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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 課時跟蹤檢測（二十）小題考法——不等式 一、選擇題 1．在R上定義運算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，則a＋b＝(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．2 C．4 D．8 解析：選C　由題知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4. 2．已知正數(shù)a，b的等比中項是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是(　　) A．

2、3 B．4 C．5 D．6 解析：選C　由正數(shù)a，b的等比中項是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，當且僅當a＝b＝2時等號成立，故m＋n的最小值為5. 3．設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝x＋2y的最大值為(　　) A．5 B．6 C. D．7 解析：選C　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖易知，當直線z＝x＋2y經(jīng)過直線x－y＝－1與x＋y＝4的交點，即時，z取得最大值，zmax＝＋2×＝，故選C. 4．(2017·全國卷Ⅲ)設x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　)

3、 A．[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] 解析：選B　作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當直線z＝x－y過點A(2,0)時，z取得最大值2，當直線z＝x－y過點B(0,3)時，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]． 5．(2017·全國卷Ⅱ)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 解析：選A　作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示． 易求得可行域的頂點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當直線z＝2x

4、＋y過點B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15. 6．設不等式組所表示的區(qū)域面積為S.若S≤1，則m的取值范圍為(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0] C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：選A　如圖，當x＋y＝1與y＝mx交點為(－1,2)時，不等式組所表示的區(qū)域面積為1，此時m＝－2，若S≤1，則m≤－2，故選A. 7．已知實數(shù)x，y滿足若z＝x＋2y的最小值為－4，則實數(shù)a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選B　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示， 當直線z＝x＋2y經(jīng)過點C時，z取

5、得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2，故選B. 8．(2019屆高三·浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1處取得極小值，則＋的最小值為(　　) A．4 B．5 C．9 D．10 解析：選C　由f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)，得f′(x)＝ax2＋bx－1，則f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，即a＝，b＝時，等號成立，故選C. 9．(2017·衢州二中交流卷)若實數(shù)x，y滿足|[x]|＋|y|≤1([x]表示不超過x的最大整數(shù))，則的取值范圍是(　

6、　) A. B. C. D. 解析：選A　因為|[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根據(jù)[x]的具體值進行分類： ①當[x]＝－1，即－1≤x<0時，y＝0； ②當[x]＝0，即0≤x<1時，|y|≤1，即－1≤y≤1； ③當[x]＝1，即1≤x<2時，y＝0. 在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域，如圖所示． ＝1＋，其幾何意義為可行域內(nèi)的點(x，y)與點(－2，－2)所確定的直線的斜率加1.而由圖可知，點(－1，0)與點(－2，－2)所確定的直線的斜率最大，最大值為＝2；點(1，－1)與點(－2，－2)所確定的直線的斜率最小，最小值為＝，又由圖知取不到最小值，

7、所以∈，故選A. 10．(2017·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝設a∈R，若關于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C．[－2，2] D. 解析：選A　法一：根據(jù)題意，作出f(x)的大致圖象，如圖所示． 當x≤1時，若要f(x)≥恒成立，結合圖象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故對于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；當x>1時，若要f(x)≥恒成立，結合圖象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，當且僅當＝，即x＝2時等號成立，所以a≤2.綜上，a的取值范圍是. 法二：關于x的不等式f(x)≥在R上

8、恒成立等價于－f(x)≤a＋≤f(x)， 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立， 令g(x)＝－f(x)－. 當x≤1時，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3 ＝－2－， 當x＝時，g(x)max＝－； 當x>1時，g(x)＝－－＝－≤－2， 當且僅當＝，且x>1，即x＝時，“＝”成立， 故g(x)max＝－2. 綜上，g(x)max＝－. 令h(x)＝f(x)－， 當x≤1時，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3 ＝2＋， 當x＝時，h(x)min＝； 當x>1時，h(x)＝x＋－＝＋≥2， 當且僅當＝，且x>1，即x＝2時，“＝”成立， 故h(

9、x)min＝2.綜上，h(x)min＝2. 故a的取值范圍為. 二、填空題 11．若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化簡得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 12．設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是________________． 解析：由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當x<0時，x

10、＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞) 13．(2018·紹興一中調(diào)研)已知實數(shù)x，y滿足則由不等式組確定的可行域的面積為________，z＝2x－y的最大值為________． 解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，所以可行域的面積為1，因為目標函數(shù)z＝2x－y的斜率為2，所以過點A(3,0)時取到最大值6. 答案：1　6 14．(2018·杭州二中調(diào)研)已知x>3y>0或x<3y<0，則(x－2y)2＋的最小值是________．

11、 解析：(x－2y)2＋≥(x－2y)2＋＝(x－2y)2＋≥8，當4y＝x，x－2y＝±2時取等號． 答案：8 15．如果實數(shù)x，y滿足條件且z＝的最小值為，則正數(shù)a的值為________． 解析：根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，經(jīng)分析可知當x＝1，y＝1時，z取最小值，即＝，所以a＝1. 答案：1 16．(2018·紹興質(zhì)量調(diào)測)已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋3y＝42，則xy＋5x＋4y的最小值為________． 解析：由題知，xy＋5x＋4y＝(xy＋2x＋3y)＋3x＋y＝42＋3x＋y， 而(x＋3)(y＋2)＝48，因此144＝(3x＋9)(y＋2)

12、≤2，因此3x＋y≥13，當且僅當3x＋9＝y(tǒng)＋2，即時取等號．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，則xy＋5x＋4y的最小值為55. 答案：55 17．若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是________． 解析：不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因為≥＝＝4，當且僅當(2a＋b)(2a－b)≥0，即2|a|≥|b|時等號成立，所以的最小值為4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.

13、故實數(shù)x的取值范圍為[－2，2]． 答案：[－2,2] B組——能力小題保分練 1．已知x，y滿足則z＝8－x·y的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當x＝1，y＝2時，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此時2－3x－y最小，最小值為.故選D. 2．設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為6，則＋的最小值為(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 解析：選B　依題意畫出不等式組

14、表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． ∵a>0，b>0， ∴當直線z＝ax＋by經(jīng)過點(2,4)時，z取得最大值6， ∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3. ∴＋＝(a＋2b)×＝＋＋≥3，當且僅當a＝b＝1時等號成立，∴＋的最小值為3.故選B. 3．設不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*)，若m>＋＋…＋對于任意的正整數(shù)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　不等式組表示的平面區(qū)域為直線x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n圍成的直角三角形(不含直角邊)，區(qū)域內(nèi)橫坐標為1的整點有2n個

15、，橫坐標為2的整點有n個，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故當n趨近于無窮大時，趨近于，所以m≥.故選A. 4．設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導函數(shù)為f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，則的最大值為(　　) A.＋2 B.－2 C．2＋2 D．2－2 解析：選B　由題意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，則a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，則≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，則t≥0.當t>0時，≤＝

16、≤＝－2，當t＝0時，＝0<－2，故的最大值為－2，故選B. 5．(2019屆高三·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)過P(－1,1)的光線經(jīng)x軸上點A反射后，經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)某點(記為B)，則|PA|＋|AB|的取值范圍是________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，點P關于x軸的對稱點為P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，過點P1作直線x＋y－2＝0的垂線，則|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值為＝2.由得B0(2,3)，則|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值為|P1B0|＝＝5. 故2≤|PA|＋|AB|≤5. 答案：[2，5]

17、 6．(2018·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中)設實數(shù)x，y滿足不等式組且目標函數(shù)z＝3x＋y的最大值為15，則實數(shù)m＝________；設min{a，b}＝則z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范圍是________． 解析：因為直線x＋y－3＝0與x－3y＋5＝0交于點A(1，2)，而直線x＋my－1＝0過點(1,0)，則當m>0時，不等式組不能構成可行域．當m＝0時，可行域為點A(1,2)，不符合題意．當－>，即－3

18、≤－3時，不等式組構成的可行域是一個開放區(qū)域，此時，目標函數(shù)z＝3x＋y沒有最大值．綜合得m＝－1. 此時，可行域是以A(1,2)，B(2,1)，C(4,3)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)． 而z＝min{x＋y＋2,2x＋y}＝直線x＝2把可行域分成以A(1,2)，B(2,1)，D為頂點的三角形區(qū)域，和以B(2,1)，C(4,3)，D為頂點的三角形區(qū)域．故只要求z＝2x＋y在三角形ABD區(qū)域上的范圍，z＝x＋y＋2在三角形BCD區(qū)域上的范圍即可． 當平行直線系2x＋y＝z在三角形ABD區(qū)域內(nèi)運動時，z＝2x＋y∈. 當平行直線系x＋y＋2＝z在三角形BCD區(qū)域內(nèi)運動時，z＝x＋y＋2∈[5,9]． 從而有z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范圍是[4,9]． 答案：－1　[4,9]