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1、（通用版）2022高考數(shù)學一輪復習 2.6 二次函數(shù)講義 文 一、基礎知識批注——理解深一點 1．二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)； 兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)系數(shù)的特征 (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系數(shù)a的正負決定圖象的開口方向及開口大?。? (2)－的值決定圖象對稱軸的位置； (3)c的取值決定圖象與y軸的交點； (4)b2－4ac的正負決定圖象與x軸的交點個數(shù)． 解析式 f(x)＝

2、ax2＋bx＋c(a>0)　 f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)　　 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減 奇偶性 當b＝0時為偶函數(shù)，當b≠0時為非奇非偶函數(shù) 頂點 對稱性 圖象關于直線x＝－成軸對稱圖形 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點 1．一元二次不等式恒成立的條件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0，且Δ<0”． 2．二次函數(shù)在閉區(qū)間上

3、的最值 設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，閉區(qū)間為[m，n]． (1)當－≤m時，最小值為f(m)，最大值為f(n)； (2)當m<－≤時，最小值為f，最大值為f(n)； (3)當<－≤n時，最小值為f，最大值為f(m)； (4)當－>n時，最小值為f(n)，最大值為f(m)． 三、基礎小題強化——功底牢一點 (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．(　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) (3)a＝1是函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)的充分不必要條件．(　　) 答案

4、：(1)×　(2)×　(3)√ (二)選一選 1．若二次函數(shù)y＝2x2＋bx＋c關于y軸對稱，且過點(0,3)，則函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝2x2＋x＋3　　　　 　B．y＝2x2＋3 C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3 解析：選B　由題可知函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，則b＝0.又過點(0,3)，則c＝3，故解析式為y＝2x2＋3. 2．若函數(shù)y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則t的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞) 解析：選A　函數(shù)y＝x2－2tx＋3的圖象開口向上，以直線x＝t

5、為對稱軸．又函數(shù)y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則t≤1. 3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意知即解得a>. (三)填一填 4．函數(shù)y＝－x2＋4x－2在區(qū)間[1,4]上的最小值為________． 解析：函數(shù)y＝－x2＋4x－2的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝2，所以當x＝4時，y的最小值為－2. 答案：－2 5．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為[a－1，2a]，則y＝f(x)的值域為________． 解析：因為f(x)＝ax2＋b

6、x＋3a＋b是偶函數(shù)，所以其定義域[a－1,2a]關于原點對稱，所以a－1＝－2a，所以a＝，因為f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)， 所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，x∈，其值域為. 答案： 求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同. [典例]　已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． [解]　法一：利用二次函數(shù)的一般式 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 故所求二次函數(shù)為f(x

7、)＝－4x2＋4x＋7. 法二：利用二次函數(shù)的頂點式 設f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝＝. ∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：利用零點式 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2

8、＋4x＋7. [解題技法]　求二次函數(shù)解析式的策略 [題組訓練] 1．已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是(－2，－1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)＝________. 解析：法一：設所求解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由已知得解得 所以所求解析式為f(x)＝x2＋x－. 法二：設所求解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 依題意得解得 所以所求解析式為f(x)＝x2＋x－. 法三：設所求解析式為f(x)＝a(x－h(huán))2＋k. 由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1， 將點(1,0)代入，得a＝，

9、所以f(x)＝(x＋2)2－1， 即f(x)＝x2＋x－. 答案：x2＋x－ 2．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則函數(shù)的解析式f(x)＝____________. 解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， ∴f(x)的對稱軸為x＝2. 又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 設f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x

10、－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 答案：x2－4x＋3 考法(一)　二次函數(shù)圖象的識別 [典例]　若一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象只可能是(　　) [解析]　因為一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程x＝－<0，只有選項C適合． [答案]　C [解題技法]　識別二次函數(shù)圖象應學會“三看” 考法(二)　二次函數(shù)的單調(diào)性與最值問題 [典例]　(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時，有最大值2，則a的值為___

11、_____． (2)設二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　(1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對稱軸方程為x＝a. 當a<0時，f(x)max＝f(0)＝1－a， 所以1－a＝2，所以a＝－1. 當0≤a≤1時，f(x)max＝a2－a＋1， 所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 所以a＝(舍去)． 當a>1時，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2. (2)依題意a≠0，二次函數(shù)f(x)＝ax

12、2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)＝f(2)，則當f(m)≤f(0)時，有0≤m≤2. [答案]　(1)－1或2　(2)[0,2] [解題技法] 1．二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路 (1)類型： ①對稱軸、區(qū)間都是給定的； ②對稱軸動、區(qū)間固定； ③對稱軸定、區(qū)間變動． (2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點”是指區(qū)間兩個端點和中點，“一軸”指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題． (3)求二次函數(shù)最值口訣如下： 棄y軸，十字

13、圖，對應橫軸對稱軸； 函數(shù)草圖隨意作，開口方向莫疏忽； 區(qū)間與軸描分布，高低位置最值處； 二次函數(shù)含參數(shù)，邏輯分類誰做主； 動兮定兮對稱軸，看作靜止參照物． 2．二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略 (1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解． (2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較． 考法(三)　與二次函數(shù)有關的恒成立問題 [典例]　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是____

14、____； (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則k的取值范圍為________． [解析]　(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0， 則有 即 解得－k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立． 設g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 則g(x)在[－3，－1]上遞減． ∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k<1.故k的取值范圍為(－∞，1)． [答案]　(1)　(2)(－∞，1) [解題技法] 由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思

15、路及關鍵 (1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)． (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. [題組訓練] 1．(2019·杭州模擬)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內(nèi)的最大值為－5，則a的值為(　　) A.　　　　　　　　　 　B．1或 C．－1或 D．－5或 解析：選D　f(x)＝－42－4a，對稱軸為直線x＝. ①當≥1，即a≥2時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增， ∴f(x)m

16、ax＝f(1)＝－4－a2. 令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)． ②當0<<1，即0

17、知≤m≤3，故選C. 3．已知函數(shù)f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在區(qū)間[－1,1]上f(x)≤8恒成立，則a的最大值為________． 解析：令ax＝t，因為a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函數(shù)化為g(t)＝t2＋3t－2，顯然g(t)在上單調(diào)遞增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值為2. 答案：2 A級——保大分專練 1．(2019·重慶三校聯(lián)考)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1的圖象的對稱軸方程是x＝1，并且過點P(－1,7)，則a，b的值分別是(　　)

18、A．2,4　　　　　　　　　 　B．－2,4 C．2，－4 D．－2，－4 解析：選C　∵y＝ax2＋bx＋1的圖象的對稱軸是x＝1，∴－＝1. ① 又圖象過點P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6. ② 由①②可得a＝2，b＝－4. 2．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則a的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 解析：選D　函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a的對稱軸為直線x＝2，開口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上單調(diào)遞增，則當x＝0時，f(x)的最小

19、值為f(0)＝a＝－2. 3．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是(　　) 解析：選C　若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故可排除B.故選C. 4．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，則(　　) A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0 C．

20、a>0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0,2a＋b＝0 解析：選A　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先減后增，于是a>0，故選A. 5．若關于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 解析：選A　不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a<(x2－4x－2)max， 令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)， 所以f(x)

21、(4)＝－2，所以a<－2. 6．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)， 應有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 7．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點坐標為，且方程f(x)＝0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是________． 解析：設f(x)＝a2＋49(a≠0)， 方程a2＋49＝0的兩個實根分別為x1，x2， 則|x1－x2|＝2 ＝

22、7， 所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40. 答案：f(x)＝－4x2－12x＋40 8．(2018·浙江名校協(xié)作體考試)y＝的值域為[0，＋∞)，則a的取值范圍是________． 解析：當a＝0時，y＝，值域為[0，＋∞)，滿足條件；當a≠0時，要使y＝的值域為[0，＋∞)，只需解得01，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三種情形討論． (1)當a<－2時，由圖①可知f(x)在[

23、－1,1]上的最大值為f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)． (2)當－2≤a≤2時，由圖②可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f＝. (3)當a>2時，由圖③可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(1)＝a－1. 綜上可知，f(x)max＝ 10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈[－1,1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝2x＋m的圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，

24、2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1. (2)因為當x∈[－1,1]時，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方， 所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立； 即x2－3x＋1>m在區(qū)間[－1,1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－， 因為g(x)在[－1,1]上的最小值為g(1)＝－1， 所以m<－1.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)． B級——創(chuàng)高分自選 1.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論： ①b2>4ac；②2

25、a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正確； 對稱軸為x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②錯誤； 結(jié)合圖象，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，③錯誤； 由對稱軸為x＝－1知，b＝2a. 又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0時，f(x)＝(x－1)2，若當x∈時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為(　　) A. B. C. D．1

26、 解析：選D　當x<0時，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因為x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1. 3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)當a＝2，x∈[－2,3]時，求函數(shù)f(x)的值域； (2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值． 解：(1)當a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]， 對稱軸為x＝－∈[－2,3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴函數(shù)f(x)的值域為.

27、 (2)∵函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－. ①當－≤1，即a≥－時， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，滿足題意； ②當－＞1，即a＜－時， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意． 綜上可知，a＝－或－1. 4．求函數(shù)y＝x2－2x－1在區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最大值． 解：函數(shù)y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2的圖象的對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是(1，－2)，函數(shù)圖象如圖所示，對t進行討論如下： (1)當對稱軸在閉區(qū)間右邊，即當t＋1<1，即t<0時，函數(shù)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1. (2)當對稱軸在閉區(qū)間內(nèi)時，0≤t≤1，有兩種情況： ①當t＋1－1≤1－t，即0≤t≤時， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1； ②當t＋1－1>1－t，即1時，函數(shù)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞增， f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2. 綜上所述，t≤時，所求最大值為t2－2t－1；t>時，所求最大值為t2－2.