《（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一講 解題的先決條件—信息獲取講義 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一講 解題的先決條件—信息獲取講義 理（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一講 解題的先決條件—信息獲取講義 理 我們常把數(shù)學(xué)習(xí)題的結(jié)構(gòu)分為條件(已知部分)和結(jié)論(未知部分)．如果針對(duì)問題的組成結(jié)構(gòu)而言，這種認(rèn)識(shí)是無可挑剔的．但是，數(shù)學(xué)習(xí)題的解決是習(xí)題與人的思維活動(dòng)相互作用的結(jié)果，人在認(rèn)識(shí)和解決一道數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，是關(guān)注習(xí)題的條件還是結(jié)論呢？事實(shí)上，同一道習(xí)題可以用多種形式表達(dá)，習(xí)題的條件和結(jié)論的表述不盡相同，弄清習(xí)題的條件和結(jié)論，只是對(duì)習(xí)題最初步、最基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)，真正與習(xí)題解答直接相關(guān)的是習(xí)題蘊(yùn)藏的信息，它才是激發(fā)解題思維之源、產(chǎn)生解題方案之源．下面結(jié)合實(shí)例，教你如何正確關(guān)注題目的條件和結(jié)論，準(zhǔn)確獲取解題信息，從而正確迅速解題．

2、 一、習(xí)題條件蘊(yùn)藏的信息對(duì)解答習(xí)題存在重要作用 習(xí)題的條件部分，既是結(jié)論成立的條件，也是習(xí)題解答的條件．如何直接利用條件或最大限度地挖掘條件隱藏的信息對(duì)問題的解決非常重要．無論是幾何問題還是代數(shù)問題，不僅要發(fā)現(xiàn)條件直接呈現(xiàn)的信息，還需要發(fā)現(xiàn)與條件相關(guān)的潛在信息，一個(gè)優(yōu)秀的解題高手必須具備這一素質(zhì)． [例1]　如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)．V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是(　　) A．V1＝　　　　　　 B．

3、V2＝ C．V1>V2 D．V1＜V2 [解析]　這個(gè)習(xí)題直接呈現(xiàn)的信息就是圖形，我們從圖形中可以挖掘出以下3項(xiàng)潛在信息：①大球半徑是小球半徑的2倍；②4個(gè)小球中每個(gè)小球與相鄰的兩個(gè)小球相交；③V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積．從結(jié)論中我們只能得到信息：比較V，V1，V2的大小． 可以看出：圖形中隱藏的3條信息直接關(guān)系到問題的解答，如果給定大球的半徑，甚至可以求出V，V1，V2的大小．但是，結(jié)論信息不要求算出V，V1，V2的大小，只要求尋找三者的大小關(guān)系．為了便于表述，我們可以假設(shè)小球的半徑為r(也可以假設(shè)小球的半徑為單位1)． 于是

4、有V＝π(2r)3＝πr3，V小球＝πr3. 因?yàn)閂2＝V－4V小球＋V1. 所以V2－V1＝V－4V小球＝πr3>0，可知C錯(cuò)誤，D正確． 所以V＝V2－V1＋4V小球>4V小球>2V1，可知A錯(cuò)誤． 所以V2＝V－4V小球＋V1>V－4V小球＝πr3＝，可知B錯(cuò)誤． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　從此題的解答來看，圖形中不僅反映了大、小球之間的位置關(guān)系，也隱藏著V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1，而且題設(shè)條件中隱藏的這條信息對(duì)習(xí)題的解答具有重要作用．于是我們可以得到一點(diǎn)解題經(jīng)驗(yàn)：對(duì)于含有圖形、表格的習(xí)題，仔細(xì)挖掘圖形中隱藏的信息，如點(diǎn)、線、面之間的位

5、置關(guān)系，角之間的大小關(guān)系，線段之間的長度關(guān)系，表格中數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和大小關(guān)系，是尋找解題思路的有效途徑． 二、習(xí)題結(jié)論隱藏的信息對(duì)習(xí)題解答產(chǎn)生的作用不可忽視 在解題過程中，通常重視問題的條件信息，忽視問題的結(jié)論信息，認(rèn)為條件才是問題解決的基礎(chǔ)材料，結(jié)論是問題解決所追求的終極目標(biāo)．其實(shí)，這是一種片面的認(rèn)識(shí)，結(jié)論所隱藏的信息又何嘗不是問題解決的基礎(chǔ)，也存在著重要作用．要善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向． [例2]　若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≤4. [證明]　這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有3項(xiàng)：①a，b，c∈(0，＋∞

6、)；②a＋b＋c＝1；③＋＋≤4. 可以看出：條件信息①②只是說明a，b，c的范圍及關(guān)系，沒有體現(xiàn)與結(jié)論“＋＋≤4”的聯(lián)系，對(duì)解題思路缺乏直接指導(dǎo)作用，相反，結(jié)論信息“＋＋≤4，左邊為三個(gè)根式的和，右邊為常數(shù)”，這為尋找解題方案做出了暗示． 我們只要回想自己的解題經(jīng)驗(yàn)，就可以想到“去掉根號(hào)化為整式，有利于進(jìn)一步化簡和推理”，這究竟能否成功解決問題呢？這只是問題解決的假設(shè)方案． 如何才能去掉根號(hào)呢？想到利用“基本不等式”可以實(shí)現(xiàn)這一條解題方案，但是，我們馬上發(fā)現(xiàn)，直接利用基本不等式并不能解決該問題，難道是我們的方案不對(duì)？仔細(xì)分析分析“基本不等式”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)“≤”以及利用基本不等式求最值的條

7、件“一正、二定、三相等”，想到要使該不等式成立，應(yīng)有“a＝b＝c＝”，從而應(yīng)有a＋5＝b＋5＝c＋5＝成立．故應(yīng)拼湊 ，巧妙升次，促成“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化，于是就有了如下解決方案： 因?yàn)? ≤＋(a＋5)， 2 ≤＋(b＋5)，2 ≤＋(c＋5)， 所以2 (＋＋)≤16＋(a＋5)＋(b＋5)＋(c＋5)＝31＋(a＋b＋c)＝32. 所以＋＋≤4. [反思領(lǐng)悟]　從該題的解答過程來看，條件信息只能保證根式有意義和代數(shù)式＋＋＝4成立而已，對(duì)探求解題思路的作用不大；而結(jié)論信息為解題提供了明確的暗示——去根號(hào)．就提供解題策略而言，條件作用小，結(jié)論作用大，于是我們可以得到一點(diǎn)解題經(jīng)驗(yàn)：

8、對(duì)于題設(shè)簡單、結(jié)論復(fù)雜的數(shù)學(xué)習(xí)題，挖掘問題結(jié)論所隱藏的信息，是尋找解題思路的一條途徑． 三、習(xí)題結(jié)論是“終極目標(biāo)”不一定是“關(guān)鍵目標(biāo)” [例1]的結(jié)論是判斷正誤，沒有明確指出比較V，V1，V2中哪兩個(gè)的大小關(guān)系．問題的結(jié)論只是一組信息，也是我們解題時(shí)所追求的終極目標(biāo)；但是，有時(shí)也許是一組模糊的信息，并不一定是解題過程中追求的關(guān)鍵目標(biāo)．關(guān)鍵目標(biāo)有可能是問題結(jié)論的反面，或者是一個(gè)矛盾，或者是與結(jié)論相關(guān)的、等價(jià)的另一問題……，解答[例1]的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1.解題時(shí)只有對(duì)習(xí)題的所有信息進(jìn)行綜合加工處理，關(guān)鍵目標(biāo)才能浮現(xiàn)出來． [例3]　設(shè)

9、函數(shù)f(x)＝aexln x＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f(x)>1. [解]　(1)f′(x)＝aex＋(x>0)， 由于直線y＝e(x－1)＋2的斜率為e，圖象過點(diǎn)(1,2)， 所以即解得 (2)證明：由(1)知f(x)＝exln x＋(x>0)， 從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xe－x－. 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x， 所以當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)>0， 故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為

10、g＝－. 構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xe－x－，則h′(x)＝e－x(1－x)． 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0； 故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－. 綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1. [反思領(lǐng)悟]　本題的終極目標(biāo)是證明f(x)>1成立．若按照常規(guī)思路，直接構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exln x＋－1，求導(dǎo)后不易分析，因此不宜對(duì)其整體進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，而是將不等式“exln x＋>1”合理拆分為“xln x>xe－x－”，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xln x，

11、h(x)＝xe－x－，此時(shí)，問題解決的關(guān)鍵目標(biāo)是證明g(x)>h(x)成立． 從上述論述來看，問題解決最重要的環(huán)節(jié)是解題思路的探求，在解題思路的探求過程中，題設(shè)條件并非解題的唯一條件，結(jié)論也不是一成不變的結(jié)論．將問題的條件信息和結(jié)論信息聯(lián)系起來整體地思考和探究，結(jié)合大腦中儲(chǔ)備的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行綜合加工，才有利于發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵目標(biāo)，探求到合理而有效的解題方案． 四、習(xí)題信息的轉(zhuǎn)化是實(shí)現(xiàn)信息“化暗為明”的必備能力 數(shù)學(xué)習(xí)題呈現(xiàn)的信息具有多樣性．有圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系信息，也有代數(shù)問題中的數(shù)量大小關(guān)系信息、代數(shù)式的特征信息，還有圖、表中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系信息．為了深入理解習(xí)題的信息，常

12、根據(jù)其表現(xiàn)形式分為以下三類： 1．形象信息 數(shù)學(xué)問題中以圖形、表格等直觀形象的形式表達(dá)出來的信息，稱為形象信息，如幾何圖形、函數(shù)圖象、坐標(biāo)系、分布列、頻率分布直方圖、莖葉圖等，呈現(xiàn)給我們的是直觀形象的材料． 2．符號(hào)信息 符號(hào)信息是用字母、數(shù)字、數(shù)學(xué)式子等形式表達(dá)的信息，呈現(xiàn)給我們的是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，通常稱為數(shù)的信息． 3．語言信息 語言信息就是用有意義的語言來表達(dá)的信息，也就是用漢語、數(shù)學(xué)語言來表達(dá)的數(shù)量關(guān)系、概念和數(shù)學(xué)習(xí)題中的解釋、說明等信息． 這三類信息既有區(qū)別又有聯(lián)系．雖然在表達(dá)形式上不同，但在解題過程中是可以互相轉(zhuǎn)化的．只有熟練地轉(zhuǎn)化解題信息，才能化隱性信息為顯性信息、

13、化新情景問題為已學(xué)知識(shí)．熟練地轉(zhuǎn)化各類信息的表述形式與成功解答習(xí)題存在正相關(guān)，一個(gè)優(yōu)秀的解題高手，必須是一個(gè)信息處理和信息轉(zhuǎn)化方面的能手． [例4]　函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是(　　) A．{3,4}　　　　　 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{2,3} [解析]　令Pn(xn，f(xn))，＝＝kOPn，由＝＝…＝?kOP1＝kOP2＝…＝kOPn， 即過點(diǎn)O的射線與函數(shù)圖象有n個(gè)不同的交點(diǎn)．于是過點(diǎn)O作射線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)可能有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，所以選B. [

14、答案]　B [反思領(lǐng)悟]　此題的解答過程中，先將符號(hào)信息(數(shù)的信息)＝＝…＝轉(zhuǎn)化為另一形式的數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，再將數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn轉(zhuǎn)化為語言信息“OP1，OP2，…，OPn的斜率相等”，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為語言信息“過點(diǎn)O的射線與函數(shù)圖象有n個(gè)不同的交點(diǎn)”． 顯然，此題的解答過程就是一系列的信息轉(zhuǎn)化過程． [例5]　已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. [解析]　

15、首先將圓C1，C2和|PM|＋|PN|符號(hào)信息轉(zhuǎn)化為形象信息，如圖(1)所示，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為語言信息“求線段和|PM|＋|PN|的最小值”，將圓C1關(guān)于x軸對(duì)稱得到圓C3，得到形象信息圖(2)，將問題轉(zhuǎn)化為“求圖(2)中|PM|＋|PN|的最小值”．于是|PM|＋|PN|≥|C2C3|－(R1＋R2)＝5－4. [答案]　A [反思領(lǐng)悟]　在解答平面幾何和解析幾何問題時(shí)，我們常常根據(jù)題意作出草圖，這就是把語言信息或符號(hào)信息轉(zhuǎn)化為形象信息．又如，用解析法解答平面幾何問題時(shí)，又把形象信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)信息和語言信息．總之，三類信息是密切相關(guān)的，解題者常常根據(jù)自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維習(xí)慣將三類信息相互轉(zhuǎn)化．