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1、2022年高中物理教科版必修2教學(xué)案：第三章 第2節(jié) 萬有引力定律(含解析) 1．牛頓認(rèn)為所有物體之間存在萬有引力，太陽與行星間的引力使得行星繞太陽運(yùn)動(dòng)。 2．任何兩個(gè)物體間都存在相互作用的引力，引力的大小與這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，與這兩個(gè)物體之間的距離的平方成反比。 3．萬有引力定律公式F＝G，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2。r指兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離；對(duì)于質(zhì)量分布均勻的球體，指的是兩個(gè)球心之間的距離。 4．在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，在地球表面上的物體所受的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，mg＝G。即：GM＝gR2。

2、一、與引力有關(guān)現(xiàn)象的思考 1．牛頓的思考 蘋果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直線運(yùn)動(dòng)而是繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，表明月球受到方向指向地心的向心力作用。 2．思考的結(jié)論 (1)月球必定受到地球?qū)λ囊ψ饔谩? (2)蘋果落地中蘋果與月球在運(yùn)動(dòng)中受到的都是地球?qū)λ鼈兊囊Α? (3)行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心力由太陽對(duì)行星的引力提供。 二、太陽與行星間引力的推導(dǎo) 1．模型簡(jiǎn)化：行星以太陽為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽對(duì)行星的引力提供了行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。 2．推導(dǎo)過程： (1)太陽對(duì)行星的引力 ?F∝ (2)行星對(duì)太陽的引力 根據(jù)牛頓第三定律，行星對(duì)太陽的引力F′的大小也

3、存在與上述關(guān)系類似的結(jié)果，即F′∝。 (3)太陽與行星間的引力 由于F∝、F′∝，且F＝F′，則有F∝，寫成等式F＝G，式中G為比例系數(shù)。 三、萬有引力定律 1．內(nèi)容 任何兩個(gè)物體之間都存在相互作用的引力，引力的大小與這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，與這兩個(gè)物體之間的距離的平方成反比。 2．公式 F＝G。 3．引力常量 (1)數(shù)值：英國物理學(xué)家卡文迪許較準(zhǔn)確地得出了G的數(shù)值，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，是一個(gè)與物質(zhì)種類無關(guān)的普適常量。 (2)物理意義：引力常量在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量為1 kg的質(zhì)點(diǎn)相距1 m時(shí)的吸引力。 1．自主思考——判一判 (1)月球

4、繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是因?yàn)樵虑蚴芰ζ胶狻?×) (2)行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)不需要力的作用。(×) (3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律同樣適用于行星運(yùn)動(dòng)。(√) (4)太陽與行星間作用力的公式F＝G也適用于行星與它的衛(wèi)星之間。(√) (5)萬有引力定律適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力的計(jì)算。(√) (6)萬有引力不僅存在于天體之間，也存在于普通物體之間。(√) 2．合作探究——議一議 (1)蘋果由于受地球的吸引力落向地面，月球受地球的引力作用，為何不落向地面？ 提示：月球受地球的引力作用，而這種作用恰好提供月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故月球能維持這種運(yùn)動(dòng)而不落向地面。 (2)把行星的運(yùn)動(dòng)看作是

5、勻速圓周運(yùn)動(dòng)，是否違背客觀事實(shí)？ 提示：由于太陽系中行星繞太陽做橢圓運(yùn)動(dòng)的軌跡的兩個(gè)焦點(diǎn)靠得很近，行星的運(yùn)動(dòng)軌跡非常接近圓，為了降低分析問題的難度，可以把行星的運(yùn)動(dòng)理想化為勻速的圓周運(yùn)動(dòng)。 (3)萬有引力定律告訴我們，任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，但為什么通常的兩個(gè)物體間感受不到萬有引力？?jī)蓚€(gè)質(zhì)量都為100 kg的大胖子相距1 m時(shí)，它們間萬有引力多大？ 提示：萬有引力太?。籉＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－7 N。 對(duì)萬有引力定律的理解 1．公式的適用條件：嚴(yán)格說F＝G只適用于計(jì)算兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，但對(duì)于下述幾種情況，也可用該公式計(jì)算。 (

6、1)兩質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力，可用公式計(jì)算，此時(shí)r是兩個(gè)球體球心的距離。 (2)一個(gè)質(zhì)量分布均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，可用公式計(jì)算，r為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離。 (3)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也適用。 2．萬有引力的特性 特點(diǎn) 內(nèi)容 普遍性 萬有引力是普遍存在于宇宙中任何有質(zhì)量的物體(大到天體小到微觀粒子)間的相互吸引力，它是自然界中物體間的基本相互作用之一 相互性 兩個(gè)物體相互作用的引力是一對(duì)作用力與反作用力，符合牛頓第三定律 宏觀性 通常情況下，萬有引力非常小，只有在質(zhì)量巨大的天體間或天體與物體間，它的存在才有宏觀的物理意義。在微觀世

7、界中，粒子的質(zhì)量都非常小，粒子間的萬有引力可以忽略不計(jì) 特殊性 兩個(gè)物體間的萬有引力，只與它們本身的質(zhì)量、它們之間的距離有關(guān)，和所在空間的性質(zhì)無關(guān)，和周圍有無其他物體的存在無關(guān) [典例]　一個(gè)質(zhì)量為M的均質(zhì)實(shí)心球，半徑為R。如果通過球心挖去一個(gè)直徑為R的小實(shí)心球，然后置于相距為d的地方，如圖3-2-1所示，試計(jì)算空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力。 圖3-2-1 [思路點(diǎn)撥] (1)萬有引力定律只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的引力大小。 (2)球體剩余部分對(duì)小實(shí)心球的萬有引力等于原球?qū)π?shí)心球的萬有引力減去挖去的球體對(duì)小實(shí)心球的萬有引力。 [解析]　假設(shè)把挖去的小實(shí)心球填補(bǔ)上，則大

8、、小實(shí)心球之間的萬有引力F＝G?、?，小實(shí)心球的質(zhì)量m＝ρ·π3＝ρ·πR3＝M?、?，由①②得F＝。填入的小實(shí)心球與挖去的小實(shí)心球之間的萬有引力F1＝G＝·。因此，空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力F2＝F－F1＝－。 [答案]?。? 若在球心處挖去，重心還在球心，可以通過萬有引力定律公式直接求解，若不在球心處挖去，不能運(yùn)用公式直接去計(jì)算剩余部分的引力，因?yàn)槟鞘且粋€(gè)質(zhì)量分布不均勻的球體?！　　　? 1．(多選)對(duì)于萬有引力定律的表達(dá)式F＝G，下列說法中正確的是(　　) A．公式中G為引力常量，與兩個(gè)物體的質(zhì)量無關(guān) B．當(dāng)r趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大 C．m1與m2受到的引力大小

9、總是相等的，方向相反，是一對(duì)平衡力 D．m1與m2受到的引力大小總是相等的，而與m1、m2是否相等無關(guān) 解析：選AD　公式中的G為比例系數(shù)，稱作引力常量，與兩個(gè)物體的質(zhì)量無關(guān)，A對(duì)；當(dāng)兩物體表面距離r越來越小，直至趨近于零時(shí)，物體不能再看作質(zhì)點(diǎn)，表達(dá)式F＝G已不再適用于計(jì)算它們之間的萬有引力，B錯(cuò)；m1與m2受到彼此的引力為作用力與反作用力，此二力總是大小相等、方向相反，與m1、m2是否相等無關(guān)，C錯(cuò)，D對(duì)。 2．某物體在地球表面，受到地球的萬有引力為F。若此物體受到的引力減小為，則其距離地面的高度應(yīng)為(R為地球半徑)(　　) A．R　　　　　　　　　 　B．2R C．4R D．

10、8R 解析：選A　根據(jù)萬有引力定律表達(dá)式得：F＝，其中r為物體到地球中心的距離。某物體在地球表面，受到地球的萬有引力為F，此時(shí)r＝R，若此物體受到的引力減小為，根據(jù)F＝得出此時(shí)物體到地球中心的距離r′＝2R，所以物體距離地面的高度應(yīng)為R，A正確。 3.如圖3-2-2所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)?　　) 圖3-2-2 A. B. C. D. 解析：選C　利用填補(bǔ)法來分析此題，原來物體間的萬有引力為F，挖去半徑為的球的質(zhì)量為原來球的質(zhì)量的，其他條件不

11、變，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力為F－＝F，選項(xiàng)C正確。 萬有引力與重力的關(guān)系 1．萬有引力與重力的關(guān)系 如圖3-2-3所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，則物體受到地球的吸引力為F，方向指向地心O，由萬有引力公式得F＝G。 圖3-2-3 圖中F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，F(xiàn)2就是物體的重力mg，故一般情況下mg

12、G。 (3)其他位置物體的重力大小介于以上兩式之間，且隨緯度的增加而增大。 3．重力、重力加速度與高度的關(guān)系 (1)在地球表面：mg＝G，g＝，g為常數(shù)。 (2)在距地面高h(yuǎn)處：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小。 [典例]　一物體在地面受到的重力為160 N，將它放置在航天飛機(jī)中，當(dāng)航天飛機(jī)以a＝的加速度隨火箭向上加速升空的過程中，某一時(shí)刻測(cè)得物體與航天飛機(jī)中的支持物的相互壓力為90 N，求此時(shí)航天飛機(jī)距地面的高度。(地球半徑取6.4×106 m，g表示重力加速度，取10 m/s2) [審題指導(dǎo)]　(1)題中g(shù)是地面處的重力加速度，航天飛機(jī)向上以的加速度做勻加

13、速直線運(yùn)動(dòng)。 (2)運(yùn)動(dòng)過程中，航天飛機(jī)所處位置的重力加速度是變化的。 [解析]　設(shè)物體離地面的距離為h，這時(shí)受到地球的萬有引力F＝G 在地球表面有G＝mg　① 在升至離地面h時(shí)，N－G＝ma　② 由①②式得＝ 則h＝R地?、? 由mg＝160 N，得m＝16 kg，N＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km。 [答案]　1.92×104 km 萬有引力定律可以與牛頓第二定律、勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解等結(jié)合起來考查地球或其他星球上物體的運(yùn)動(dòng)，在這類問題中，重力加速度往往是解題的關(guān)鍵點(diǎn)。　　

14、 　　 1．宇航員王亞平在“天宮1號(hào)”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為(　　) A．0　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　飛船受的萬有引力等于在該處所受的重力，即G＝mg，得g＝，選項(xiàng)B正確。 2．火星和地球質(zhì)量的比值為P，火星和地球的半徑的比值為q，則火星表面處和地球表面處的重力加速度之比為(　　) A. B．Pq2 C. D．Pq 解析：選A　星體表面的重力加速度g＝∝，所以火星表面和地球表面的重力加速度之比為＝

15、·＝，A正確。 3．若在某行星和地球上相對(duì)于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們?cè)谒椒较蜻\(yùn)動(dòng)的距離之比為2∶。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為(　　) A.R B.R C．2R D.R 解析：選C　平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，即h＝gt2，所以x＝v0 ，兩種情況下，拋出的速度相同，高度相同，所以＝，根據(jù)公式G＝mg可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正確。 1．發(fā)現(xiàn)萬有引力定律和測(cè)出引力常量的科學(xué)家分別是(　　) A．牛頓、卡文迪許　　　 　B．伽利

16、略、卡文迪許 C．開普勒、牛頓 D．第谷、伽利略 解析：選A　牛頓根據(jù)行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律推導(dǎo)出了萬有引力定律，經(jīng)過100多年后，由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置巧妙的測(cè)量出了兩個(gè)鐵球間的引力，從而第一次較為準(zhǔn)確的得到萬有引力常量，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。 2．設(shè)想把質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))放到地球的中心，地球質(zhì)量為M、半徑為R。則物體與地球間的萬有引力是(　　) A．零 B．無窮大 C. D．無法確定 解析：選A　把物體放到地球的中心時(shí)r＝0，此時(shí)萬有引力定律不再適用。由于地球關(guān)于球心對(duì)稱，所以吸引力相互抵消，整體而言，萬有引力為零。 3．在某次測(cè)定引力常量的實(shí)驗(yàn)

17、中，兩金屬球的質(zhì)量分別為m1和m2，球心間的距離為r，若測(cè)得兩金屬球間的萬有引力大小為F，則此次實(shí)驗(yàn)得到的引力常量為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由萬有引力定律公式F＝G得G＝，所以B項(xiàng)正確。 4．假如地球自轉(zhuǎn)速度增大，關(guān)于物體所受的重力，下列說法正確的是(　　) A．放在赤道地面上物體的萬有引力變大 B．放在兩極地面上的物體的重力不變 C．放在赤道地面上物體的重力不變 D．放在兩極地面上物體的重力增加 解析：選B　地球自轉(zhuǎn)速度增大，物體受到的萬有引力不變，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在兩極，物體受到的萬有引力等于其重力，則其重力不變，選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤；而對(duì)于放在

18、赤道地面上的物體，F(xiàn)萬＝G重＋mω2R，由于ω增大，則G重減小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。 5．要使可視為質(zhì)點(diǎn)的兩物體間萬有引力減小到原來的，可采取的方法是(　　) A．兩物體間距離保持不變，兩物體的質(zhì)量均減為原來的 B．兩物體間距離保持不變，僅一個(gè)物體質(zhì)量減為原來的 C．兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼? D．兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍 解析：選B　根據(jù)F＝G知，兩物體間距離保持不變，兩物體的質(zhì)量均減為原來的，則萬有引力減小為原來的，故A錯(cuò)誤；根據(jù)F＝G知，兩物體間距離保持不變，僅一個(gè)物體質(zhì)量減為原來的，則萬有引力減小為原來的，故B正確；根據(jù)F＝G知，兩物體質(zhì)量均不

19、變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼?倍，故C錯(cuò)誤；根據(jù)F＝G知，兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼模蔇錯(cuò)誤。 6．甲、乙兩星球的平均密度相等，半徑之比是R甲∶R乙＝4∶1，則同一物體在這兩個(gè)星球表面受到的重力之比是(　　) A．1∶1 B．4∶1 C．1∶16 D．1∶64 解析：選B　由G＝mg得g甲∶g乙＝M甲R(shí)乙2∶M乙R甲2，而M＝ρ·πR3。可以推得G甲∶G乙＝g甲∶g乙＝R甲∶R乙＝4∶1，故選B。 7.兩個(gè)質(zhì)量均為M的星體，其連線的垂直平分線為AB，O為兩星體連線的中點(diǎn)，如圖1所示，一質(zhì)量為m的物體從O沿O

20、A方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)A離O足夠遠(yuǎn)，則物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到兩個(gè)星球萬有引力的合力大小變化情況是(　　) 圖1 A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小 解析：選D　在O點(diǎn)兩星球?qū)ξ矬wm的萬有引力大小相等、方向相反，合力為零；在離O很遠(yuǎn)的A點(diǎn)，由于距離太大，星球?qū)ξ矬w的萬有引力非常小，也可以近似認(rèn)為等于零。由此可見，物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到兩個(gè)星球萬有引力的合力先增大后減小，D正確。 8．(多選)如圖2所示，P、Q為質(zhì)量均為m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分別置于地球表面上的不同緯度上，如果把地球看成一個(gè)均勻球體，P、Q兩質(zhì)點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是(　　)

21、 圖2 A．P、Q受地球引力大小相等 B．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等 C．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小相等 D．P受地球引力大于Q所受地球引力 解析：選AC　計(jì)算均勻球體與質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力時(shí)，r為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離，因?yàn)镻、Q到地球球心的距離相同，根據(jù)F＝G，P、Q受地球引力大小相等。P、Q隨地球自轉(zhuǎn)，角速度相同，但軌道半徑不同，根據(jù)F＝mrω2，P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小不同。綜上所述，選項(xiàng)A、C正確。 9．兩大小相同的實(shí)心小鐵球緊靠在一起時(shí)，它們之間的萬有引力為F。若兩個(gè)半徑為實(shí)心小鐵球2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為(　　) A．2F B．

22、4F C．8F D．16F 解析：選D　小鐵球之間的引力F＝G＝G，大鐵球半徑是小鐵球2倍，對(duì)小鐵球有m＝ρV＝ρ，對(duì)大鐵球有M＝ρV′＝ρ＝8ρ＝8m，兩大鐵球間的萬有引力F′＝G＝G＝16G＝16F，故選D。 10．設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，質(zhì)量為M，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　物體在南極地面所受的支持力等于萬有引力，F(xiàn)＝①， 在赤道處，F(xiàn)萬－F′＝F向，得F′＝F萬－F向，又F向＝mR，則F′＝－mR②， 由①、②式，可得，選項(xiàng)A正確。

23、 11．火星半徑是地球半徑的一半，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，那么地球表面質(zhì)量為m的人受到地球的吸引力約為火星表面同質(zhì)量的人受到火星引力的多少倍？ 解析：設(shè)火星半徑為R，質(zhì)量為M，則地球半徑為2R，質(zhì)量為9M。 在地球表面人受到的引力F＝G 在火星表面人受到的引力F′＝G； 所以＝，即同質(zhì)量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。 答案：倍 12．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處。(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計(jì)) (1)求該星球表面附近的重力加速度g′的大??； (2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為＝，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比。 解析：(1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可有 t＝。同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處，則5t＝ 根據(jù)以上兩式，解得g′＝g＝2 m/s2。 (2)在天體表面時(shí)，物體的重力近似等于萬有引力，即 mg＝，所以M＝ 由此可得，＝·＝×＝。 答案：(1)2 m/s2　(2)1∶80