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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)熱身訓(xùn)練 8.6拋物線 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是( ) （A）［，］ （B）［－2，2］ （C）［－1，1］ （D）［－4，4］ 2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，點(diǎn)M(4,4)是拋物線上一點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、M且與l相切的圓共有( ) (A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)4個(gè) 3.(xx?三明模擬)若點(diǎn)P(x,y)為橢圓+y

2、2=1上一點(diǎn)，則x+y的最大值為( ) (A)1 (B)2 (C)2 (D)5 4.（xx·泉州模擬）已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于( ) （A）3 （B）4 （C） （D） 5.(易錯(cuò)題)若已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2，則e1·e2的取值范圍是

3、 ( ) （A）(0,+∞) (B)(,+∞) (C)(,+∞) (D)(,+∞) 6.點(diǎn)P在直線l:y=x-1上，若存在過(guò)P的直線交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn)，且|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是( ) (A)直線l上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” (B)直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” (C)直線l上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” (D)直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)” 二、填空題（每小題6分，共18分） 7.過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p

4、=______. 8.若直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（4，2），則直線AB的方程是______. 9.（xx·南京模擬）設(shè)直線l:2x+y-2=0與橢圓x2+=1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使得△PAB的面積為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)____. 三、解答題（每小題15分，共30分） 10.(預(yù)測(cè)題)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)（2，0），且與直線x=-2相切． (1)求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程； (2)是否存在直線l，使l過(guò)點(diǎn)(0,2)，并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足· =0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由． 11.（xx·寧德模擬）在直角坐標(biāo)系

5、xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，），（0，）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C. （1）求曲線C的方程； （2）過(guò)點(diǎn)（0，）作兩條互相垂直的直線l1、l2分別與曲線C交于A、B和E、D，以線段AB為直徑的圓能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若能，求直線AB的斜率；若不能，說(shuō)明理由. 【探究創(chuàng)新】 （16分）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，沿某動(dòng)直線l將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B′；折痕與AB交于點(diǎn)E，以EB和EB′為鄰邊作平行四邊形EB′MB.若以B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）： (1)求點(diǎn)M的軌跡方程； (2)若曲線S是由點(diǎn)M的

6、軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的，等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1,B1C1,C1D1分別與曲線S切于點(diǎn)P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面積的最小值. 答案解析 1.【解析】選C.設(shè)直線方程為y=k(x+2)，與拋物線聯(lián)立方程組，整理得ky2-8y+16k=0.當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)k≠0時(shí)，由Δ=64-64k2≥0，解得-1≤k≤1且k≠0.綜上-1≤k≤1. 2.【解析】選C.由于圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且與準(zhǔn)線l相切，由拋物線的定義知圓心在拋物線上，又因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)M，所以圓心在線段FM的垂直平分線上，即圓心是線段FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，

7、結(jié)合圖形易知有兩個(gè)交點(diǎn)，因此共有2個(gè)滿足條件的圓． 3.【解析】選D.設(shè)x+y=t,即y=t-x.代入+y2=1得+(t-x)2=1.整理得x2-2tx+t2-1=0. Δ=4t2-4×(t2-1)≥0,解得－≤t≤. ∴t=x+y的最大值為. 4.【解題指南】轉(zhuǎn)化為過(guò)A，B兩點(diǎn)且與x+y=0垂直的直線與拋物線相交后求弦長(zhǎng)問(wèn)題求解. 【解析】選C.設(shè)直線AB的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 由?x2+x+b-3=0?x1+x2=-1, 得AB的中點(diǎn)M（，） 又M（，）在直線x+y=0上，可求出b=1, ∴x2+x-2=0, 則|AB|=·=. 【方

8、法技巧】對(duì)稱問(wèn)題求解技巧 若A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線AB與直線l垂直，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上，即直線l是線段AB的垂直平分線，求解這類(lèi)圓錐曲線上的兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題求解. 5.【解析】選B.由題意知|PF1|=r1=10，|PF2|=r2=2c， 且r1＞r2．e2====； e1====． ∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴2c+2c＞10，即c＞，∴e1·e2= =＞，因此選B. 6.【解題指南】由|PA|=|AB|可得點(diǎn)A為線段PB的中點(diǎn). 【解析】選A.本題用數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè)A(m,n)，P(x,x-

9、1), 則B(2m-x,2n-x+1)， ∵A,B在y=x2上， ∴ 消去n,整理得 x2-(4m-1)x+2m2-1=0.（1） ∵Δ=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5＞0恒成立， ∴方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，∴應(yīng)選A. 7.【解析】由題意可知過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為y=x-，聯(lián)立有? x2-3px+=0， 又|AB|==8p=2． 答案：2 8.【解析】設(shè)A（x1,y1)，B（x2,y2)則 ②-①得y22-y12=4（x2-x1) ∴===1, 即直線AB的斜率為1，則直線AB的方程為y-2=

10、x-4，即x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 9.【解題指南】先求出弦長(zhǎng)|AB|,進(jìn)而求出點(diǎn)P到直線AB的距離,再求出與l平行且與橢圓相切的直線方程，最后數(shù)形結(jié)合求解. 【解析】由題知直線l恰好經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)（1，0），（0，2），故|AB|=，要使△PAB的面積為，即··h=，所以h=.聯(lián)立y=-2x+m與橢圓方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=，即平移直線l到y(tǒng)=-2x時(shí)與橢圓相切，它們與直線l的距離d=都大于，所以一共有4個(gè)點(diǎn)符合要求. 答案：4 10.【解析】(1)如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，F(xiàn)(2,0)，過(guò)點(diǎn)M作直線x=-2的垂線，垂足為N，

11、 由題意知：|MF|=|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與到定直線x=-2的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F(2，0)為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線， 所以動(dòng)圓圓心軌跡C的方程為y2=8x. （2）由題可設(shè)直線l的方程為x=k(y-2)(k≠0)， 由，得y2-8ky+16k=0, Δ=(-8k)2-4×16k＞0,解得k＜0或k＞1. 設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則y1+y2=8k，y1y2=16k， 由·=0，得x1x2+y1y2=0， 即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0， 整理得：(k2+1)y1y2-2k2(

12、y1+y2)+4k2=0， 代入得16k(k2+1)-2k2·8k+4k2=0， 即16k＋4k2＝0， 解得k=-4或k=0(舍去)， 所以直線l存在，其方程為x+4y-8=0. 【誤區(qū)警示】本題易忽視判別式大于零，從而得出兩條直線方程. 11.【解析】（1）設(shè)P（x,y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以（0，），（0，）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸b==1,故曲線C的方程為x2+=1. (2)設(shè)直線l1：y=kx+,分別交曲線C于A（x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足,消去y并整理得(k2+4)x2+-1=0, 故x1+x2=,x1x2=. 若以線段AB

13、為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則⊥，即x1x2+y1y2=0. 而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3, 于是x1x2+y1y2==0, 化簡(jiǎn)得-4k2+11=0,所以k=. 【變式備選】已知橢圓C:+=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F(-1,0)，離心率為，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍. 【解析】（1）由題意可知：c=1，a2=b2+c2，e==,解得：a=,b=1,故橢圓的方程為：+y2=1. (2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+

14、1)(k≠0)， 聯(lián)立，得,整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0 ∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F， ∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，記A（x1,y1),B(x2,y2), AB的中點(diǎn)N（x0,y0), 則x1+x2=,x0=,y0= 垂直平分線NG的方程為y-y0=(x-x0)， 令y=0,得xG=x0+ky0= == ∵k≠0,∴＜xG＜0. ∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（，0）. 【探究創(chuàng)新】 【解析】(1)如圖，設(shè)M（x,y）， B′(x0,2) 顯然直線l的斜率存在，故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b,即E（0，b）, 則kBB′==k= 而B(niǎo)B

15、′的中點(diǎn)(,1)在直線l上， 故()·+b=1b=1+，① 由于= + ? (x,y-b)=(0,-b)+(x0,2-b)? 代入① 即得y=+1， 又0≤x0≤2，點(diǎn)M的軌跡方程y=+1（0≤x≤2）. (2)易知曲線S的方程為y=+1(-2≤x≤2), 設(shè)梯形A1B1C1D1的面積為s，如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t, -t2+1)(0＜t≤2).由題意得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,1)， 直線B1C1的方程為y=1. 因y=+1，∴y′=，∴y′|x=t=, ∴直線A1B1的方程為y-()=(x-t), 即：y=，令y=0，得，x=, ∴A1(,0). 令y=1得，x=t，∴B1(t,1)， s==≥， 當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=時(shí)取“=”，且∈(0,2］, 故t=時(shí)，s有最小值為. ∴梯形A1B1C1D1的面積的最小值為．