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1、高中物理 問題原型與延伸 專題4.3 牛頓運動定律的“等時圓”模型學(xué)案 新人教版必修1 ?知識點撥 1、 等時圓模型（如圖所示） 2、 等時圓規(guī)律： （1）、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點的時間相等。（如圖a） （2）、小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。（如圖b） （3）、沿不同的弦軌道運動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時間，即 （式中R為圓的半徑。） 3、等時性的證明 設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線

2、運動，加速度為，位移為，所以運動時間為 即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。 規(guī)律AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，A點為圓周的最高點，D點為最低點.每根桿上都套著一個光滑的小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從A處由靜止開始釋放，到達(dá)圓周上所用的時間是相等的，與桿的長度和傾角大小都無關(guān). 【原型】“等時圓”模型 如圖所示，AC、BC為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，A、B、C三點恰位于同一圓周上，C為該圓周的最低點，a、b為套在細(xì)桿上的兩個小環(huán)，當(dāng)兩環(huán)同時從A、B點自靜止開始下滑，則 （ ） A

3、．a(chǎn)環(huán)將先到達(dá)C點 B．b環(huán)將先到達(dá)C點 C．a(chǎn)、b環(huán)同時到達(dá)C點 D．由于兩桿的傾角不知道，無法判斷兩環(huán)到達(dá)c點的先后 小環(huán)在AC上下滑的加速度a=gcosθ，因為小環(huán)做初速度為0的勻加速直線運動，根據(jù)位移時間關(guān)系有： AC=at2 即2Rcosθ=gcosθt2， 解得：t= 與桿的傾角θ無關(guān)，故C正確，ABD錯誤． 故選：C。 ★點評：對圓環(huán)的受力分析是關(guān)鍵，然后根據(jù)牛頓第二定律求得加速度。 變型1、“等時圓”模型的一般情況 【延伸1】如圖所示，通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么

4、在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（） A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定 解析：從等時圓的特殊情況推廣到一般情況要求熟練掌握等時圓的特征。 ★點評：滑塊是否傳送帶共速是臨界條件。 變型2、從圓周外某點下滑模型 【延伸2】如圖，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于點A，豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與M靠得很近的一點（DM遠(yuǎn)小于CM）。已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點；c球由C點自由下落到M點

5、；d球從D點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運動到M點。則：（ ） A、a球最先到達(dá)M點 B、b球最先到達(dá)M點 C、c球最先到達(dá)M點 D、d球最先到達(dá)M點 【延伸3】如圖所示，AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點P，有一個小球由靜止分別從A滑到B和從C滑到D，所用的時間分別為t1和t2，則t1和t2之比為（ ） A．1：1 B．1：2 C．：1 D．1： 解析：對物體受力分析可知： 當(dāng)重物從A點下落時，重物受重力m

6、g，支持力F， 在沿斜面方向上加速度是a1，重力分 mgcos30°=ma1 ★點評：學(xué)會在模型的啟發(fā)下找到解決問題的思路和方法。 ?跟蹤練習(xí)： 1.如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（） A.t1t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3 2.傾角為30°的長斜坡上有C、O、B三點，CO =

7、OB = 10m，在C點豎直地固定一長10 m的直桿AO。A端與C點間和坡底B點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點），將兩球從A點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩上tAC和tAB分別為（取g = 10m/s2） A．2s和2s B． 和 2s C．和4s D．4s 和 3.在一豎直墻面上固定一光滑的桿AB，如圖所示，BD為水平地面，ABD三點在同一豎直平面內(nèi)，且連線AC=BC=0.1m 一小球套在桿上自A端滑到B端的時間為：（ ） 4.如圖所示，在傾角為的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口

8、A。為了使貨物從靜止開始，由A點沿光滑斜槽以最短的時間到達(dá)傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多少？ 答案與解析： 解得：, 鋼球滑到斜坡時間t跟鋼繩與豎直方向夾角α無關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運動時間。代入數(shù)值得t=2s，選項A正確。 3.以C為圓心作一個參考園。由結(jié)論知，小球自A到B運動 的時間與自A到B自由落體運動的時間相等。即AE=2R=0.2m AE=gt t=0.2s 4.如圖所示，首先以發(fā)貨口A點為最高點作一個圓O與傳送帶相切，切點為B，然后過圓心O畫一條豎直線，而連接A、B的直線，就是既過發(fā)貨口A，又過切點B的惟一的弦。 根據(jù)“等時圓”的規(guī)律，貨物沿AB弦到達(dá)傳送帶的時間最短。因此，斜槽應(yīng)沿AB方向安裝。AB所對的圓周角β為圓心角的一半，而圓心角又等于α，所以。