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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第3課時(shí) 圓的方程練習(xí) 理 1．已知一圓的圓心為點(diǎn)(2，－3)，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 答案　A 解析　設(shè)該直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為P(a，0)，Q(0，b)， 則A(2，－3)是線段PQ的中點(diǎn)， 所以P(4，0)，Q(0，－6)，圓的半徑r＝|PA|＝＝. 故圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 2．過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓

2、心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4　 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案　C 解析　設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r. ∵圓心C在直線x＋y－2＝0上，∴b＝2－a. ∵|CA|2＝|CB|2， ∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2. ∴a＝1，b＝1.∴r＝2. ∴方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 3．(2018·貴州貴陽(yáng)一模)圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則圓C的

3、標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 答案　A 解析　由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A. 4．(2018·滄州七校聯(lián)考)半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x＝0和x＋y＝2均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 答案　C 解析　依題意，設(shè)圓C的圓心

4、坐標(biāo)為(2，b)，(b<0)．則圓心到直線x＋y＝2的距離d＝＝2， ∴b＝－2，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.選C. 5．(2018·四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱(chēng)，則圓C2的方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 答案　B 解析　C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(－1，1)，它關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(2，－2)，對(duì)稱(chēng)后半徑不變，所以圓C2

5、的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 6．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“圓C與y軸相切于原點(diǎn)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　圓C與y軸相切于原點(diǎn)?圓C的圓心在x軸上(設(shè)坐標(biāo)為(a，0))，且半徑r＝|a|.∴當(dāng)E＝F＝0且D<0時(shí)，圓心為(－，0)，半徑為||，圓C與y軸相切于原點(diǎn)；圓(x＋1)2＋y2＝1與y軸相切于原點(diǎn)，但D＝2>0，故選A. 7．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作單位圓x2＋y2＝1的兩條互相垂直的半徑OA、OB，若在該圓上存在一點(diǎn)C，使得＝a＋b(a

6、，b∈R)，則以下說(shuō)法正確的是(　　) A．點(diǎn)P(a，b)一定在單位圓內(nèi) B．點(diǎn)P(a，b)一定在單位圓上 C．點(diǎn)P(a，b)一定在單位圓外 D．當(dāng)且僅當(dāng)ab＝0時(shí)，點(diǎn)P(a，b)在單位圓上 答案　B 解析　由題意得|OC|＝＝1，所以點(diǎn)P(a，b)在單位圓上，故選B. 8．已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且被y軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為2∶1，則圓的方程為(　　) A．x2＋(y±)2＝ B．x2＋(y±)2＝ C．(x±)2＋y2＝ D．(x±)2＋y2＝ 答案　C 解析　方法一：(排除法)由圓心在x軸上，則排除A，B，再由圓過(guò)(0，1)點(diǎn)，故圓的半

7、徑大于1，排除D，選C. 方法二：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，圓C與y軸交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧長(zhǎng)之比為2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，則tan60°＝＝，所以a＝|OC|＝，即圓心坐標(biāo)為(±，0)，r2＝|AC|2＝12＋()2＝.所以圓的方程為(x±)2＋y2＝，選C. 9．(2018·山東青島一模)若過(guò)點(diǎn)P(1，)作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則弦長(zhǎng)|AB|＝(　　) A. B．2 C. D．4 答案　A 解析　如圖所示，∵PA，PB分別為圓O：x2＋y2＝1的切線， ∴OA⊥AP.

8、∵P(1，)，O(0，0)， ∴|OP|＝＝2. 又∵|OA|＝1， ∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝. ∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝. 10．已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝5上，點(diǎn)Q(0，－1)，則線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0 C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0 答案　B 解析　設(shè)P(x0，y0)，PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圓的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化簡(jiǎn)，得x2＋y2＋y－1＝0. 11．在圓x2＋

9、y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0，1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　B 解析　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10，則圓心(1，3)，半徑r＝，由題意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2， 所以四邊形ABCD的面積為S＝|AC|·|BD| ＝×2×2＝10. 12．已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4，0)，若點(diǎn)P是圓x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最小值為(　　) A．6 B. C．8 D. 答案　B 解析　如圖，過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓于

10、點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最?。本€AB的方程為＋＝1， 即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離為d＝＝， ∴△ABP的面積的最小值為×5×(－1)＝. 13．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓，則m的取值范圍是________；當(dāng)半徑最大時(shí)，圓的方程為_(kāi)_______． 答案　20，∴2

11、直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程為_(kāi)_______． 答案　(x＋2)2＋(y－)2＝ 解析　對(duì)于直線3x－4y＋12＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－4.即以兩點(diǎn)(0，3)，(－4，0)為端點(diǎn)的線段為直徑，則r＝＝，圓心為(－，)，即(－2，)． ∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－)2＝. 15．從原點(diǎn)O向圓C：x2＋y2－6x＋＝0作兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則圓C上兩切點(diǎn)P，Q間的劣弧長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　π 解析　如圖，圓C：(x－3)2＋y2＝， 所以圓心C(3，0)，半徑r＝. 在Rt△POC中，∠POC＝. 則劣弧P

12、Q所對(duì)圓心角為. 弧長(zhǎng)為π×＝π. 16．設(shè)圓C同時(shí)滿足三個(gè)條件：①過(guò)原點(diǎn)；②圓心在直線y＝x上；③截y軸所得的弦長(zhǎng)為4，則圓C的方程是________． 答案　(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8 解析　由題意可設(shè)圓心A(a，a)， 如圖，則22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圓C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8. 17．一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程． 答案　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0 解析　方法一

13、：∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，且與y軸相切， ∴設(shè)所求圓的圓心為C(3a，a)，半徑為r＝3|a|. 又圓在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2， 圓心C(3a，a)到直線y＝x的距離為d＝. ∴有d2＋()2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1. 故所求圓的方程為 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 方法二：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為. ∴r2＝()2＋()2. 即2r2＝(a－b)2＋14.① 由于所求的圓與y軸相切，∴r2＝a2.② 又因?yàn)樗髨A心在直線x－3y＝0

14、上， ∴a－3b＝0.③ 聯(lián)立①②③，解得 a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9. 故所求的圓的方程是 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 方法三：設(shè)所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圓心為(－，－)，半徑為. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0. 由圓與y軸相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④ 又圓心(－，－)到直線x－y＝0的距離為， 由已知，得＋()2＝r2， 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤ 又圓心(－，－)在直線x－3y＝0上， ∴D－3E＝0.⑥ 聯(lián)立④⑤⑥，解得 D＝－6，E＝

15、－2，F(xiàn)＝1或D＝6，E＝2，F(xiàn)＝1. 故所求圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0. 18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 答案　(1)y2－x2＝1 (2)x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3 解析　(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. 從而y2＋2＝x2＋3. 故P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)．由已知得＝. 又P點(diǎn)在雙曲

16、線y2－x2＝1上， 從而得由得 此時(shí)，圓P的半徑r＝. 由得 此時(shí)，圓P的半徑r＝. 故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3. 1．(2018·河南天一大聯(lián)考)以(a，1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 答案　A 解析　由題意，圓心在直線2x－y－1＝0上，將點(diǎn)(a，1)代入，得a＝1，即圓心為(1，1)，半徑r＝＝. ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－

17、1)2＝5. 2．(2018·湖北宜昌月考)已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線l：y＝x－被圓M所截的弦長(zhǎng)為，且圓心M在直線l的下方． (1)求圓M的方程； (2)設(shè)A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值． 答案　(1)(x－1)2＋y2＝1 (2)最大值是，最小值 解析　(1)設(shè)圓心M(a，0)，由已知，得M到l：8x－6y－3＝0的距離為＝，∴＝，又∵M(jìn)在l的下方， ∴8a－3>0，∴8a－3＝5，∴a＝1，故圓的方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)AC的斜率為k1，BC的斜率為k2，則直線AC的方程為y＝k1x＋t，直線BC的方程為y＝k2x＋t＋6.由方程組得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xC＝. ∵|AB|＝t＋6－t＝6，∴S＝||·6＝. ∵圓M與AC相切，∴1＝，∴k1＝. 同理，k2＝，∴k1－k2＝， ∴S＝＝6(1－)． ∵－5≤t≤－2，∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4， ∴Smax＝6×(1＋)＝，Smin＝6×(1＋)＝.