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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)熱身訓(xùn)練 8.5雙曲線 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1.(xx?福州模擬)已知雙曲線=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的一半，則該雙曲線的方程為( ) (A)5y2－x2=1 (B)=1 (C)=1 (D)5x2-＝1 2.(xx·沈陽(yáng)模擬）雙曲線-y2=1(n＞1)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|=，則△PF1F2的面積為( ) (A) (B)1

2、 (C)2 (D)4 3.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為( ) （A） （B） （C） （D） 4.(預(yù)測(cè)題)已知雙曲線-=1的左支上一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是線段MF2的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|等于( ) （A）4 （B）2 （C）1 （D） 5.(xx·哈爾濱模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，過(guò)A作x軸

3、的垂線，B為垂足，且=（O為原點(diǎn)），則此雙曲線的離心率為( ) (A) (B) (C)2 (D) 6.設(shè)F1、F2分別為雙曲線-=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為( ) （A）3x±4y=0 （B）3x±5y=0 （C）4x±3y=0 （D）5x±4y=0 二、填空題（每小題6分，共18分） 7.(xx·廈門模擬)

4、設(shè)F1、F2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn).若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90°,且｜AF1｜=3|AF2|,則雙曲線離心率為_________. 8.P為雙曲線x2-=1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值為_______. 9.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若||-||=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若=(+)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線-=1與橢圓+y2=1有

5、相同的焦點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)為_______(寫出所有真命題的序號(hào))． 三、解答題（每小題15分，共30分） 10.點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上的一點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求雙曲線的離心率e； (2)過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且·＝，＋＝，求雙曲線E的方程. 11.(易錯(cuò)題)已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M(1,3)． (1)求C的離心率； (2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|·|BF|＝17，求證：

6、過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 【探究創(chuàng)新】 （16分）某飛船返回倉(cāng)順利返回地球后，為了及時(shí)救出航天員，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域內(nèi)安排了三個(gè)救援中心（如圖1分別記為A，B，C），B地在A地正東方向上，兩地相距6 km； C地在B地北偏東30°方向上，兩地相距4 km，假設(shè)P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻A救援中心接到從P點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)過(guò)4 s后，B、C兩個(gè)救援中心也同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1 km/s. (1)求A、C兩地救援中心的距離； (2)求P相對(duì)A的方向角； (3)試分析信號(hào)分別從P點(diǎn)處和P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)（如圖2，返回倉(cāng)經(jīng)Q點(diǎn)垂直落至P點(diǎn)）處發(fā)出

7、時(shí)，A、B兩個(gè)救援中心收到信號(hào)的時(shí)間差的變化情況（變大還是變?。⒆C明你的結(jié)論. 答案解析 1.【解析】選A.由=1的一個(gè)焦點(diǎn)與x2=4y的焦點(diǎn)重合知c＝1，又b=2a故a2+b2=5a2=1,∴a2=,b2=. ∴所求雙曲線方程為5y2-x2＝1，選A. 2.【解析】選B.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則, ∴|PF1|=,|PF2|=， 又c=, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴∠F1PF2=90°, ∴==1. 3.【解析】選D.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上與焦點(diǎn)在y軸上的離心率一樣，所以不妨設(shè)雙曲線方程為-=1（a>0,b>0），則雙曲線的漸近線的

8、斜率k=， 一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c,0)，一個(gè)虛軸的端點(diǎn)為B(0,b)，所以kFB=，又因?yàn)橹本€FB與雙曲線的一條漸近線垂直，所以k·kFB==-1（顯然不符合）, 即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0, 即e2-e-1=0，解得e=（負(fù)值舍去）. 【變式備選】雙曲線 -=1(a＞0,b＞0)的離心率為2,則的最小值為 ( ) (A) (B) (C)2 (D)1 【解析】選A.因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以=2， 即c=2a，c2=4a2； 又因?yàn)閏2=a2+b2， 所以a2+b2=

9、4a2，即b=， 因此==≥=，當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)等號(hào)成立. 即的最小值為. 4.【解析】選A.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的定義知： |MF2|-|MF1|=10, 又因?yàn)閨MF2|=18，所以|MF1|=8, 而|ON|=|MF1|=4. 5.【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，可先設(shè)出雙曲線方程、焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出直線FA的方程從而聯(lián)立方程組求A的坐標(biāo). 【解析】選B.不妨設(shè)雙曲線方程為- =1 (a＞0,b＞0),漸近線方程為y=x,F(c,0), 則直線FA的方程為y=(x-c), 由，得, ∴=(，0)，由=3得c＝, ∴=e2=3, ∴e=.

10、 6.【解析】選C. 設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，因?yàn)閨PF2|=|F1F2|， 所以F2M⊥PF1，因?yàn)閨F2M|=2a， 在直角三角形F1F2M中， |F1M|==2b， 故|PF1|=4b, 根據(jù)雙曲線的定義得 4b-2c=2a,即2b-c=a, 因?yàn)閏2=a2+b2，所以(2b-a)2=a2+b2, 即3b2-4ab=0,即3b=4a, 故雙曲線的漸近線方程是y=， 即4x±3y=0. 【變式備選】F1,F2是雙曲線C：-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且△F1PF2是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為( ) （A）

11、 （B） （C） （D） 【解析】選A.設(shè)雙曲線C的焦距為2c,依題設(shè)不妨令|F1F2|=|PF2|, 即2c=，∴2c=, 即2ac=c2-a2, ∴e2-2e-1=0,∴e=1±, 又∵e＞1,∴e=1+. 7.【解析】由雙曲線的性質(zhì)可知 ∴10a2=4c2,∴,∴e=. 答案： 8.【解析】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-4,0)、F2(4,0)分別為兩個(gè)圓的圓心，兩圓的半徑分別為r1=2,r2=1.由題意得 |PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)

12、 =|PF1|-|PF2|+3=5. 答案：5 【方法技巧】圓錐曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和、差的最值的求法 一般不用選變量建立目標(biāo)函數(shù)的方法求解，而是利用該點(diǎn)適合圓錐曲線的定義，將所求轉(zhuǎn)化為與焦點(diǎn)的距離有關(guān)的最值問(wèn)題，再利用數(shù)形結(jié)合法求解. 9.【解析】①錯(cuò)誤，當(dāng)k＞0且k＜|AB|，表示以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支； 當(dāng)k＞0且k=|AB|時(shí)表示一條射線；當(dāng)k＞0且k＞|AB|時(shí)，不表示任何圖形；當(dāng)k＜0時(shí)，類似同上．②錯(cuò)誤，P是AB中點(diǎn)，且P到圓心與A的距離的平方和為定值．故P的軌跡應(yīng)為圓．③方程兩根為和2,可以作為橢圓和雙曲線的離心率，故正確.④由標(biāo)準(zhǔn)方程易求雙曲線和橢圓的焦

13、點(diǎn)坐標(biāo)都為(±，0)，故正確. 答案:③④ 10.【解析】(1)∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵PF1⊥PF2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a2=c2, ∴e＝. (2)由(1)知雙曲線的方程可設(shè)為-＝1，漸近線方程為y＝±2x. 設(shè)P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)， ∵·＝－3x1x2＝?x1x2＝， ∵2＋＝? ∵點(diǎn)P在雙曲線上， ∴－＝1， 化簡(jiǎn)得x1x2＝， ∴＝?a2＝2， ∴雙曲線方程為－＝1. 11.【解析】(1)由題意知，l的方程為y＝x

14、＋2. 代入C的方程，并化簡(jiǎn)，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0. 設(shè)B(x1，y1)、D(x2，y2)， 則x1＋x2＝， x1·x2＝， ① 由M(1,3)為BD的中點(diǎn)知＝1， 故×＝1， 即b2＝3a2， ② 故c＝＝2a， 所以C的離心率e＝＝2. (2)由①②知，C的方程為：3x2－y2＝3a2， A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝<0， 故不妨設(shè)x1≤－a，x2≥a. |BF|＝＝=a-2x1, |FD|＝==2x2-a, |BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a) ＝－4x1x2＋2a(

15、x1＋x2)－a2 ＝5a2＋4a＋8. 又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17， 解得a＝1或a＝(舍去)． 故|BD|＝|x1－x2|＝·=6. 連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3， 從而|MA|＝|MB|＝|MD|，且MA⊥x軸， 因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切． 所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切. 【探究創(chuàng)新】 【解析】（1）以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(-3,0),B(3,0),C(5,)， 則|AC|== (km)， 即A、C兩個(gè)救援中心的距

16、離為km. （2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC線段的垂直平分線上. 又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且|AB|=6, ∴雙曲線方程為-=1(x＜0). BC的垂直平分線的方程為x+-7=0，聯(lián)立兩方程解得： x=-8. ∴P(-8,),∴kPA=tan∠PAB=, ∴∠PAB＝120°, 所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30°方向上. （3）如圖，設(shè) |PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y, ∵|QB|-|QA| =-= =, 又∵＜1, ∴|QB| -|QA|＜|PB|-|PA|, ∴-＜-. 即信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出時(shí)A、B收到信號(hào)的時(shí)間差比信號(hào)從P點(diǎn)處發(fā)出時(shí)A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小.