《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第2課時 用空間向量解決立體幾何中的垂直問題學案 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第2課時 用空間向量解決立體幾何中的垂直問題學案 新人教A版選修2-1（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2課時　用空間向量解決立體幾何中的垂直問題 學習目標　1.能用向量法判斷一些簡單線線、線面、面面垂直關系.2.掌握用向量方法證明有關空間線面垂直關系的方法步驟． 知識點一　向量法判斷線線垂直 設直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 知識點二　向量法判斷線面垂直 設直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)． 知識點三　向量法判斷面面垂直 思考　平面α，β的法向量分別為μ1＝(x1，y1，z

2、1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐標法表示兩平面α，β垂直的關系式是什么？ 答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 梳理　若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (1)平面α的法向量是唯一的，即一個平面不可能存在兩個不同的法向量．(×) (2)兩直線的方向向量垂直，則兩條直線垂直．(√) (3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直．(√) (4)兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行；兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直．(√)

3、 類型一　線線垂直問題 例1　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝CC1.求證：AB1⊥MN. 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 證明　設AB中點為O，作OO1∥AA1.以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz. 由已知得A， B，C， N，B1， ∵M為BC中點， ∴M. ∴＝，＝(1,0,1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 反思與感悟　證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標

4、系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直． 跟蹤訓練1　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1. 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 證明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C兩兩垂直． 如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Cxyz. 則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， ∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)， ∴

5、·＝0.∴AC⊥BC1. 類型二　證明線面垂直 例2　如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點． 求證：AB1⊥平面A1BD. 考點　向量法求解直線與平面的位置關系 題點　向量法解決線面垂直 證明　如圖所示，取BC的中點O，連接AO. 因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC. 因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，OB，OO1，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Ox

6、yz， 則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)， B1(1,2,0)． 所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)， ＝(－2,1,0)． 因為·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0. ·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0. 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD. 反思與感悟　用坐標法證明線面垂直的方法及步驟 方法一：(1)建立空間直角坐標系． (2)將直線的方向向量用坐標表示． (3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量． (4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)

7、量積為0. 方法二：(1)建立空間直角坐標系． (2)將直線的方向向量用坐標表示． (3)求出平面的法向量． (4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行． 跟蹤訓練2　如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點．求證：直線PB1⊥平面PAC. 考點　向量法求解直線與平面的位置關系 題點　向量法解決線面垂直 證明　如圖，以D為坐標原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz， C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)， ＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1

8、)， ＝(1,1,1)，＝(0，－1，－2)， ＝(－1,0，－2)． ·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以⊥，即PB1⊥PC. 又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以⊥，即PB1⊥PA. 又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC. 類型三　證明面面垂直問題 例3　三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC的中點．證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 考點　向量法求解平面與平面的位置關系 題點　向量法解決面面垂直 證明　方法一　如

9、圖，以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Axyz， 則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)． ∵D為BC的中點，∴D點坐標為(1,1,0)， ∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)， ∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， ·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0， ∴⊥，⊥， ∴BC⊥AD，BC⊥AA1. 又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD. 又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 方法二　同方法一建系后，得＝(0,0，)， ＝(1

10、,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)． 設平面A1AD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2)． 由得 令y1＝－1，則x1＝1，z1＝0， ∴n1＝(1，－1,0)． 由得 令y2＝1，則x2＝1，z2＝， ∴n2＝. ∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 反思與感悟　證明面面垂直的兩種方法 (1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明． (2)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直． 跟蹤訓練3　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E

11、，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點． (1)求證：平面AED⊥平面A1FD1； (2)在直線AE上求一點M，使得A1M⊥平面AED. 考點　向量法求解平面與平面的位置關系 題點　向量法解決面面垂直 (1)證明　以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz. 設正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， ∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)． 設平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)． 由 得 令y1

12、＝1，得n1＝(0,1，－2)． 同理，平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1)． ∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2， ∴平面AED⊥平面A1FD1. (2)解　由于點M在直線AE上， 因此可設＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， 則M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)． 要使A1M⊥平面AED，只需∥n1， 即＝，解得λ＝. 故當AM＝AE時，A1M⊥平面AED. 1．下列命題中，正確命題的個數(shù)為(　　) ①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β； ②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則

13、α⊥β?n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則n·a＝0； ④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直． A．1B．2C．3D．4 考點　向量法求解平面與平面的位置關系 題點　向量法解決面面垂直 答案　C 解析?、僦衅矫姒粒驴赡芷叫?，也可能重合，結合平面法向量的概念，可知②③④正確． 2．已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為(　　) A．a(chǎn)＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0) B．a(chǎn)＝(0,1,0)，b＝(1,0,1) C．a(chǎn)＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1) D．a(chǎn)＝(1,0,0)

14、，b＝(－1,0,0) 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　向量法解決線線垂直 答案　B 解析　因為a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B. 3．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為μ＝(－2,0，－4)，則(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 考點　向量法求解直線與平面的位置關系 題點　向量法解決線面垂直 答案　B 解析　∵a∥μ，∴l(xiāng)⊥α. 4．平面α的一個法向量為m＝(1,2,0)，平面β的一個法向量為n＝(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關系是(

15、　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能確定 考點　向量法求解平面與平面的位置關系 題點　向量法解決面面垂直 答案　C 解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直． 5．在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，則異面直線SC與BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　向量法解決線線垂直 答案　是 解析　如圖，以A為坐標原點，AB，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz， 則由AC＝2，BC＝， SB＝，

16、 得B(0，，0)，S(0,0，2)，C， ＝， ＝. 因為·＝0，所以SC⊥BC. 空間垂直關系的解決策略 幾何法 向量法 線線垂直 (1)證明兩直線所成的角為90°. (2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直 兩直線的方向向量互相垂直 線面垂直 對于直線l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m與n相交，則l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，則l⊥α (1)證明直線的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直． (2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量 面面垂直 對于直線l，m和平面α，β (1)若l

17、⊥α，l?β，則α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β. (3)若平面α與β相交所成的二面角為直角，則α⊥β 證明兩個平面的法向量互相垂直 一、選擇題 1．設直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m等于(　　) A．－2B．2C．6D．10 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 答案　D 解析　因為a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10. 2．若平面α，β的法向量分別為a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為(　　)

18、 A．10B．－10C.D．－ 考點　向量法求解平面與平面的位置關系 題點　向量法解決面面垂直 答案　B 解析　因為α⊥β，所以它們的法向量也互相垂直， 所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10. 3．已知點A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標為(　　) A．(1,0，－2) B．(1,0,2) C．(－1,0,2) D．(2,0，－1) 考點　向量法求解直線與平面的位置關系 題點　向量法解決線面垂直 答案　C 解析　由題意知＝(－1，－1，－1)，＝(2

19、,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0.① ·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，② 聯(lián)立①②得x＝－1，z＝2，故點P的坐標為(－1,0,2)． 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于(　　) A．ACB．BDC．A1DD．A1A 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 答案　B 解析　以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz.設正方體的棱長為1.則C(0

20、,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)， E， ∴＝，＝(－1,1,0)， ＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)， ∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD. 5．已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是(　　) A.(1，－1,1) B. C. D. 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　法向量求解線面垂直 答案　B 解析　要判斷點P是否在平面α內，只需判斷向量與平面α的法向量n是否垂直，即·n

21、是否為0，因此，要對各個選項進行檢驗．對于選項A，＝(1,0,1)，則·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；對于選項B，＝，則·n＝·(3,1,2)＝0，故B正確；同理可排除C，D.故選B. 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC， 則(　　) A．EF至多與A1D，AC中的一個垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的方向向量 答案　B 解析　以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸

22、，建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體的棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E， F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)， ∴＝－，·＝0，·＝0， 從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故選B. 7．兩平面α，β的法向量分別為μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，則y＋z的值是(　　) A．－3 B．6 C．－6 D．－12 考點　向量法求解平面與平面的位置關系 題點　向量法求解面面垂直 答案　B 解析　∵α⊥β，∴μ·

23、v＝0，即－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6. 二、填空題 8.如圖所示，在三棱錐A－BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC，E為BC的中點，則·＝_______. 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 答案　0 解析　因為BE＝EC，故＝－＝(＋)－，在三棱錐A－BCD中， DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC， 故·＝·(－)＝(2－2)＝0. 9．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量． 其中正確的是

24、________．(填序號) 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　向量法解決線線垂直 答案　①②③ 解析　·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4) ＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0， ∴AP⊥AB，即①正確． ·＝(－1,2，－1)·(4,2,0) ＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0. ∴AP⊥AD，即②正確． 又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD， 即是平面ABCD的一個法向量，③正確． 10．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝，則n的坐標為_________

25、_______． 考點　向量法求解線面垂直問題 題點　向量法求解線面垂直 答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1) 解析　據(jù)題意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)． 設n＝(x，y，z)，∵n與平面ABC垂直， ∴即可得 ∵|n|＝，∴＝， 解得y＝4或y＝－4. 當y＝4時，x＝－2，z＝1；當y＝－4時，x＝2，z＝－1. 三、解答題 11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點．證明：CD⊥平面PAE. 考點　向量法求解直線與平面的位置關系 題點　向量法解決線面垂直

26、證明　如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz. 設PA＝h，則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0，0，h)． 所以＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)． 因為·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， 所以CD⊥AE，CD⊥AP， 而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線， 所以CD⊥平面PAE. 12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．求證：無論點E在BC邊的

27、何處，都有PE⊥AF. 考點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 證明　以A為坐標原點，AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系Axyz， 則P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(xiàn)，D， 設BE＝x(0≤x≤)， 則E(x,1,0)， ·＝(x,1，－1)·＝0， 所以x∈[0， ]時都有PE⊥AF，即無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF. 13.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，點E是PD的中點． 求證：(1)AC⊥PB； (2)PB∥平面AEC. 考

28、點　向量法求解直線與直線的位置關系 題點　方向向量與線線垂直 證明　(1)如圖，以A為坐標原點，AC，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Axyz， 設AC＝a，PA＝b. 則有A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)， ∴＝(a,0,0)，＝(0，b，－b)． 從而·＝0，∴AC⊥PB. (2)由已知得D(a，－b,0)， E，∴＝. 設平面AEC的一個法向量為n， 則n⊥且n⊥，可得n＝(0,1,1)． ∵n·＝0，∴n⊥PB. 又PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC. 四、探究與拓展 14.如圖，PA⊥平面

29、ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當BF⊥PE時，AF∶FD的比值為(　　) A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1 答案　B 解析　以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz， 設正方形邊長為1，PA＝a， 則B(1,0,0)，E，P(0,0，a)． 設點F的坐標為(0，y,0)， 則＝(－1，y,0)，＝. 因為BF⊥PE，所以·＝0， 解得y＝，即點F的坐標為， 所以F為AD的中點， 所以AF∶FD＝1∶1. 15.如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為3的正

30、方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面； (2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：ME⊥平面BCC1B1. 考點　向量法求解直線與平面的位置關系 題點　向量法解決線面垂直 證明　(1)以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz， 則＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)， ∴＝＋，故，，共面． 又它們有公共點B，∴E，B，F(xiàn)，D1四點共面． (2)設M(0,0，z)，則＝，而＝(0,3,2)， 由題設得·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1. ∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴＝(3,0,0)， 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0) ∴·＝0，·＝0， 從而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1. 16