7、2.恒力做功的計算方法
直接用W＝Flcos α計算。
3.合力做功的計算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
【典例1】 如圖3所示，自動卸貨車靜止在水平地面上，在液壓機的作用下，車廂與水平方向的夾角緩慢增大，這個過程中車廂內(nèi)貨物始終相對車廂靜止，下列說法正確的是( )
圖3
A.貨物受到的靜摩擦力減小
B.地面對貨車有水平向右的摩擦力
C.貨物受到的支持力對貨物做正功
D.貨物受到的摩擦力對貨物做負功
解析 貨物受到靜摩擦力f＝mgsin θ，θ增
8、大，f增大，A錯誤；根據(jù)力的方向與貨物運動方向關系知，支持力做正功，摩擦力不做功，C正確，D錯誤；地面對貨車的摩擦力為零，B錯誤。
答案 C
【典例2】如圖4所示，質量為m的物體在恒力F的作用下從底端沿斜面向上一直勻速運動到頂端，斜面高h，傾斜角為θ，現(xiàn)把物體放在頂端，發(fā)現(xiàn)物體在輕微擾動后可勻速下滑，重力加速度大小為g。則在上升過程中恒力F做的功為( )
圖4
A.Fh B.mgh C.2mgh D.無法確定
解析 把物體放在頂端，發(fā)現(xiàn)物體在輕微擾動后可勻速下滑，則物體受力平衡，則有Ff＝mgsin θ。上滑過程中，物體也做勻速直線運動，受力平衡，則有F＝mg
9、sin θ＋Ff＝2mgsin θ，則在上升過程中恒力F做的功W＝F·＝2mgsin θ·＝2mgh，故選項C正確。
答案 C
(1)計算功時需先判斷恒力做功還是變力做功，然后依據(jù)相應的方法求解。
(2)熟悉各種力做功的特點是今后掌握能量觀點處理問題的關鍵。
1.如圖5所示，木塊A、B疊放在光滑水平地面上，A、B之間不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速運動，設A、B間的摩擦力為f，則以下說法錯誤的是( )
圖5
A.F對B做正功，對A不做功
B.f對B做負功，對A做正功
C.f對A不做功，對B做負功
D.f對A和B組成的系統(tǒng)做功為0
解析 A、
10、B一起沿光滑水平面加速運動，它們的位移相等，F(xiàn)作用在B上，沒有作用在A上，且A、B向前做加速運動，在力F的方向上發(fā)生了位移，由W＝Fl可知F對B做正功，對A不做功，故選項A正確；B對A的摩擦力向右，A對B的摩擦力向左，而位移水平向右，由W＝Flcos θ可知，f對B做負功，對A做正功，選項B正確，C錯誤；f對A做功為WA＝f l，f對B做功為WB＝－f l，故f對A、B組成的系統(tǒng)做功為W＝WA＋WB＝0，故f對A和B組成的系統(tǒng)不做功，選項D正確。
答案 C
2.(2017·全國卷Ⅱ，14)如圖6所示，一光滑大圓環(huán)固定在桌面上，環(huán)面位于豎直平面內(nèi)，在大圓環(huán)上套著一個小環(huán)。小環(huán)由大圓環(huán)的最高點
11、從靜止開始下滑，在小環(huán)下滑的過程中，大圓環(huán)對它的作用力( )
圖6
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始終指向大圓環(huán)圓心 D.始終背離大圓環(huán)圓心
解析 因為大圓環(huán)光滑，所以大圓環(huán)對小環(huán)的作用力只有彈力，且彈力的方向總是沿半徑方向，與速度方向垂直，故大圓環(huán)對小環(huán)的作用力一直不做功，選項A正確，B錯誤；開始時大圓環(huán)對小環(huán)的作用力背離圓心，到達圓心等高點及下方，大圓環(huán)對小環(huán)的作用力指向圓心，故選項C、D錯誤。
答案 A
3.水平地面上放一個重4 N的足球，一個小孩用10 N的力踢球，使球向前運動2 m。關于小孩對球做功的下列說法中，正確的是( )
A.小孩對球做
12、功20 J
B.小孩對球做功8 J
C.小孩對球做功28 J
D.題中條件不足，無法算出小孩對球做功的多少
解析 小孩踢球的力是瞬時的，僅僅在小孩的腳與球接觸時才施加給球，并不是用恒定的10 N的力推動足球前進2 m，所以A錯誤；同理，根據(jù)功的定義，B、C錯誤；小孩踢球時對球做的功，轉化為球所增加的能量(動能)，表現(xiàn)為獲得初速度v0沿地面前進。由于題中無法求出初速度，也不知道有踢力作用在球上時球移動的距離，因此無法算出小孩對球做功的多少，D正確。
答案 D
功 率
1.平均功率的計算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F。
2.瞬時功率的計算：P＝F·v
【典例1】 質量
13、為2 kg的小鐵球從某一高度由靜止釋放，經(jīng)3 s 到達地面，不計空氣阻力，g取10 m/s2。則( )
A.2 s末重力的瞬時功率為200 W
B.2 s末重力的瞬時功率為400 W
C.2 s內(nèi)重力的平均功率為100 W
D.2 s內(nèi)重力的平均功率為400 W
解析 物體只受重力，做自由落體運動，2 s末速度為v1＝gt1＝20 m/s，下落2 s末重力做功的瞬時功率P＝mgv1＝2×10×20 W＝400 W，故選項A錯誤，B正確；2 s內(nèi)的位移為h2＝gt＝20 m，所以前2 s內(nèi)重力的平均功率為2＝＝ W＝200 W，故選項C、D錯誤。
答案 B
【典例2】 (2017
14、·11月浙江選考)如圖7所示是具有登高平臺的消防車，具有一定質量的伸縮臂能夠在5 min內(nèi)使承載4人的登高平臺(人連同平臺的總質量為400 kg)上升60 m到達滅火位置。此后，在登高平臺上的消防員用水炮滅火，已知水炮的出水量為3 m3/min，水離開炮口時的速率為20 m/s，取g＝10 m/s2，則用于( )
圖7
A.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為1×104 W
B.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為4×104 W
C.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為2.4×106 W
D.伸縮臂抬升登高平臺的發(fā)動機輸出功率約為800 W
解析 水炮的發(fā)動機作用是把水從地面運到水炮處，再由水炮發(fā)射
15、出去，因此發(fā)動機做的功轉化為水發(fā)射時的動能和重力勢能，所以輸出功率P＝＝，每秒射出水的質量m＝1 000× kg＝50 kg，代入得P＝4×104 W，選項B正確，A、C錯誤；伸縮臂的發(fā)動機做功把人和伸縮臂本身抬高了60 m，伸縮臂本身有一定的質量，伸縮臂自身的重力勢能也增加，所以伸縮臂發(fā)動機的功率大于P1＝＝ W＝800 W，選項D錯誤。
答案 B
求解功率時應注意的三個問題
(1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時功率。
(2)平均功率與一段時間(或過程)相對應，計算時應明確是哪個力在哪段時間(或過程)內(nèi)做功的平均功率。
(3)瞬時功率計算時應明確是哪個力在哪個時刻(或狀態(tài)
16、)的功率。
1.(2015·10月浙江選考)快艇在運動中受到的阻力與速度的平方成正比(即Ff＝kv2)。若油箱中有20 L燃油，當快艇以10 m/s勻速行駛時，還能行駛40 km；假設快艇發(fā)動機的效率保持不變，則快艇以20 m/s勻速行駛時，還能行駛( )
A.80 km B.40 km
C.10 km D.5 km
解析 發(fā)動機的功率P＝Ffv＝kv3，以10 m/s勻速行駛40 km的時間t1＝＝4 000 s，總功一定，由于發(fā)動機的效率不變，發(fā)動機輸出的有用功相等，即kvt1＝kvt2，得t2＝500 s，x2＝v2t2＝10 000 m＝10 km。
答案
17、C
2.(2018·溫州期中)一個質量為m的小球做自由落體運動，那么，在前t秒內(nèi)重力對它做功的平均功率及在t秒末重力做功的瞬時功率P分別為(t秒末小球未著地)( )
A.＝mg2t2，P＝mg2t2
B.＝mg2t2，P＝mg2t2
C.＝mg2t，P＝mg2t
D.＝mg2t，P＝2mg2t
解析 前t秒內(nèi)重力做功的平均功率
＝＝＝mg2t
t秒末重力做功的瞬時功率
P＝Fv＝mg·gt＝mg2t。
故C正確。
答案 C
3.質量為m的汽車，啟動后沿平直路面行駛，如果發(fā)動機的功率恒為P，且行駛過程中受到摩擦阻力大小一定，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的車
18、速為時，汽車的瞬時加速度的大小為( )
A. B. C. D.
解析 當汽車勻速行駛時，有Ff＝F＝，根據(jù)P＝F′，得F′＝，由牛頓第二定律得a＝＝＝，故選項B正確，A、C、D錯誤。
答案 B
科學思維——變力做功的計算
方法
以例說法
應用動能定理
用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，則有：WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法
質量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
W＝
19、Pt
恒定功率啟動問題中牽引力是變力，但牽引力做功可以用W＝Pt計算
圖象法
一水平拉力F0拉著一物體在水平面上運動的位移為x0，圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝F0x0
【例】 如圖8所示，一半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高，質量為m的質點自軌道端點P由靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg，重力加速度大小為g。質點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為( )
圖8
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析 在Q點質點受到豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩力的合力充當向心力，所以有FN－mg＝m，由牛頓
20、第三定律FN＝FN′＝2mg，聯(lián)立解得v＝，下滑過程中，根據(jù)動能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，選項C正確。
答案 C
【針對訓練1】 以一定的初速度豎直向上拋出一個小球，小球上升的最大高度為h，空氣阻力的大小恒為F，則從拋出到落回到拋出點的過程中，空氣阻力對小球做的功為( )
A.0 B.－Fh C.Fh D.－2Fh
解析 空氣阻力是變力，應分成上升和下降兩個階段計算，空氣阻力均做負功，W＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh，D正確。
答案 D
【針對訓練2】 如圖9所示，用長為l、不可伸長的細線把質量為m的小球懸掛于O點
21、，將小球拉至懸線偏離豎直方向α角后放手，運動t時間后停在最低點。則在時間t內(nèi)( )
圖9
A.小球重力做功為mgl(1－cos α)
B.空氣阻力做功為－mglcos α
C.小球所受合力做功為mglsin α
D.細線拉力做功的功率為
解析 小球從開始運動到停止的過程中，下降的高度為h＝l(1－cos α)，所以小球的重力對小球做功WG＝mgl(1－cos α)，故選項A正確；初末動能都為0，根據(jù)動能定理，小球從開始運動到停止的過程中小球受到的合外力做功為0，空氣的阻力對小球做功Wf＝－WG＝－mgl(1－cos α)，故選項B、C錯誤；由于細線的拉力始終與運動的方向垂直，
22、所以細線的拉力不做功，細線拉力的功率為0，故選項D錯誤。
答案 A
【針對訓練3】 輕質彈簧右端固定在墻上，左端與一質量m＝0.5 kg的物塊相連，如圖10甲所示，彈簧處于原長狀態(tài)，物塊靜止，物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2。以物塊所在處為原點，水平向右為正方向建立x軸，現(xiàn)對物塊施加水平向右的外力F，F(xiàn)隨x軸坐標變化的情況如圖乙所示，物塊運動至x＝0.4 m處時速度為零，則此時彈簧的彈性勢能為(g＝10 m/s2)( )
圖10
A.3.1 J B.3.5 J
C.1.8 J D.2.0 J
解析 物塊與水平面間的摩擦力為Ff＝μmg＝1 N?，F(xiàn)對物塊施加
23、水平向右的外力F，由F－x圖象面積表示功可知，物塊運動至x＝0.4 m處時F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能關系可知W－Wf＝Ep，此時彈簧的彈性勢能為Ep＝3.1 J，選項A正確。
答案 A
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A組 基礎過關
1.關于兩物體間的作用力和反作用力的做功情況，說法正確的是( )
A.作用力做功，反作用力一定做功
B.作用力做正功，反作用力一定做負功
C.作用力和反作用力可能都做負功
D.作用力和反作用力做的功一定大小相等，且兩者代數(shù)和為0
解析 比較一對作用力和反作用力的功時，不要只看到力的大小相等，還要分析兩物
24、體的位移情況。作用力和反作用力各自做功，沒有必然的聯(lián)系。
答案 C
2.金華一中高二(2)班徐楊同學參加引體向上體能測試，在20 s內(nèi)完成10次標準動作，每次引體向上的高度約為50 cm，則在完成這10次引體向上的過程中，該同學的重力做功的平均功率為( )
A.0 B.150 W C.300 W D.450 W
解析 每完成一次引體向上，上升過程克服重力做功，下降過程重力做正功，整個過程重力做功為零，所以完成10次引體向上重力做功為零，其平均功率為零。
答案 A
3.(2018·紹興一中期末)一人用力踢質量為0.1 kg的靜止皮球，使球由靜止以20 m/s 的速
25、度飛出，假定人踢球瞬間對球平均作用力是200 N，球在水平方向運動了20 m停止，那么人對球所做的功( )
A.50 J B.20 J
C.50 J D.400 J
解析 人對球所做的功就等于球飛出時的動能，即Ek＝mv2＝20 J，故選項B正確。
答案 B
4.質量為1 kg的物體從某一高度自由下落，則該物體下落第5 s內(nèi)平均功率是(g＝10 m/s2)( )
A.250 W B.300 W
C.450 W D.750 W
解析 第4 s末速度v4＝gt＝40 m/s，第5 s末速度v5＝50 m/s，v＝ m/s＝45 m/s，由P＝Fv
26、＝10×45 W＝450 W，C正確。
答案 C
5.如圖1所示，將滑塊置于固定的粗糙斜面上，釋放后沿斜面加速下滑，在下滑過程中( )
圖1
A.重力對滑塊做負功
B.摩擦力對滑塊做負功
C.合外力對滑塊不做功
D.斜面對滑塊的支持力做正功
解析 滑塊沿斜面加速下滑，合力做正功，重力做正功，摩擦力做負功，B正確。
答案 B
6.某同學的質量為50 kg，所騎自行車的質量為15 kg，設該同學在平直路面上正常騎行時腳踏自行車的功率為 40 W。若人與車受到的阻力是其重力的0.02倍，取g＝10 m/s2，則正常騎自行車時的速度大小約為( )
A.3 m/s B
27、.4 m/s
C.13 m/s D.30 m/s
解析 設正常騎行自行車時阻力為F、速度為v，則有F＝μ(m1＋m2)g，0.02×(50＋15)g＝0.02×65×10 N＝13 N，由P＝Fv，代入數(shù)值有v＝＝ m/s≈3 m/s，故選項A正確。
答案 A
7.如圖2所示，一小孩和一大人都以水平的力勻速推動相同的木箱在相同的路面上走相同的位移(推箱的速度大小如圖中所注)，比較此過程中兩人分別對木箱做功的多少( )
圖2
A.大人做的功多
B.小孩做的功多
C.大人和小孩做的功一樣多
D.條件不足，無法判斷
解析 因為木箱勻速運動，所以推力等于摩擦
28、力，根據(jù)Ff＝μFN＝μmg可知，小孩和大人所用的推力大小相等，又因為沿推力方向所走的位移相同，所以做功一樣多，C選項正確。
答案 C
8.(2017·11月浙江選考)如圖3所示，質量為60 kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒。已知重心在c點，其垂線與腳、兩手連線中點間的距離oa、ob分別為0.9 m和0.6 m。若她在1 min內(nèi)做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m，則克服重力做的功和相應的功率約為( )
圖3
A.430 J，7 W B.4 300 J，70 W
C.720 J，12 W D.7 200 J，120
29、 W
解析 設重心上升的高度為h，根據(jù)相似三角形可知，每次俯臥撐中，有＝，即h＝0.24 m。一次俯臥撐中，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以一分鐘內(nèi)克服重力做的總功為W總＝NW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故選項B正確。
答案 B
B組 能力提升
9.(2018·“七彩陽光”聯(lián)考)物體在大小相等的恒力F作用下，分別在粗糙的水平地面上發(fā)生了一段位移x，其力與速度方向的夾角如圖4所示，則下列判斷正確的是( )
圖4
A.甲圖中力F做負功
B.乙圖中合外力做功最多
C.丙圖中摩擦力做功最多
D.三個圖中力F做功相同
解析 根據(jù)W＝F
30、xcos α，題圖甲中F與位移x的夾角為30°，為銳角，力F做正功，題圖乙中F與x的夾角為150°，力F做負功，丙中F與x的夾角為30°，力F做正功，三種情況下力F做功的大小是相等的；題圖甲中摩擦力最大，做功最多；題圖乙中合外力為F的水平分力與摩擦力的和，而題圖甲和題圖丙中合外力為F的水平分力與摩擦力的差，故題圖乙中合外力做功最多。
答案 B
10.如圖5所示，木板繞固定的水平軸O從水平位置OA緩慢轉到OB位置，木板上的物塊始終相對于木板靜止，分別用FN和Ff表示物塊受到的支持力和摩擦力，在此過程中，以下判斷正確的是( )
圖5
A.FN和Ff對物塊都不做功
B.FN對物塊做正
31、功，F(xiàn)f對物塊做負功
C.FN對物塊做正功，F(xiàn)f對物塊不做功
D.FN對物塊不做功，F(xiàn)f對物塊做正功
解析 由題可知物塊隨木板一起做圓周運動，木板在旋轉過程中，物塊所受的靜摩擦力始終背離圓心O，所以靜摩擦力不做功，而木板對物塊的支持力時時刻刻與木板垂直，即支持力一直與位移同向，所以木板對物塊的支持力做了正功，故選項C正確。
答案 C
11.質量為2 kg的物體置于水平面上，在運動方向上受水平拉力F作用，沿水平方向做勻變速運動，拉力作用2 s后被撤去，物體運動的速度圖象如圖6所示，則下列說法正確的是( )
圖6
A.拉力F做功200 J
B.拉力F做功350 J
C.物體
32、克服摩擦力做功100 J
D.物體克服摩擦力做功175 J
解析 由圖象可知撤去拉力后，物體做勻減速直線運動，加速度大小a2＝2.5 m/s2，所以滑動摩擦力Ff＝ma2＝5 N；加速過程加速度a1＝2.5 m/s2，由F－Ff＝ma1，得拉力F＝ma1＋Ff＝10 N；由圖象可知F作用的2 s時間內(nèi)位移l1＝15 m，撤去F后運動的位移l2＝20 m，全程位移l＝35 m，所以拉力F做功W1＝Fl1＝10×15 J＝150 J，A、B錯誤，物體克服摩擦力做功W2＝Ff l＝5×35 J＝175 J，C錯誤，D正確。
答案 D
12.(2018·浙江新高考研究聯(lián)盟二聯(lián))風力發(fā)電是一種環(huán)
33、保的電能獲取方式。圖7為某風力發(fā)電站外觀圖。假設當?shù)厮斤L速約為10 m/s，該風力發(fā)電站利用風的動能轉化為電能的效率約為20%，風力發(fā)電機的葉片長度為10 m，空氣的密度是1.29 kg/m3，某一工廠用電的功率為320 kW，則大約需要多少臺這樣風力發(fā)電機同時為該工廠供電( )
圖7
A.6 B.8 C.10 D.12
解析 在時間t內(nèi)，通過風力發(fā)電機葉片的空氣的動能轉化為電能，根據(jù)能量守恒定律列式求解即可；葉片旋轉所形成的圓面積為S＝πL2，t秒內(nèi)流過該圓面積的風柱體積為V＝Svt＝πL2vt，風柱體的質量為m＝ρV＝ρπL2vt，風柱體的動能為Ek＝mv2
34、＝ρπL2v3t，轉化成的電能為E＝ηEk＝ηρπL2v3t，發(fā)出的電功率為P＝＝ηρπL2v3＝×0.2×1.29×3.14×102×103＝40 kW，故需要n＝＝8，B正確。
答案 B
13.(2018·紹興期中)如圖8甲所示，在高h ＝0.8 m的平臺上放置一質量為M＝1 kg的小木塊(視為質點)，小木塊距平臺右邊緣d＝2 m?，F(xiàn)給小木塊一水平向右的初速度v0，其在平臺上運動的v2－x關系如圖乙所示。小木塊最終從平臺邊緣滑出落在距平臺右側水平距離s＝0.8 m 的地面上，g取10 m/s2，求：
圖8
(1)小木塊滑出時的速度v；
(2)小木塊在水平面滑動的時間t；
(3)小木塊在滑動過程中產(chǎn)生的熱量Q。
解析 (1)小木塊從平臺滑出后做平拋運動，
有h＝gt2
解得t＝0.4 s
木塊飛出時的速度v2＝＝2 m/s
(2)因為小木塊在平臺上滑動過程中做勻減速運動，根據(jù)v－v＝2ax2得小木塊在平臺上滑動的加速度大小
a＝－3 m/s2
又v－v＝2ad
得v0＝4 m/s
根據(jù)速度－時間關系v2＝v0＋at
得t＝ s
(3)根據(jù)牛頓第二定律，得－f＝Ma＝－3 N
根據(jù)能量守恒定律，得小木塊在滑動過程中產(chǎn)生的熱量Q＝fx＝3×2＝6 J
答案 (1)2 m/s (2) s (3)6 J
（浙江選考）2022年高考物理一輪復習 第5章 機械能 第1講 功 功率學案
