《（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用講義（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用講義（含解析）（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用講義（含解析） [典例]　(1)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則此人第4天和第5天共走了(　　) A．60里　　　　　　　 B．48里 C．36里 D．24里 (2)(2019·北京東城區(qū)模擬)為了觀看2022年的冬奧會，小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入a

2、元 的一年期定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期．到2022年的1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則可取回________元． [解析]　(1)由題意知，此人每天走的里數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列{an}， 設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，則＝378， 解得a1＝192，所以a4＝192×＝24，a5＝24×＝12， 則a4＋a5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出錢的總數(shù)為 a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p) ＝a· ＝[(1＋p)5－(1＋p)] ＝[(

3、1＋p)5－1－p]． [答案]　(1)C　(2)[(1＋p)5－1－p] [方法技巧] 1．數(shù)列與數(shù)學文化解題3步驟 讀懂題意 會脫去數(shù)學文化的背景，讀懂題意 構(gòu)建模型 由題意，構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型 求解模型 利用所學知識求解數(shù)列的相關(guān)信息，如求指定項、通項公式或前n項和的公式 2.解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)” 審題關(guān) 仔細閱讀材料，認真理解題意 建模關(guān) 將已知條件翻譯成數(shù)學語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，并分清數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列 求解關(guān) 求解該數(shù)列問題 還原關(guān) 將所求的結(jié)果還原到實際問題中 [針對訓練] 1．在我國古代著名

4、的數(shù)學名著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？(　　) A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 解析：選A　由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1＝103，d＝13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5.設(shè)第m天相逢，則a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋＋97m＋＝2×1 125，解得m1＝9或m2＝－40(舍去)，故選A. 2．(2018·江西金溪一

5、中月考)據(jù)統(tǒng)計測量，已知某養(yǎng)魚場，第一年魚的質(zhì)量增長率為200%，以后每年的增長率為前一年的一半．若飼養(yǎng)5年后，魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的t倍．下列選項中，與t值最接近的是(　　) A．11 B．13 C．15 D．17 解析：選B　設(shè)魚原來的質(zhì)量為a，飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an，q＝200%＝2，則a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后，魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的12.7倍，故選B. 題型二　數(shù)列中的新定義問題 [典例]　若數(shù)列{an}滿足－＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“調(diào)

6、和數(shù)列”，且b1＋b2＋…＋b2 019＝20 190，則b2b2 018的最大值是________． [解析]　因為數(shù)列是“調(diào)和數(shù)列”， 所以bn＋1－bn＝d，即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列， 所以b1＋b2＋…＋b2 019＝＝＝20 190， 所以b2＋b2 018＝20. 又>0，所以b2>0，b2 018>0， 所以b2＋b2 018＝20≥2， 即b2b2 018≤100(當且僅當b2＝b2 018時等號成立)， 因此b2b2 018的最大值為100. [答案]　100 [方法技巧] 新定義數(shù)列問題的特點及解題思路 新定義數(shù)列題的特點是：通過給出一個新的數(shù)列的概

7、論，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決．　　 [針對訓練] 1．定義一種運算“※”，對于任意n∈N*均滿足以下運算性質(zhì)：(1)2※2 019＝1；(2)(2n＋2)※2 019＝(2n)※2 019＋3，則2 018※2 019＝________. 解析：設(shè)an＝(2n)※2 019，則由運算性質(zhì)(1)知a1＝1， 由運算性質(zhì)(2)

8、知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3. 所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列， 故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 025 2．定義各項為正數(shù)的數(shù)列{pn}的“美數(shù)”為(n∈N*)．若各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的“美數(shù)”為，且bn＝，則＋＋…＋＝________. 解析：因為各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的“美數(shù)”為， 所以＝. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝n(2n＋1)， Sn－1＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)， 所以an＝Sn－Sn－1＝4n－

9、1(n≥2)． 又＝，所以a1＝3，滿足式子an＝4n－1， 所以an＝4n－1(n∈N*)． 又bn＝，所以bn＝n， 所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案： 題型三　數(shù)列與函數(shù)的綜合問題 [典例]　(1)(2019·重慶模擬)已知f(x)＝x2＋aln x在點(1，f(1))處的切線方程為4x－y－3＝0，an＝f′(n)－n(n≥1，n∈N*)，{an}的前n項和為Sn，則下列選項正確的是(　　) A．S2 018－1ln 2 018＋1 C．ln 2 018S2

10、 017 (2)(2019·昆明模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，數(shù)列{an}滿足a1＝1且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則f(a36)＋f(a37)＝________. [解析]　(1)由題意得f′(x)＝2x＋，∴f′(1)＝2＋a＝4，解得a＝2.∴an＝f′(n)－n＝－n＝(n≥1，n∈N*)．設(shè)g(x)＝ln(x＋1)－x，則當x∈(0,1)時，g′(x)＝－1＝<0，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，∴g(x)

11、＋＋＋…＋，故ln(n＋1)0，∴h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴h(x)>h(1)＝0，即ln x>1－，x∈(1，＋∞)．令x＝1＋，則ln＝ln >，∴l(xiāng)n ＋ln ＋ln ＋…＋ln >＋＋…＋＋，故ln(n＋1)>Sn＋1－1.故選A. (2)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，又因為f(3－x)＝f(x)，所以f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是以6為周期的周期函數(shù)．由an＝n(an＋1－an)可得

12、＝，則an＝···…··a1＝····…·×1＝n，即an＝n，所以a36＝36，a37＝37，又因為f(－1)＝3，f(0)＝0，所以f(a36)＋f(a37)＝f(0)＋f(1)＝f(1)＝－f(－1)＝－3. [答案]　(1)A　(2)－3 [方法技巧] 數(shù)列與函數(shù)綜合問題的類型及注意點 類型 (1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題 (2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形； 注意點 解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇

13、到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問題的解決 [針對訓練] 1．(2019·玉溪模擬)函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝(　　) A．18 B．21 C．24 D．30 解析：選B　∵函數(shù)y＝x2(x>0)的導(dǎo)函數(shù)為y′＝2x，∴函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)．令y＝0，可得x＝ak，即ak＋1＝ak，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，an＝16×n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.故選B. 2．已知數(shù)列{an}的前

14、n項和為Sn，點(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項和為Tn，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1 C．Tn>an D．Tn

15、2， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1. 由等比數(shù)列前n項和公式可得Tn＝2n－1. 綜合選項可知，只有D正確． 3．(2019·撫順模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過(－1，0)點，且在x＝－1處的切線斜率為－1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝f(n)(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列前n項的和Tn. 解：(1)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過(－1,0)點， 則a－b＝0，即a＝b.① 因為f′(x)＝2ax＋b，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx在x＝－1處的切線斜率為－1， 所以－2a＋b＝－1.② 由①②得a＝1，b

16、＝1， 所以數(shù)列{an}的前n項和Sn＝f(n)＝n2＋n. 當n≥2時，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n. 當n＝1時，a1＝2符合上式，則an＝2n. (2)由于an＝2n， 則＝＝， 則Tn＝＝＝. 題型四　數(shù)列與不等式的綜合問題 [典例]　(2019·福州八校聯(lián)考)數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋2(n∈N*)． (1)求證：{an＋2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，證明：對任意n∈N*，都有≤Sn<. [證明]　(1)∵an＋1＝2an＋2，∴an＋1

17、＋2＝2(an＋2)．∵{an＋2}是以a1＋2＝5為首項，公比q＝2的等比數(shù)列，∴an＝5×2n－1－2. (2)由(1)可得bn＝， ∴Sn＝，① Sn＝，② ①－②可得Sn＝＝＝<. ∴Sn<，又∵Sn＋1－Sn＝bn＋1＝>0， ∴數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增，Sn≥S1＝， ∴對任意n∈N*，都有≤Sn<. [方法技巧] 數(shù)列中不等式證明問題的解題策略 數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”． 放縮法常見的放縮技巧有： (1)<＝. (2)－<<－. (3)2(－)<<2(－)．　　 [針對訓練]

18、(2019·廣安模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足不等式Tn≥的最小正整數(shù)n. 解：(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)，得an＋1－an＝n＋1，又a1＝1， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)由(1)知＝＝2， 所以Tn＝2＋＋…＋＝2＝. 令≥，解得n≥19， 所以滿足不等式Tn≥的最小正整數(shù)n為19.