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1、（通用版）2022高考數(shù)學一輪復習 1.1 集合講義 文 一、基礎(chǔ)知識批注——理解深一點 1．集合的有關(guān)概念 (1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性． 元素互異性，即集合中不能出現(xiàn)相同的元素，此性質(zhì)常用于求解含參數(shù)的集合問題中． (2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (3)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為. (4)五個特定的集合及其關(guān)系圖： N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集． 2．集合間的基本關(guān)系 (1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的

2、元素，則稱A是B的子集，記作A?B(或B?A)． (2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于A，則稱A是B的真子集，記作AB或BA. AB?既要說明A中任何一個元素都屬于B，也要說明B中存在一個元素不屬于A. (3)集合相等：如果A?B，并且B?A，則A＝B. 兩集合相等：A＝B?A中任意一個元素都符合B中元素的特性，B中任意一個元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．記作?. 0，{0}，?，{?}之間的關(guān)系：?≠{?}， ?∈{

3、?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合間的基本運算 (1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}． 求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的

4、條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA. 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點 (1)子集的性質(zhì)：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B. (2)交集的性質(zhì)：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A. (3)并集的性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A. (4)補集的性質(zhì)：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A. (5)含有n個元素的集合共有2n個子集，其中有2n－1個真子集，2n－1個非空子集． (6)等價關(guān)系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B. 三、基礎(chǔ)小題強化——功底牢一

5、點 (1)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　) (3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (4)任何一個集合都至少有兩個子集．(　　) (5)若AB，則A?B且A≠B.(　　) (6)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(　　) (7)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)× (二)選一選 1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，則A∪

6、B＝(　　) A．[0,3]　　　　　　　 　B．[1,2] C．[0,3) D．[1,3] 解析：選C　因為A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}. 2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，則下面結(jié)論中正確的是(　　) A．{a}?A B．a(chǎn)?A C．{a}∈A D．a(chǎn)?A 解析：選D　因為2不是自然數(shù)，所以a?A. 3．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 解析：選A　法一：將滿足x2＋y2≤3

7、的整數(shù)x，y全部列舉出來，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個．故選A. 法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數(shù)，故選A. (三)填一填 4．若集合A＝{x|－23}，則A∩B＝________. 解析：由集合交集的定義可得A∩B＝{x|－2

8、__. 解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴?UA＝{－1}． 答案：{－1} [典例]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　 　B．2 C．1 D．0 (2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 019＋b2 019的值為(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 [解析]　(1)因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素

9、的個數(shù)為2. (2)由已知得a≠0，則＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案]　(1)B　(2)C [解題技法]　與集合中的元素有關(guān)的解題策略 (1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集． (2)看這些元素滿足什么限制條件． (3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性． [提醒]　集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意． [題組訓練] 1．設(shè)集合A＝{0,

10、1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，則集合B中元素的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A　若x∈B，則－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，當0∈B時，1－0＝1∈A；當－1∈B時，1－(－1)＝2∈A；當－2∈B時，1－(－2)＝3∈A；當－3∈B時，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的個數(shù)為1. 2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于(　　) A. B. C．0 D．0或 解析：選D　若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根． 當

11、a＝0時，x＝，符合題意． 當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝， 所以a的值為0或. 3.（2018·廈門模擬）已知P={x|2

12、<0}，則滿足條件B?A的集合B的個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 (3)已知集合A＝{x|－10時，因為A＝{x|－1

13、數(shù)軸上標出兩集合，如圖， 所以所以0

14、?B，由得m≥3， ∴m的取值范圍為[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞) 3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4<0，解得－2

15、用列舉法(或圖示法等)表示各個集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系 一個 關(guān)鍵 關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和真子集兩種關(guān)系 考法(一)　集合的運算 [典例]　(1)(2018·天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，則(A∪B)∩C＝(　　) A．{－1,1}　　　　　　　 　B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{2,3,4} (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為(　　) A．{x|－2≤

16、x<4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} [解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C＝{x∈R|－1≤x＜2}， ∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}． (2)依題意得A＝{x|x<－1或x>4}， 因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． [答案]　(1)C　(2)D [解題技法]　集合基本運算的方法技巧 (1)當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助

17、Venn圖運算． (2)當集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗． (3)集合的交、并、補運算口訣如下： 交集元素仔細找，屬于A且屬于B； 并集元素勿遺漏，切記重復僅取一； 全集U是大范圍，去掉U中a元素，剩余元素成補集． 考法(二)　根據(jù)集合運算結(jié)果求參數(shù) [典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－4,3) B．[－3,4] C．(－3,4) D．(－∞，4] (2)(2019·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,

18、2a}，若A∩B＝{4}，則a＝(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．3或1 [解析]　(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故選B. (2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3，故選A. [答案]　(1)B　(2)A [解題技法] 根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)值或范圍的方法 (1)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不

19、等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到． (2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解． (3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍． [題組訓練] 1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝(　　) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 解析：選C　因為集合B＝{x|－1

20、lg x<2}，則(?RA)∩B＝(　　) A. B. C. D．? 解析：選A　由題意得A＝，B＝(0,100)，則?RA＝(－∞，－1)∪，所以(?RA)∩B＝. 3．(2019·合肥質(zhì)量檢測)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B. C. D．(1，＋∞) 解析：選A　因為A∩B≠?， 所以解得a≥1. 1．(2019·福州質(zhì)量檢測)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1

21、D．4 解析：選B　依題意，集合A是由所有的奇數(shù)組成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的個數(shù)為2. 2．設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，則?U(A∪B)＝(　　) A．{2,6} B．{3,6} C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6} 解析：選A　因為A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以?U(A∪B)＝{2,6}． 3．(2018·天津高考)設(shè)全集為R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝(　　) A

22、．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2} 解析：選B　∵全集為R，B＝{x|x≥1}， ∴?RB＝{x|x＜1}． ∵集合A＝{x|0＜x＜2}， ∴A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}． 4．(2018·南寧畢業(yè)班摸底)設(shè)集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，則下列關(guān)系中正確的是(　　) A．M∩N＝M B．M∪(?RN)＝M C．N∪(?RM)＝R D．M∪N＝M 解析：選D　由題意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M. 5．設(shè)集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，則

23、A∩B為(　　) A. B．[－1,0) C. D．[－1,1] 解析：選A　∵≤2x<，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<，∴A＝.∵ln x≤0，即ln x≤ln 1，∴0

24、．若A∩B非空，則A∩B的元素個數(shù)為(　　) A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n 解析：選D　因為∪中有n個元素，如圖中陰影部分所示，又U＝A∪B中有m個元素，故A∩B中有m－n個元素． 8．定義集合的商集運算為＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，則集合∪B中的元素個數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選B　由題意知，B＝{0,1,2}，＝，則∪B＝，共有7個元素． 9．設(shè)集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________. 解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤

25、2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}． 答案：{－1,0} 10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，則下圖中陰影部分所表示的集合為 ________． 解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴?UB＝{x|x≤1或x≥4}，則題圖中陰影部分所表示的集合為(?UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}． 答案：{x|－5≤x≤1} 11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則集合A∩B中的元素個數(shù)為________． 解析：法一：由集合的意義可知，A∩B表示曲線y＝3x2－3x＋1與直線y＝x的交

26、點構(gòu)成的集合． 聯(lián)立得方程組解得或 故A∩B＝，所以A∩B中含有2個元素． 法二：由集合的意義可知，A∩B表示曲線y＝3x2－3x＋1與直線y＝x的交點構(gòu)成的集合．因為3x2－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判別式Δ>0，所以該方程有兩個不相等的實根，所以A∩B中含有2個元素． 答案：2 12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：由log2x≤2，得0＜x≤4， 即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}， 由于A?B，在數(shù)軸上標出集合A，B，如圖所示，則a＞4. 答案：(4，＋∞) 13．設(shè)全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2