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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第10章 第02節(jié) 古典概型 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 古典概型 xx·全國卷Ⅱ·T11·5分 利用古典概型概率公式求解 數(shù)學(xué)運算 xx·天津卷·T3·5分 利用古典概型概率公式求解 數(shù)學(xué)運算 xx·山東卷·T16·12分 列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅰ·T3·5分 列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅲ·T5·5分 列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅰ·T4·5分 列出基本事件空間

2、利用古典概型的概率公式求解 數(shù)學(xué)運算 命題分析 古典概型是高考?？贾R，一般是根據(jù)題意列出基本事件空間，然后利用古典概型的概率公式求概率，一般以選擇題形式出現(xiàn)，有時候也出在解答題中，難度不大. 1．在計算古典概型中試驗的所有結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生結(jié)果時，易忽視它們是否是等可能的． 2．基本事件的探求方法 (1)列舉法：適合于較簡單的試驗． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的試驗結(jié)果的探求．另外在確定試驗結(jié)果時，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時也可以看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×

3、”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(　　) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事件是等可能事件．(　　) (3)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(教材習(xí)題改編)一個口袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，則先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：選C　先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質(zhì)上就是第二次摸到白球

4、的概率，因為袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，因此概率為． 3．(xx·天津卷)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選C　從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝＝.故選C． 4．(教材習(xí)題改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________． 解析：1－＝． 答案： 基

5、本事件與古典概型的判斷 [明技法] 一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型． [提能力] 【典例1】 有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)．試寫出： (1)試驗的基本事件； (2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件． 解：(1)這個試驗的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4

6、)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件為(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． 【典例2】 袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球． (1)有多少種不同的摸法？如果把每個球

7、的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？ (2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？ 解：(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法． 又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型． (2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”， 又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個， 故一次摸球摸到白球的可能性為， 同理可知摸到黑球

8、、紅球的可能性均為， 顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等， 所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型． [刷好題] 1．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個球． (1)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果； (2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率． 解：(1)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下： (紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、(黑，紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑，黑，黑)． (2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A． 事件A

9、包含的基本事件為：(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)，事件A包含的基本事件數(shù)為3． 由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率為P(A)＝． 2．下列試驗中，古典概型的個數(shù)為 (　　) ①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率； ②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合； ③從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率； ④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率． A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：選B　①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限個，不

10、是古典概型；③符合古典概型的特點，是古典概型． 簡單的古典概型的概率 [明技法] 求古典概型概率的基本步驟 — ↓ — ↓ — [提能力] 【典例】 (1)(xx·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選D　從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝.故選D． (2)(xx·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機(jī)時，忘

11、記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C　第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，所以總的基本事件的個數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為，故選C． [刷好題] 如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選C　從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)有10個基本事件

12、，構(gòu)成勾股數(shù)的只有3,4,5一組，故概率為． 古典概型的交匯問題 [析考情] 古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命題，命題點新穎，考查知識全面，能力要求較高． [提能力] 命題點1：古典概型與平面向量相結(jié)合 【典例1】 已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機(jī)選自集合{－1,1,3}，y隨機(jī)選自集合{1,3,9}． (1)求a∥b的概率； (2)求a⊥b的概率． 解：由題意，得(x，y)所有的基本事件為(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9個． (

13、1)設(shè)“a∥b”為事件A，則xy＝－3． 事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1個． 故a∥b的概率為P(A)＝． (2)設(shè)“a⊥b”為事件B，則y＝3x． 事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2個． 故a⊥b的概率為P(B)＝． 命題點2：古典概型與直線、圓相結(jié)合 【典例2】 (xx·洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________． 解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax

14、＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足≤，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于＝． 答案： 命題點3：古典概型與函數(shù)相結(jié)合 【典例3】 (xx·成都月考)將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為m，n，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選B　∵y＝mx3－nx＋1，∴y′＝2mx2－n，令y′＝0得x＝± ，∴x1＝，x2＝－是函數(shù)的兩個極值點，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，則 ≤1，即n≤2m． 通過

15、建立關(guān)于m，n的直角坐標(biāo)系可得出滿足n≤2m的點有30個，由古典概型公式可得函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝＝． 命題點4：古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合 【典例4】 某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率； (3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在[40,50

16、)的概率． 解：(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006． (2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4． (3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3； 受訪職工中評分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2． 從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{

17、A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為． [悟技法] 解決古典概型交匯命題的關(guān)注點 解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算． [刷好題] 1．將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．則向量p與q共線的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　

18、 D． 解析：選D　由題意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的個數(shù)為6×6＝36． 若p∥q，則6m－3n＝0，得到n＝2m.滿足此條件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三個基本事件．因此向量p與q共線的概率為P＝＝． 2．若連續(xù)拋擲兩次質(zhì)地均勻的骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選D　該試驗會出現(xiàn)6×6＝36種情況，點(m，n)在直線x＋y＝4上的情況有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三種，則所求概率P＝＝． 3．設(shè)a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1,2]上有零點的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選C　∵f(x)＝x3＋ax－b，∴f′(x)＝3x2＋a，∵a∈{1,2,3,4}，∴f′(x)>0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)．若存在零點，只需滿足條件則解得a＋1≤b≤8＋2a.因此可使函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有零點的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8；a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12；a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12；a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根據(jù)古典概型可得有零點的概率為．