2、，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性質(zhì)
(1)如果a>b，那么bb.即a>b?bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
溫馨提示：(1)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清
3、它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．
(2)要注意每條性質(zhì)是否具有可逆性．
1．若a>b，且ab>0，則與的大小關(guān)系如何？
[答案] 因?yàn)閍b>0，所以a與b同號．
而－＝，又a>b，所以b－a<0.
所以－<0，即<
2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)a＝b是＝成立的充要條件．( )
(2)若a>b，則ac>bc一定成立．( )
(3)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.( )
(4)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系
【典例1】
4、 商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤．已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)減少10件．若把提價(jià)后的商品售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？
[思路導(dǎo)引] 根據(jù)“利潤＝銷售量×單件利潤”，把利潤用x表示出來，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．
[解] 若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，則銷售量減少×10件，因此，每天的利潤為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可以表示為不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
在用不等式(
5、組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．
[針對訓(xùn)練]
1．如圖所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖2是一個(gè)矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示為________．
[答案] (a2＋b2)>ab
2．你有過乘坐火車的經(jīng)歷嗎？火車站售票處有規(guī)定：兒童身高不足1.2 m的免票，身高1.2～1.5 m的兒童火車票為半價(jià)，身高超過1.5 m的兒童買全價(jià)票．你能用不等式表示這些規(guī)定嗎？
[解] 設(shè)身高為h m，
文字表述
身高不
足1
6、.2 m
身高在1.2
～1.5 m間
身高超
過1.5 m
符號表示
h<1.2
1.2≤h≤1.5
h>1.5
票價(jià)
免費(fèi)
半價(jià)票
全價(jià)票
題型二數(shù)(式)的大小比較
【典例2】 比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?
(1)x2＋3與3x；
(2)已知a，b均為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。?
[思路導(dǎo)引] 我們知道，a－b>0?a>b，a－b<0?a0，
∴x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
7、＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法
(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．
(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．
[針對訓(xùn)練]
3．已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝＋，n＝，比較m和n的大?。?
[解] ∵m－n＝＋－＝－＝＝.
又x，y均為正
8、數(shù)，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號成立)．
4．設(shè)x，y，z∈R，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝且z＝1時(shí)取等號.
題型三利用不等式的性質(zhì)判斷或證明不等式
【典例3】 (1)對于實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：
①若a>b，則ac2>bc2；
②若a
9、ab>b2；
③若a>b，則a2>b2；
④若a.
其中正確命題的序號是________．
(2)已知a>b，e>f，c>0.求證：f－ac－ac，再由性質(zhì)5證明．
[解析] (1)對于①∵c2≥0，
∴只有c≠0時(shí)才成立，①不正確；
對于②，aab；ab2，
∴②正確；
對于③，若0>a>b，則a2－2，
但(－1)2<(－2)2，∴③不正確；
對于④，∵a－b>0，
∴(－a
10、)2>(－b)2，即a2>b2.
又∵ab>0，∴>0，∴a2·>b2·，∴>，④正確．
(2)證明：∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－ac<－bc.∵f
11、類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．
②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．
[針對訓(xùn)練]
5．若bc－ad≥0，bd>0.求證：≤.
[證明] ∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，
∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤.
6．若a>b>0，c.
[證明] ∵c－d>0，
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
則(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
題型四利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
【
12、典例4】 已知1
13、4，
∴<<2.
(2)設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，
則a＝，b＝，
∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y.
又≤x≤，－≤y≤，
∴－2≤x＋y≤10.
即－2≤3a－2b≤10.
同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價(jià)性．
[針對訓(xùn)練]
7．已知－≤α<β≤，求、的取值范圍．
[解] ∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
兩式相加得－<<.
∵－≤<，－≤－<，
兩式相加得－≤<.
又∵α<β，∴<0，∴－≤<0.
課堂歸納小結(jié)
1．作差法比較大小的一般步
14、驟
第一步：作差；
第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“積”；
第三步：定號，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)．
最后得結(jié)論．
概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．
2．在利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明、判斷或者推理過程中，要注意性質(zhì)成立的條件，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的情況，要特別注意同向不等式相乘的條件為同為正.
1．下列說法正確的為( )
A．若＝，則x＝y(tǒng) B．若x2＝1，則x＝1
C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若x
15、＝y(tǒng).
[答案] A
2．設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，若ab，b≠0，則>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，則c>d；
③若a>b，且ac>bd，則c>d.
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] ①若a＝2，b＝－1，則不符合；②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，雖然滿足a>b且a＋c>b＋d，但不滿足c>d，故錯(cuò)；③當(dāng)a＝－2，b＝－3，
16、取c＝－1，d＝2，則不成立．
[答案] A
4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，則M與N的大小關(guān)系為________．
[解析] ∵x≠2或y≠－1，∴M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2>0，∴M>N.
[答案] M>N
5．若－1≤a≤3,1≤b≤2，則a－b的范圍為________．
[解析] ∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，
∴－3≤a－b≤2.
[答案]?。?≤a－b≤2
課后作業(yè)(十)
復(fù)習(xí)鞏固
一、選擇題
1．李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺學(xué)習(xí)機(jī)，他現(xiàn)在已存60元．計(jì)劃從現(xiàn)在起以后每個(gè)月節(jié)省30元，
17、直到他至少有400元．設(shè)x個(gè)月后他至少有400元，則可以用于計(jì)算所需要的月數(shù)x的不等式是( )
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
[解析] x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
[答案] B
2．已知a>b，c>d，且c，d不為0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bd
C．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)－c>b－d
[解析] 由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故選C.
[答案] C
3．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，則( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<
18、b
C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b
[解析] a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.
[答案] C
4．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，則a>c
B．若a>－b，則c－ab，c
D．若a2>b2，則－a<－b
[解析] 選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>b>0，c<0b>0時(shí)才可以．否則如a＝－1，b＝0時(shí)不成立，故選B.
[答案] B
5．若－1<α<β<1，則下列各
19、式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
[解析] 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
[答案] A
二、填空題
6．武廣鐵路上，高速列車跑出了350 km/h的高速度，但這個(gè)速度的2倍再加上100 km/h，還超不過波音飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過了普通客車的3倍，設(shè)高速列車速度為v1，波音飛機(jī)速度為v2，普通客車速度為v3.則三種交通工具速度的不等關(guān)系分別為________________．
[答案] 2v1＋100≤v
20、2，v1>3v3
7．若x∈R，則與的大小關(guān)系為________．
[解析] ∵－＝＝≤0，
∴≤.
[答案] ≤
8．已知不等式：①a<00；⑥a0，b>0，求證：＋≥a＋b.
[證明] ∵＋－a－b＝(a－b)＝.
∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.∴＋≥a＋b.
10．已知
21、12b，則( )
A．a(chǎn)c>bc B．<
C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3
[解析] A選項(xiàng)中，若c≤0則不成立；B選項(xiàng)中，若a為正數(shù)b為負(fù)數(shù)則不成立；C選項(xiàng)中，若a，b均為負(fù)數(shù)則不成立，故選D.
[答案] D
12．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則下列不等式中正確的是( )
A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)c>bc
C．a(chǎn)|b|>c|b| D．
22、a2>b2>c2
[解析] 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.
[答案] A
13．已知a、b為非零實(shí)數(shù)，且a0時(shí)，a2b>0，ab2<0，
∴a2b>ab2，>，①錯(cuò)，②對；
當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，＝＝－1，故③錯(cuò)．
[答案] ②
14．若x>1，－11，－10，
∴－xy
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修第一冊
