《（全國(guó)通用）2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 高考專題突破六 高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用）2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 高考專題突破六 高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題學(xué)案（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考專題突破六　高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題 【考點(diǎn)自測(cè)】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·合肥模擬)某小區(qū)有1 000戶，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300,102)，則用電量在320度以上的戶數(shù)約為(　　) (參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%) A．17 B．23 C．34 D．46 答案　B 解析　P(ξ>320)＝×[1－P(280<ξ≤320)] ＝×(1－95.44%)＝0.022 8，

2、 0．022 8×1 000＝22.8≈23， ∴用電量在320度以上的戶數(shù)約為23.故選B. 2．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x，y，x，y相互獨(dú)立，由題意可知 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．所以兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝ ＝＝＝.

3、 3．某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù)，若選出的男生人數(shù)為ξ，則ξ的方差D(ξ)＝________. 答案　 解析　從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù)，選出的男生人數(shù)ξ可能為1,2,3，其中，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的均值E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2，D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 4．已知高一年級(jí)某班有63名學(xué)生，現(xiàn)要選1名學(xué)生作為標(biāo)兵，每名學(xué)生被選中的概率是相同的，若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的，則這個(gè)班男生的人數(shù)為________． 答案　33 解析　根

4、據(jù)題意，設(shè)該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63－x，因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中的概率是相同的， 根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是，“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故這個(gè)班男生的人數(shù)為33. 5．(2017·廣州模擬)為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如圖所示2×2列聯(lián)表： 理科 文科 總計(jì) 男 13 10 23 女 7 20 27 總計(jì) 20 30 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝≈4.844，

5、則認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為________． 答案　5% 解析　由k＝4.844>3.841可認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%. 題型一　古典概型與幾何概型 例1 (1)(2017·榆林二模)若函數(shù)f(x)＝ 在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B．1－ C. D. 答案　B 解析　當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)

6、師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　記兩道題分別為A，B，所有抽取的情況為AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1個(gè)、第2個(gè)分別表示兩個(gè)女教師抽取的題目，第3個(gè)表示男教師抽取的題目)，共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一道題目的情況為ABA，ABB，BAA，BAB，共4種．故所求事件的概率為.故選C. 思維升華 幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗(yàn)結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長(zhǎng)度、面積、體積等，解決幾

7、何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何測(cè)度；古典概型是命題的重點(diǎn)，對(duì)于較復(fù)雜的基本事件，列舉時(shí)要按照一定的規(guī)律進(jìn)行，做到不重不漏． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2017·商丘二模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知所有的基本事件有9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(

8、3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值． 滿足a2>b2的有6個(gè)基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率為＝. (2)(2017·青島模擬)如圖所示，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________． 答案　 解析　易知小正方形的邊長(zhǎng)為－1， 故小正方形的面積為S1＝(－1)2＝4－2， 又大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝＝＝. 題型二

9、　求離散型隨機(jī)變量的均值與方差 例2 (2017·南京模擬)《最強(qiáng)大腦》是江蘇衛(wèi)視推出的國(guó)內(nèi)首檔大型科學(xué)類真人秀電視節(jié)目．該節(jié)目集結(jié)了國(guó)內(nèi)外最頂尖的腦力高手，堪稱腦力界的奧林匹克．某校為了增強(qiáng)學(xué)生的記憶力和辨識(shí)力也組織了一場(chǎng)類似《最強(qiáng)大腦》的PK賽，A，B兩隊(duì)各由4名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手PK，除第三局勝者得2分外，其余各局勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分．假設(shè)每局比賽兩隊(duì)選手獲勝的概率均為0.5，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率； (2)求比賽結(jié)束時(shí)B隊(duì)得分X的分布列和均值． 解　(1)記第i局A隊(duì)勝為事件Ai(i＝1,2,3,4)，

10、 比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)得分高于B隊(duì)得分的事件記為C， 則P(C)＝P(A1A23A4)＋P(A3)[1－P(124)]＝. (2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5. 則P(X＝0)＝P(A1A2A3A4)＝， P(X＝1)＝C4＝， P(X＝2)＝P(A1A23A4)＋C4＝， P(X＝4)＝C4＝， P(X＝5)＝， P(X＝3)＝1－－－－－＝. X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 思維升華 離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分

11、布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對(duì)應(yīng)． 跟蹤訓(xùn)練2　受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下： 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn)故障時(shí)間x(年) 02 02 轎車數(shù)量(輛) 2 3

12、45 5 45 每輛利潤(rùn)(萬元) 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率，解答下列問題： (1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； (2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列； (3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由． 解　(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依題意得，X1的分布列為 X

13、1 1 2 3 P X2的分布列為 X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(萬元)， E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(萬元)． 因?yàn)镋(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車． 題型三　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 例3 (2018·濟(jì)南模擬)2018年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學(xué)為世界杯組委會(huì)招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學(xué)生的成績(jī)分組：第1組[75,80)，第2組[80,85)，第3組[85,90)，第4組[90,9

14、5)，第5組[95,100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示： (1)分別求出成績(jī)?cè)诘?,4,5組的人數(shù)； (2)現(xiàn)決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6人進(jìn)行面試． ①已知甲和乙的成績(jī)均在第3組，求甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率； ②若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名學(xué)生被考官D面試，求X的分布列和均值． 解　(1)由頻率分布直方圖知： 第3組的人數(shù)為5×0.06×40＝12. 第4組的人數(shù)為5×0.04×40＝8. 第5組的人數(shù)為5×0.02×40＝4. (2)利用分層抽樣，在第3組、第4組、第5組中分別抽取3人、2人、1人．

15、 ①設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件A，則 P(A)＝1－＝， 所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為. ②X的所有可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 思維升華 概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)．它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性． 跟蹤訓(xùn)練3　經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史

16、資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值． 解　(1)當(dāng)X∈[10

17、0,130)時(shí)， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋6

18、5 000×0.4＝59 400. 題型四　概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用 例4 某校計(jì)劃面向高一年級(jí)1 200名學(xué)生開設(shè)校本選修課程，為確保工作的順利實(shí)施，先按性別進(jìn)行分層抽樣，抽取了180名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類、自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查，其中男生有105人．在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45人． (1)分別計(jì)算抽取的樣本中男生、女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率，并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類的學(xué)生人數(shù)； (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成以下2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？

19、 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻

20、率為＝，女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為＝. 由題意，知男生總數(shù)為1 200×＝700， 女生總數(shù)為1 200×＝500， 所以估計(jì)選擇社會(huì)科學(xué)類的人數(shù)為700×＋500×＝600. (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下： 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計(jì) 90 90 180 則k＝＝≈5.142 9>5.024， 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下能認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)． 思維升華 統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題

21、相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題． 跟蹤訓(xùn)練4　電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． (1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料是否可以認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大

22、量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)． 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解　(1)由所給的頻率分布直方圖知，“體育迷”人數(shù)為100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非體育迷”人數(shù)為75，從而2×2列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100

23、 將2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 k＝ ＝＝≈3.030. 因?yàn)?.706<3.030<3.841， 所以有90%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意，X～B，從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝np＝3×＝， D(X)＝np(1－p)＝3××＝. 1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin x＋cos x∈[1，]的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因?yàn)閤∈，所以x

24、＋∈， 由sin x＋cos x＝sin∈[1，]， 得≤sin≤1，所以x∈， 故要求的概率為＝. 2．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為______． 答案　 解析　取2個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種，概率為＝. 3．(2018·重慶檢測(cè))在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好落在第二象限的概率為________． 答案　 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)，因?yàn)镾△ABC＝×3×＝，S△AOD＝×1×1＝，所以點(diǎn)P恰好落在第二象限的概率為＝＝.

25、 4．(2017·貴州模擬)為了增強(qiáng)消防安全意識(shí)，某中學(xué)對(duì)全體學(xué)生做了一次消防知識(shí)講座，從男生中隨機(jī)抽取50人，從女生中隨機(jī)抽取70人參加消防知識(shí)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 男生 15 35 50 女生 30 40 70 總計(jì) 45 75 120 (1)試判斷能否有90%的把握認(rèn)為消防知識(shí)的測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與否與性別有關(guān)？ (2)為了宣傳消防知識(shí)，從該校測(cè)試成績(jī)獲得優(yōu)秀的同學(xué)中采用分層抽樣的方法，隨機(jī)選出6人組成宣傳小組．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人到校外宣傳，求到校外宣傳的同學(xué)中男生人數(shù)X的分布列和均值． 附：K2＝. P(K2≥

26、k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解　(1)因?yàn)閗＝≈2.057， 且2.057<2.706. 所以沒有90%的把握認(rèn)為測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與否與性別有關(guān)． (2)用分層抽樣的方法抽取時(shí)抽取比例是＝， 則抽取女生30×＝4(人)，抽取男生15×＝2(人)． 由題意，得X可能的取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值E(X)＝0

27、×＋1×＋2×＝. 5．(2017·洛陽(yáng)模擬)某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況，抽查東、西部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：千人)，并畫出如下莖葉圖，其中一個(gè)數(shù)字被污損． (1)求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)的概率； (2)該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)積累的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的周均時(shí)間(單位：小時(shí))與年齡(單位：歲)，并繪制了如下對(duì)照表： 年齡x 20 30 40 50 周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間y 2.5 3 4 4.5

28、 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程 ＝ x＋ ，并預(yù)測(cè)年齡為55歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間． 參考公式： ＝， ＝－ . 解　(1)設(shè)被污損的數(shù)字為a，則a有10種情況． 由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99， 得a<8， ∴有8種情況使得東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)， 所求概率為＝. (2)由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得＝35，＝3.5， ＝＝＝， ＝－ ＝3.5－×35＝. ∴ ＝x＋. 當(dāng)x＝55時(shí)， ＝4.9. 即預(yù)測(cè)年齡為55歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間為4.9小時(shí)． 6．為了評(píng)估天氣對(duì)某

29、市運(yùn)動(dòng)會(huì)的影響，制定相應(yīng)預(yù)案，該市氣象局通過對(duì)最近50多年氣象數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)8月份是該市雷電天氣高峰期，在31天中平均發(fā)生雷電14.57天(如圖所示)．如果用頻率作為概率的估計(jì)值，并假定每一天發(fā)生雷電的概率均相等，且相互獨(dú)立． (1)求在該市運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕(8月12日)后的前3天比賽中，恰好有2天發(fā)生雷電天氣的概率(精確到0.01)； (2)設(shè)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間(8月12日至23日，共12天)，發(fā)生雷電天氣的天數(shù)為X，求X的均值和方差． 解　(1)設(shè)8月份一天中發(fā)生雷電天氣的概率為p，由已知，得p＝＝0.47.因?yàn)槊恳惶彀l(fā)生雷電天氣的概率均相等，且相互獨(dú)立，所以在運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕后的前3天比

30、賽中，恰好有2天發(fā)生雷電天氣的概率P＝C×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35. (2)由題意，知X～B(12,0.47)． 所以X的均值E(X)＝12×0.47＝5.64， X的方差D(X)＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2. 7．將某質(zhì)地均勻的正十二面體玩具的十二個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1,2,3，…，12.拋擲該玩具一次，記事件A：向上的面標(biāo)記的數(shù)字是完全平方數(shù)(即能寫成整數(shù)的平方形式的數(shù)，如9＝32,9是完全平方數(shù))． (1)甲、乙二人利用該玩具進(jìn)行游戲，并規(guī)定： ①甲拋擲該玩具一次，若事件A發(fā)生，則向上一面的點(diǎn)數(shù)的6倍為甲的得分；若事件

31、A沒有發(fā)生，則甲得0分； ②乙拋擲該玩具一次，將向上的一面對(duì)應(yīng)數(shù)字作為乙的得分． (ⅰ)甲、乙二人各拋擲該玩具一次，求二人得分的均值； (ⅱ)甲、乙二人各拋擲該玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率； (2)拋擲該玩具一次，記事件B：向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過k(1≤k≤12)．若事件A與B相互獨(dú)立，試求出所有的整數(shù)k. 解　(1)設(shè)甲、乙二人拋擲該玩具后，得分分別為X，Y. (ⅰ)易得X，Y的分布列分別為 點(diǎn)數(shù) 1 4 9 其他 X 6 24 54 0 P 點(diǎn)數(shù) 1 2 … 12 Y 1 2 … 12 P …

32、 故E(X)＝7，E(Y)＝. (ⅱ)P＝P(X＝6,1≤Y≤6)＋P(X＝24)＋P(X＝54) ＝×＋＋＝. (2)易知拋擲該玩具一次，基本事件總數(shù)為12，事件A包含3個(gè)基本事件(1點(diǎn)，4點(diǎn)，9點(diǎn))． 記n(AB)，n(B)分別表示事件AB，B包含的基本事件數(shù)，由P(AB)＝P(A)P(B)及古典概型， 得＝·，所以n(B)＝4n(AB)，① 故B事件包含的基本事件數(shù)必為4的倍數(shù)， 即k∈{4,8,12}， 當(dāng)k＝4時(shí)，n(B)＝4，AB＝{1,4}，n(AB)＝2，不符合①， 當(dāng)k＝8時(shí)，n(B)＝8，AB＝{1,4}，n(AB)＝2，符合①， 當(dāng)k＝12時(shí)，n(B)＝12，AB＝{1,4,9}，n(AB)＝3，符合①， 故k的所有可能值為8或12. 16