《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何學(xué)案 理（190頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第九章 解析幾何 第一節(jié)　 直線與方程 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 　1.直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系； 　2.直線的方程； 3.直線的交點(diǎn)、距離與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題. 突破點(diǎn)(一)　直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系　 1．直線的傾斜角 (1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0，π)． 2．直線的斜率公式 (1)定義式：若直線l的傾斜角α≠，則斜率k＝tan_α. (2)兩點(diǎn)式：P1(x1，y1)，

2、P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．兩條直線平行與垂直的判定 兩條直 線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. 當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2 兩條直 線垂直 如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. 當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2 1．判斷題 (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (3)直線的傾斜角越大

3、，其斜率就越大．(　　) (4)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (5)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．填空題 (1)若過(guò)兩點(diǎn)A(－m,6)，B(1,3m)的直線的斜率為12，則m＝________. 答案：－2 (2)如圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 解析：設(shè)l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3.由題圖易知0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>ta

4、n α3>0>tan α1，即k2>k3>k1. 答案：k2>k3>k1 (3)已知直線l1：x＝－2，l2：y＝，則直線l1與l2的位置關(guān)系是________． 答案：垂直 (4)已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：由題意，得＝－2，解得a＝2. 答案：2 直線的傾斜角與斜率 1．直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關(guān)系具體如下： 斜率k k＝tan α>0 k＝0 k＝tan α<0 不存在 傾斜角α 銳角 0° 鈍角 90° 2.在分析直線的傾

5、斜角和斜率的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)正切函數(shù)k＝tan α的單調(diào)性，如圖所示： (1)當(dāng)α取值在內(nèi)，由0增大到時(shí)，k由0增大并趨向于正無(wú)窮大； (2)當(dāng)α取值在內(nèi)，由增大到π(α≠π)時(shí)，k由負(fù)無(wú)窮大增大并趨近于0. 解決此類(lèi)問(wèn)題，常采用數(shù)形結(jié)合思想． [例1]　(1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A．[0，π)　　　　　　 B.∪ C. D.∪ (2)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(－1,1)和Q(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　(1)因?yàn)橹本€xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin

6、 α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.設(shè)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角為θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故傾斜角的取值范圍是∪. (2)如圖所示，直線l：x＋my＋m＝0過(guò)定點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)m≠0時(shí)，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－. ∴－≤－2或－≥. 解得0

7、時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈(－∞，0)．　　 兩直線的位置關(guān)系 兩直線位置關(guān)系的判斷方法 (1)已知兩直線的斜率存在 ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等； ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1. (2)已知兩直線的斜率不存在 若兩直線的斜率不存在，當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí)，兩直線平行；否則兩直線重合． [例2]　(1)已知直線l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，若l1∥l2，則a的值為(　　) A．－　　　　　　　　 B．6 C．0 D．0或－ (2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2

8、,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． [解析]　(1)由l1∥l2，得－3a－2a(3a－1)＝0，即6a2＋a＝0，所以a＝0或a＝－，經(jīng)檢驗(yàn)都成立．故選D. (2)l1的斜率k1＝＝a. 當(dāng)a≠0時(shí)，l2的斜率k2＝＝. 因?yàn)閘1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1. 當(dāng)a＝0時(shí)，P(0，－1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(－2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2. 綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0. [答案]　(1)D　(2)1或0 [方法

9、技巧] 已知兩直線一般方程的兩直線位置關(guān)系的表示 直線方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直 的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行 的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交 的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合 的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． 1.設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－x＋上的任意一點(diǎn)

10、，P點(diǎn)處切線的傾斜角α的取值范圍是(　　) A.∪ B. C.∪ D. 解析：選C　因?yàn)閥′＝3x2－≥－，即切線斜率k≥－，所以切線傾斜角α的取值范圍是∪. 2.直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)，且不經(jīng)過(guò)第四象限，則直線l的斜率的取值范圍為(　　) A. B．[0,1] C．[0,2] D. 解析：選C　因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A(1,2)，且不經(jīng)過(guò)第四象限，作出圖象，如圖所示，當(dāng)直線位于如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)滿足條件，由圖可知，當(dāng)直線l過(guò)A且平行于x軸時(shí)，斜率取得最小值，kmin＝0；當(dāng)直線l過(guò)A(1,2)，O(0,0)時(shí)，斜率取得最大值，kmax＝2，所以直線l的斜率的取值范圍是[0,2]．故選

11、C. 3.若直線l1：mx－y－2＝0與直線l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：選C　∵直線l1：mx－y－2＝0與直線l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，∴解得m＝1.故選C. 4.直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為(　　) A．－12 B．－14 C．10 D．8 解析：選A　由直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m＝10，直線10x＋4y－2＝0過(guò)點(diǎn)(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2，點(diǎn)(1，－2)又在直線

12、2x－5y＋n＝0上，則2＋10＋n＝0.解得n＝－12.故選A. 5.(2018·溫州五校聯(lián)考)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1⊥l2，則a＝________. 解析：因?yàn)橹本€l1：ax＋2y＋6＝0與l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，所以a·1＋2·(a－1)＝0，解得a＝. 答案： 突破點(diǎn)(二)　直線的方程　 直線方程的五種形式 形式 幾何條件 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 過(guò)一點(diǎn)(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 與x軸不垂直的直線 斜截式 縱截距b，斜率k y＝kx＋b 與x

13、軸不垂直的直線 兩點(diǎn)式 過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 與x軸、y軸均不垂直的直線 截距式 橫截距a，縱截距b ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線 1．判斷題 (1)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　) (2)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) (3)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用＋＝1表示．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×

14、 2．填空題 (1)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)且傾斜角為60°，則直線l的方程為_(kāi)_______________． 解析：∵k＝tan 60°＝，又直線l過(guò)點(diǎn)(0,1)， ∴由點(diǎn)斜式方程得，y－1＝(x－0)． 即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，傾斜角等于直線y＝x的2倍的直線方程為_(kāi)_______________． 解析：直線y＝x的斜率k＝1，故傾斜角為，所以所求的直線的傾斜角為，則所求的直線方程為x＝2. 答案：x＝2 (3)已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a＝____________. 解析：顯然a＝0

15、不符合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，令x＝0，則l在y軸的截距為2＋a；令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1＋.依題意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2. 答案：1或－2 求直線方程 [例1]　(1)求過(guò)點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程； (2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程； (3)求過(guò)A(2,1)，B(m,3)兩點(diǎn)的直線l的方程． [解]　(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×＝－. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)， 因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)， 即4x＋3y－13＝0. (2)當(dāng)直

16、線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為＋＝1， 將(－5,2)代入所設(shè)方程， 解得a＝－， 所以直線方程為x＋2y＋1＝0； 當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2， 解得k＝－， 所以直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. (3)①當(dāng)m＝2時(shí)，直線l的方程為x＝2； ②當(dāng)m≠2時(shí)，直線l的方程為＝， 即2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因?yàn)閙＝2時(shí)，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即為x＝2， 所以直線l的方程為2x－(m－2)y＋m－6＝0. [易錯(cuò)提醒] (1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?/p>

17、，并注意各種形式的適用條件． (2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)先判斷截距是否為零)．　　 與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題 [例2]　(1)已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為_(kāi)_______． (2)設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________． [解析]　(1)由題得A(2,0)，B(0,1)， 由動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，可

18、知0≤b≤1， 且a＋2b＝2，從而a＝2－2b， 故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋. 由于0≤b≤1，故當(dāng)b＝時(shí)，ab取得最大值. (2)易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)． 當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)， 因?yàn)镻為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點(diǎn)，且易知兩直線垂直，則PA⊥PB， 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10， 所以|PA|·|PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. [答案]　(1)　(2)5 　[方法技巧] 與直線方程有關(guān)的最值

19、問(wèn)題的解題思路 (1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y. (2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)． (3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值．　 1.直線3x－y＝0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的方程為(　　) A．x＋3y－3＝0 B．x＋3y－1＝0 C．3x－y－3＝0 D．x－3y＋3＝0 解析：選B　直線y＝3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得y＝－x，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得y＝－(x－1)，即x＋3y－1＝0. 2.已知點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是(　　) A．8 B．2 C. D．16 解

20、析：選A　∵點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋y2取得最小值8. 3.當(dāng)k>0時(shí)，兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為_(kāi)_______． 解析：直線2x＋ky－2＝0與x軸交于點(diǎn)(1,0)．由解得y＝，所以兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形的面積為×1×＝，又k＋≥2＝2，故三角形面積的最大值為. 答案： 4.(2018·蘇北四市模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0平行，則2a＋3b的最小值為_(kāi)__

21、_____． 解析：由兩直線平行可得，a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b為正數(shù)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2 ＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)取等號(hào)，故2a＋3b的最小值為25. 答案：25 5.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC邊所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程． 解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)， 由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0. (2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y

22、)， 則x＝＝0，y＝＝2. BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)， 由截距式得AD所在直線的方程為＋＝1， 即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)．由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 突破點(diǎn)(三)　直線的交點(diǎn)、距離與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題　 1．兩條直線的交點(diǎn) 2．三種距離 類(lèi)型 條件 距離公式 兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)P0(

23、x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 兩平行直線間的距離 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．判斷題 (1)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．(　　) (2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(　　) (4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱(chēng)，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．填空題 (1)兩條直線l1：2x＋y－1＝0和

24、l2：x－2y＋4＝0的交點(diǎn)為_(kāi)_______． 解析：由可解得 所以兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為. 答案： (2)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是________． 解析：d＝＝. 答案： (3)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝________. 解析：由題意知＝1，∴|a＋1|＝， 又a>0，∴a＝－1. 答案：－1 (4)已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________． 解析：∵＝≠，∴m＝8，直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，兩平行線之間的距離d＝＝2. 答案：2

25、 交點(diǎn)問(wèn)題 [例1]　(1)當(dāng)00， 故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第二象限． (2)解方程組可得 所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，所以a＝. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] 1．兩直線交

26、點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)． 2．求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．　 距離問(wèn)題 [例2]　(1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A. B. C. D. (2)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為_(kāi)_________________

27、___________． [解析]　(1)因?yàn)椋健?，所以兩直線平行， 將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0， 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離， 即＝，所以|PQ|的最小值為. (2)設(shè)所求直線的方程為y－4＝k(x－3)， 即kx－y－3k＋4＝0， 由已知及點(diǎn)到直線的距離公式可得＝，解得k＝2或k＝－， 即所求直線的方程為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0. [答案]　(1)C　(2)2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 [易錯(cuò)提醒] (1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b

28、|； (2)利用兩平行線間的距離公式要先把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相等． 　 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 1．中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩種類(lèi)型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于 點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解 直線關(guān)于 點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程； ②求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱(chēng)直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程 2．軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩種類(lèi)型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱(chēng)，由方程組可得

29、到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) ①若直線與對(duì)稱(chēng)軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解． ②若直線與對(duì)稱(chēng)軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解 [例3]　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱(chēng)的直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)A′(x，y)，由已知 解得 所以A′. (2)在直線m

30、上取一點(diǎn)M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′必在直線m′上． 設(shè)M′(a，b)，則 解得M′. 設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N， 則由得N(4,3)． 又因?yàn)閙′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)， 所以由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. (3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)， 則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，因?yàn)镻′在直線l上， 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. [方法技巧] 解決兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的關(guān)鍵 解決中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)

31、化為求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題，在求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵要抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直；二是兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中心在對(duì)稱(chēng)軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解．　　 1.過(guò)點(diǎn)且與直線x－2y－2＝0垂直的直線方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選C　因?yàn)橹本€x－2y－2＝0的斜率為，所以所求直線的斜率k＝－2.所以所求直線的方程為y－＝－2，即2x＋y－2＝0.故選C. 2.點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(5,2) B．(2，－5) C．

32、(－5，－2) D．(－2，－5) 解析：選C　設(shè)P(2,5)關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，則PP1的中點(diǎn)應(yīng)在x＋y＝0上，可排除A，B；而(－2，－5)與P(2,5)顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱(chēng)．故選C. 3.若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　) A．3 B. C．3 D．2 解析：選C　點(diǎn)M在直線x＋y－6＝0上，到原點(diǎn)的最小距離等價(jià)于原點(diǎn)O(0,0)到直線x＋y－6＝0的距離，即d＝＝＝3.故選C. 4.已知A(－2,1)，B(1,2)，點(diǎn)C為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，則|AC|

33、＋|BC|的最小值為(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：選C　設(shè)B關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′(x0，y0)，則解得B′(2，－1)．由平面幾何知識(shí)得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2.故選C. 5.已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________． 解析：由題意及點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得a＝－或－. 答案：－或－ 6.經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為_(kāi)_______________． 解析：法一：由方程組得

34、即P(0,2)． ∵l⊥l3，直線l3的斜率為，∴直線l的斜率k1＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 法二：設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，則其可化為(1＋λ)x＋(λ－2)y＋(4－2λ)＝0，因?yàn)橹本€l與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.則直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 答案：4x＋3y－6＝0 [全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋

35、13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－ B．－ C. D．2 解析：選A　因?yàn)閳Ax2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－. 2．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：選B　法一：(1)當(dāng)直線y＝ax＋b與AB，BC相交時(shí)，如圖①所示．易求得：xM＝－，yN＝.由已知條件得：·＝1，∴a＝.∵點(diǎn)M在線段OA上，∴－1

36、<－<0，∴0. 又0

37、＋1)，則a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考慮極限位置，即a＝0，此時(shí)易得b＝1－，故答案為B. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] [小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)] 對(duì)點(diǎn)練(一)　直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系 1．直線x＋y＋1＝0的傾斜角是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由直線的方程得直線的斜率為k＝－，設(shè)傾斜角為α，則tan α＝－，所以α＝. 2．三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是(　　

38、) A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0 C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1 解析：選C　由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0與x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，則k＝－10.故若l1，l2，l3能構(gòu)成一個(gè)三角形，則k≠±5且k≠－10.故選C. 3．(2018·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊，則直線sin A·x＋ay－c＝0與bx－sin B·y＋sin C的位置關(guān)系是________． 解析：由題意可得直線sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin

39、B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，則直線sin A·x＋ay－c＝0與直線bx－sin B·y＋sin C＝0垂直． 答案：垂直 4．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是________________． 解析：設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)， 在x軸上的截距為1－，令－3<1－<3， 解得k<－1或k>. 故其斜率的取值范圍為(－∞，－1)∪. 答案：(－∞，－1)∪ 對(duì)點(diǎn)練(二)　直線的方程 1．兩直線－＝a與－＝a(其中a是不為零的常數(shù))的圖象可能是(　　) 解析：

40、選B　直線方程－＝a可化為y＝x－na，直線－＝a可化為y＝x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號(hào)，故選B. 2．過(guò)點(diǎn)(2,1)，且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小的直線方程是(　　) A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2 解析：選A　∵直線y＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為π.依題意，所求直線的傾斜角為－＝，∴其方程為x＝2. 3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為(　　) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 解析：選D　設(shè)

41、點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)(a>0)， 由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，則a＝2. ∴點(diǎn)B(2,0)．易知kAB＝－3， 由兩點(diǎn)式，得AB的方程為y－3＝－3(x－1)． 4．(2018·北京西城區(qū)月考)已知l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，則直線l1的方程是________________． 解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案

42、：x＋2y－3＝0 5．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2，－1)，在x軸和y軸上的截距分別為a，b，且滿足a＝3b.則直線l的方程為_(kāi)_________________． 解析：①若a＝3b＝0，則直線過(guò)原點(diǎn)(0,0)， 此時(shí)直線斜率k＝－，直線方程為x＋2y＝0. ②若a＝3b≠0，設(shè)直線方程為＋＝1，即＋＝1. 因?yàn)辄c(diǎn)P(2，－1)在直線上，所以b＝－. 從而直線方程為－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0. 綜上所述，所求直線方程為x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0. 答案：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0 對(duì)點(diǎn)練(三)　直線的交點(diǎn)、距離與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 1．若點(diǎn)P(a，b)與Q(b－1，a＋1

43、)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則直線l的傾斜角α為(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° 解析：選B　由題意知，PQ⊥l，∵kPQ＝＝－1，∴kl＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故選B. 2．已知點(diǎn)A(1，－2)，B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實(shí)數(shù)m的值是(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：選C　因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3. 3．P點(diǎn)在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D

44、．(2,1)或(－1,2) 解析：選C　設(shè)P(x,5－3x)，則d＝＝，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)． 4．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，則直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 解析：選B　直線l1：y＝k(x－4)恒過(guò)定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，故直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)． 5．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為_(kāi)_______． 解析：由題意

45、得，＝≠，∴a＝－4，c≠－2. 則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0. ∴＝，∴c＋2＝±4， ∴＝±1. 答案：±1 6.如圖，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點(diǎn))，則直線FD的斜率的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：從特殊位置考慮．如圖， ∵點(diǎn)A(－2,0)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1(2,4)， ∴kA1F＝4.又點(diǎn)E(－1,0)關(guān)于直線AC：y＝x＋2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E1(－2，1)，點(diǎn)E1(－2,1)關(guān)于直線BC：x＋y＝2

46、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E2(1,4)，此時(shí)直線E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 7．過(guò)直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)距離為2的直線方程為_(kāi)________________． 解析：由得∴l(xiāng)1與l2交點(diǎn)為(1,2)， 設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， ∵P(0,4)到直線的距離為2， ∴2＝，解得k＝0或k＝， ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 [大題綜合練——遷移貫通] 1．已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和

47、直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范圍； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值． 解：(1)因?yàn)閘1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0， 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，因?yàn)閍2≥0，所以b≤0. 又因?yàn)閍2＋1≠3，所以b≠－6. 故b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因?yàn)閘1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0， 顯然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝±1時(shí)等號(hào)成立，因此|ab|的最小值為2. 2．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點(diǎn)P(3,4)

48、． (1)證明直線l過(guò)某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程． 解：(1)證明：直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得 所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(－2,3)． (2)由(1)知直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(－2,3)， 當(dāng)直線l垂直于直線PA時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大． 又直線PA的斜率kPA＝＝， 所以直線l的斜率kl＝－5. 故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)， 即5x＋y＋7＝0. 3．過(guò)點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)． (1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程； (2)當(dāng)|OA|＋|O

49、B|取最小值時(shí)，求直線l的方程． 解：設(shè)直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)，所以＋＝1. (1)因?yàn)椋?≥2＝， 所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，S△AOB＝ab最小， 此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0. (2)因?yàn)椋?，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0. 第二節(jié) 圓的方程 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　1.圓的方

50、程；　2.與圓的方程有關(guān)的綜合問(wèn)題. 突破點(diǎn)(一)　圓的方程　 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心：(a，b) 半徑：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心： 半徑：r＝ 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理論依據(jù) 點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系 三種情況 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外

51、 (x0－a)2＋(y0－b)20.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3

52、)×　(4)√　(5)√ 2．填空題 (1)圓x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圓心為_(kāi)_______，半徑為_(kāi)_______． 解析：圓心坐標(biāo)為(2，－4)， 半徑r＝＝5. 答案：(2，－4)　5 (2)圓C的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A(－1,2)，B(1,4)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________． 解析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)， 則a＝＝0，b＝＝3，故圓心C(0,3)． 半徑r＝|AB|＝＝. ∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝2. 答案：x2＋(y－3)2＝2 (3)若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

53、________． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1) 求圓的方程 1．求圓的方程的兩種方法 直接法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程 待定 系數(shù)法 (1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； (2)若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值 2.確定圓心

54、位置的三種方法 (1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上． (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上． (3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線． [例1]　(1)已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為_(kāi)_______________． (2)已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則該圓的方程是________________． (3)若不同的四點(diǎn)A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為_(kāi)_______． [解析]　(1)依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，則|CA|＝|CB|，

55、即＝，則a＝2. 故圓心為(2,0)，半徑為， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. (2)過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)． 所以半徑r＝＝2， 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (3)法一：設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 分別代入A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，得 解得 所以A，B，C三點(diǎn)確定的圓的方程為x2＋y2－4x－y－5＝0. 因?yàn)镈(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a－25－5＝0. 所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7. 法二：由題易知AB∥C

56、D，所以圓的一條對(duì)稱(chēng)軸既是AB的垂直平分線又是CD的垂直平分線，而AB的垂直平分線方程為x＝2，故＝2，解得a＝7. [答案]　(1)(x－2)2＋y2＝10　(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8　(3)7 [方法技巧] 1．確定圓的方程必須有三個(gè)獨(dú)立條件 不論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個(gè)字母(a，b，r或D，E，F(xiàn))的值需要確定，因此需要三個(gè)獨(dú)立的條件．利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a，b，r(或D，E，F(xiàn))的三個(gè)方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值，從而確定圓的方程． 2．幾何法在圓中的應(yīng)用 在一些問(wèn)題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，如已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)時(shí)，其圓

57、心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，解題時(shí)要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用．　　 與圓有關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 1．圓的軸對(duì)稱(chēng)性 圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱(chēng)． 2．圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) (1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓，只需確定所求圓的圓心位置． (2)兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)． 3．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) (1)求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的圓，只需確定所求圓的圓心位置． (2)兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線． [例2]　(2018·河南六市模擬)圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－

58、)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 [解析]　設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)， 則解得 ∴圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)， 從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4. [答案]　D 1.圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：選D　圓的半徑r＝＝，

59、圓心坐標(biāo)為(1,1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. 2.(2018·福建廈門(mén)質(zhì)檢)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：選A　由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A. 3.已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍是(　　) A. B.

60、 C. D. 解析：選A　將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圓關(guān)于已知直線對(duì)稱(chēng)，則圓心(－1,2)在直線上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故選A. 4.圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為_(kāi)_______________． 解析：圓心(1,0)關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0，－1)，所以圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝1. 答案：x2＋(y＋1)2＝1 5.若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相異兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對(duì)稱(chēng)，則k的值為_(kāi)_______． 解析：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的直

61、線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．已知圓的圓心為(－1,3)，由題設(shè)知，直線kx＋2y－4＝0過(guò)圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2. 答案：2 6.(2018·湖北襄陽(yáng)四中模擬)已知點(diǎn)C(－1,0)，以C為圓心的圓與直線x－y－3＝0相切． (1)求圓C的方程； (2)如果圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線mx＋y＋1＝0對(duì)稱(chēng)，求m的值． 解：(1)因?yàn)閳A與直線相切， 所以圓心到直線的距離即為半徑長(zhǎng)． 由題意，得圓心到直線的距離d＝＝2， 故所求圓的方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)因?yàn)閳AC上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以直線過(guò)圓心C，所以－m＋1＝0，解得m＝1. 突破點(diǎn)(二)　與

62、圓的方程有關(guān)的綜合問(wèn)題　(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P148) 圓的方程是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，高考中，除了圓的方程的求法外，圓的方程與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題也是高考考查的熱點(diǎn)，常涉及軌跡問(wèn)題和最值問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 [例1]　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所

63、以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. [方法技巧]　求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 　　[例2]　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值；

64、 (3)x2＋y2的最大值和最小值． [解]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓． (1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝ ，解得k＝±. 所以的最大值為，最小值為－. (2)y－x可看成是直線y＝x＋b在y軸上的截距． 當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝， 解得b＝－2±. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方． 由平面幾何知識(shí)知，x2＋y2在原點(diǎn)和圓心的連線與

65、圓的兩個(gè)交點(diǎn)處分別取得最小值，最大值． 因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， 最小值是(2－)2＝7－4. [方法技巧]　　與圓有關(guān)最值問(wèn)題的求解策略 處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常見(jiàn)類(lèi)型及解題思路如下： 常見(jiàn)類(lèi)型 解題思路 μ＝型 轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題 t＝ax＋by型 轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題，或用三角代換求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題 1.已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋(

66、y－1)2＝1上運(yùn)動(dòng)，則的最大值與最小值分別為_(kāi)_______． 解析：設(shè)＝k，則k表示點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)A(2,1)連線的斜率．當(dāng)直線PA與圓相切時(shí)，k取得最大值與最小值．設(shè)過(guò)(2,1)的直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由＝1，解得k＝±. 答案：，－ 2.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為_(kāi)_______． 解析：函數(shù)y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4的下半圓．令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，則得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示． 由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝＞2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是－2. 答案：－2 3.已知P是直線3x＋4y－10＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_______． 解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1，其圓心為C(1，－2)，半徑為1，且直線與圓相離，如圖所示