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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第7章 第02節(jié) 基本不等式 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 基本不等式 未單獨考查 命題分析 高考對基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合考查，多以小題形式出現(xiàn)，但有時出現(xiàn)在解答題中. 基本不等式中需辨明兩個易誤點 (1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可． (2)“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤． (3)連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致．

2、 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)x>0，y>0是＋≥2的充要條件．(　　) (3)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　) (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材習(xí)題改編)已知0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時，x的值為________． 解析：由0＜x＜1，知1－x＞0， 所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3·2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時，x(3－3x)取得最大值. 答案： 3．若x>1

3、，則x＋的最小值為________． 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝3時等號成立． 答案：5 4．(教材習(xí)題改編)將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2，形狀為直角三角形的框架，選用最合理(夠用且浪費最少)的鐵絲的長為________m. 解析：設(shè)直角三角形框架的兩直角邊長分別為x m，y m. 則xy＝2，所以xy＝4. 所以三角形框架的周長l＝x＋y＋≥2＋＝2＋＝4＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號． 答案：4＋2 5．設(shè)a>0，b>0，若a＋b＝1，則＋的最小值是________． 解析：由題意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a

4、＝b＝時，取等號，所以最小值為4. 答案：4 利用基本不等式求最值 [析考情] 利用基本不等式求最值是基本不等式的考點，主要考查求最值、判斷不等式、解決不等式有關(guān)的問題，試題難度不大，主要是以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時解答題中也會利用基本不等式求最值． [提能力] 命題點1：通過配湊法求最值 【典例1】 若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于 (　　) A．1＋　　　 B．1＋ C．3　　　 D．4 解析：選C　∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即(x－2)2＝1時等號成立，

5、 解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3， 即a等于3時，函數(shù)f(x)在x＝3處取得最小值，故選C． 命題點2：通過常數(shù)代換法利用基本(均值)不等式求最值 【典例2】 已知a>0，b>0，a＋2b＝3，則＋的最小值為________． 解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1， ∴＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時取等號． 答案： 命題點3：通過消元法利用基本(均值)不等式求最值 【典例3】 已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________． 解析：因為xy＋2x＋y＝4，所以x＝.由x＝>0，得－20，則0

6、＝＋(y＋2)－3≥2－3，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)＋2(0

7、．　　　 D． 解析：選B　∵a，b∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b≥2， ∴ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立． 2．(xx·太原模擬)已知第一象限的點(a，b)在直線2x＋3y－1＝0上，則代數(shù)式＋的最小值為(　　) A．24　　　 B．25 C．26　　　 D．27 解析：選B　因為第一象限的點(a，b)在直線2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時取等號，所以＋的最小值為25，選B． 3．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，滿足a－2b＋3c＝0，則的最小值是_______

8、_． 解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝， ∴＝≥＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝3c時取“＝”． 答案：3 利用基本不等式解決實際問題 [明技法] [提能力] 【典例】 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A．60件　　　 B．80件 C．100件　　　 D．120件 解析：選B　若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用是元，倉儲費用是元，總的費用是＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80時取等號． [刷好題

9、] 如圖，某城鎮(zhèn)為適應(yīng)旅游產(chǎn)業(yè)的需要，欲在一扇形OAB(其中∠AOB＝45°，扇形半徑為1)的草地上修建一個三角形人造湖OMN(其中點M在OA上，點N在或OB上，∠OMN＝90°)，且沿湖邊OMN修建休閑走廊，現(xiàn)甲部門需要人造湖的面積最大，乙部門需要人造湖的走廊最長，請你設(shè)計出一個方案，則該方案(　　) A．只能滿足甲部門，能滿足乙部門 B．只能滿足乙部門，不能滿足甲部門 C．可以同時滿足兩個部門 D．兩個部門都不能滿足 解析：選C　當(dāng)點N在上時，設(shè)OM＝x，MN＝y(tǒng)，則x2＋y2＝1，所以人造湖的面積S＝xy≤·＝，走廊長l＝1＋x＋y＝1＋＝1＋≤1＋＝1＋，上述兩個不等式等號成立的條件均為x＝y(tǒng)＝，即點N在點B處；當(dāng)點N在線段OB上時，人造湖的面積、休閑走廊長度的最大值顯然也在點B處取得．