ∵AB為☉O的直徑,∴∠AEB=90°.∴BE⊥AC. ∵DF⊥AC,∴BE∥DF.∴∠FDC=∠EBC. ∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC. ∵A,B,D,E四點(diǎn)共圓,∴∠DEF=∠ABC. ∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C. ∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC. 5.解:(1)證明:連接OE,BE.∵∠ABG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,∴∠C=∠A.∴BC=AB. ∵BC是☉O的直徑,∴∠CEB=

9、90°,即BE⊥AC.∴CE=AE. 又CO=OB,∴OE∥AB.∵GE⊥AB,∴EG⊥OE. 又OE是☉O的半徑,∴EG是☉O的切線. (2)∵AC=8,∴CE=AE=4,∵tanC==,∴BE=2.∴BC==2,∴CO=,即☉O的半徑為. 6.解:(1)證明:如圖,連接OC.∵∠BAC=∠CBD, ∴=.∴OC⊥BD. ∵CE∥BD,∴OC⊥CE.∴CE是☉O的切線. (2)證明:∵AB為☉O的直徑, ∴∠ACB=90°. ∵CF⊥AB,∴∠ACB=∠CFB=90°. ∵∠ABC=∠CBF,∴∠A=∠BCF. ∵∠A=∠CBD,∴∠BCF=∠CBD, ∴CG=BG. (3)連接AD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°. ∵∠DBA=30°,∴∠BAD=60°. ∵=, ∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°. ∴=tan30°=. ∵CE∥BD,∴∠E=∠DBA=30°. ∴AC=CE.∴=. ∵∠CAB=∠BCF=∠CBD=30°, ∴∠BCE=30°, ∴BE=BC.∴△CGB∽△CBE. ∴==. ∵CG=4,∴BC=4.∴BE=4.