《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第二章 函數 第12講 函數與方程導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第二章 函數 第12講 函數與方程導學案 新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第12講　函數與方程 【課程要求】 1．結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯(lián)系，判斷根的存在性與根的個數． 2．利用函數的零點求解參數的取值范圍． 對應學生用書p31 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(　　) (2)函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x

2、，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)0， 且函數f(x)的圖象連續(xù)不斷，f(x)為增函數， ∴f(x)的零點在區(qū)間(2，3)內． [答案]B 3．[必修1p88例1]函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是________． [解析]由已知得f′(x)＝ex＋3>0

3、，所以f(x)在R上單調遞增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函數f(x)有且只有一個零點． [答案]1 4．[必修1p92A組T4]函數f(x)＝x－的零點個數為____________． [解析]作函數y1＝x和y2＝的圖象如圖所示， 由圖象知函數f(x)有1個零點． [答案]1 5．(多選)下列圖象表示的函數中不能用二分法求零點的是(　　) [解析]A中函數沒有零點，因此不能用二分法求零點；B中函數的圖象不連續(xù)，因此不能用二分法求零點；D中函數在x軸下方沒有圖象，因此不能用二分法求零點，故選ABD. [答案]ABD 6．已知函數f(x)＝x－(

4、x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點分別為x1，x2，x3，則(　　) A．x1

5、函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是__連續(xù)不斷__的一條曲線，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間__(a，b)__內有零點，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．有關函數零點的結論 (1)若連續(xù)不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點． (2)連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號． (3)連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號． 3．二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0

6、 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 與x軸的交點 __(x1__，0)，(x2，0)__ __(x1，0)__ 無交點 零點個數 __2__ __1__ __0__ 對應學生用書p32 函數零點區(qū)間的判定和求解 例1　(1)已知函數f(x)＝則函數f(x)在區(qū)間上有__________個零點． [解析]當x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0∈； 所以函數f(x)在區(qū)間[0，1]上只有1個零點． [答案]1 (2)若a

7、(　　) A．(a，b)和(b，c)內 B．(－∞，a)和(a，b)內 C．(b，c)和(c，＋∞)內 D．(－∞，a)和(c，＋∞) [解析]∵a0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函數零點存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內分別存在零點，又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點．因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內，故選A. [答案]A [小結]函數零點的判定方法： (1)解方程法：若對應方程f(x)＝0可解，通過解方程，則方程有幾個解就對應有幾

8、個零點． (2)函數零點的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數的零點個數． (3)數形結合法：合理轉化為兩個函數的圖象(易畫出圖象)的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數． 1．若x0是方程＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A.B. C.D. [解析]令g(x)＝，f(x)＝x， 則g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝， 結合圖象可得＜x0＜. [答案]C 2．已知

9、函數f(x)＝則函數y＝f(f(x))＋1在區(qū)間上的零點的個數是(　　) A．4B．3C．2D．1 [解析]由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1， 由f(－2)＝f＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝. 若f(x)＝－2，則x＝－3或x＝； 若f(x)＝，則x＝－或x＝. 綜上可得函數y＝f(f(x))＋1在區(qū)間上的零點的個數是2，故選C. [答案]C 函數零點個數的判斷和求解 例2　(1)已知函數f(x)＝函數g(x)＝3－f(2－x)，則函數y＝f(x)－g(x)的零點個數為(　　) A．2B．3C．4D．5 [解析]由已知條件可得g(x)＝3－f(2

10、－x)＝函數y＝f(x)－g(x)的零點個數即為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點個數，在平面直角坐標系內作出函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示．由圖可知函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有2個交點，所以函數y＝f(x)－g(x)的零點個數為2，故選A. [答案]A (2)函數f(x)＝4cos2·cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數為____________． [解析]f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x>－1， 函數f(x)的零點個數即為函數y1＝sin2x(x>－1)與y2＝|ln(

11、x＋1)|(x>－1)的圖象的交點個數． 分別作出兩個函數的圖象，如圖，可知有兩個交點，則f(x)有兩個零點． [答案]2 [小結]判斷函數零點個數的方法 (1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有幾個解，函數f(x)就有幾個零點； (2)圖象法：畫出函數f(x)的圖象，函數f(x)的圖象與x軸的交點個數即為函數f(x)的零點個數； (3)將函數f(x)拆成兩個常見函數h(x)和g(x)的差，從而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數f(x)的零點個數即為函數y＝h(x)與函數y＝g(x)的圖象的交點個數； (4)二次函數的零點問題，通過相應的二次方程

12、的判別式Δ來判斷． 3．函數y＝(x－1)2－logax(其中a>1)零點的個數是(　　) A．0B．1C．2D．3 [解析]函數y＝(x－1)2－logax(其中a>1)零點的個數就是y＝(x－1)2的圖象與y＝logax(其中a>1)圖象交點個數，在同一坐標系內畫出y＝(x－1)2的圖象與y＝logax(其中a>1)圖象，如圖，由圖可知，y＝(x－1)2的圖象與y＝logax(其中a>1)圖象有兩個交點，所以函數y＝(x－1)2－logax(其中a>1)零點的個數是2. [答案]C 4．已知a>1，方程ex＋x－a＝0與lnx＋x－a＝0的根分別為x1，x2，若m＝x＋x

13、＋2x1x2，則m的取值范圍為________． [解析]方程ex＋x－a＝0的根，即y＝ex與y＝a－x圖象交點的橫坐標，方程lnx＋x－a＝0的根，即y＝lnx與y＝a－x圖象交點的橫坐標，而y＝ex與y＝lnx的圖象關于直線y＝x軸對稱，如圖所示： ∴x1＋x2＝a，∴x＋x＋2x1x2＝＝a2，又a>1， ∴m＝x＋x＋2x1x2>1. [答案] (1，＋∞) 二次函數的零點問題 例3　(1)若函數f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內，則m的取值范圍是______________． [解析]依題意，結合函數f(

14、x)的圖象分析可知m需滿足 即 解得

15、點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數之間的關系；(3)利用二次函數的圖象列不等式組． 5．已知二次函數f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，若y＝f(x)在區(qū)間(－1，0)及內各有一個零點，則實數a的取值范圍是____________． [解析]依題意，要使y＝f(x)在區(qū)間(－1，0)及內各有一個零點，只需即解得＜a＜.故實數a的取值范圍為. [答案] 6．已知y＝f(x)是定義域為R的奇函數，當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x2－2x，若方程f(x)＝a恰有3個不同的解，則a的取值范圍是__________． [解析]設x＜

16、0，則－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x. 又因為f(x)是奇函數， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ 方程f(x)＝a恰有3個不同的解， 即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個不同的交點． 作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示， 故若方程f(x)＝a恰有3個不同的解，只需－1＜a＜1， 故a的取值范圍為(－1，1)． [答案] (－1，1) 函數零點的應用 例4　(1)(多選)設函數f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)<0B．g(a)>0 C．f(b)<

17、0D．f(b)>0 [解析]因為函數f(x)＝ex＋x－2在R上單調遞增，且f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0時，a∈(0，1)．又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上單調遞增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.由g(2)＝ln2＋1>0，所以g(b)＝0時，b∈(1，2)，又f(1)＝e－1>0，所以f(b)>0. [答案]AD (2)已知函數f(x)＝lnx－ax2＋ax恰有兩個零點，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1} [解析]由題意，顯然x＝1是函數

18、f(x)的一個零點，取a＝－1，則f(x)＝lnx＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．則f(x)僅有一個零點，不符合題意，排除A、D；取a＝1，則f(x)＝lnx－x2＋x，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1，則f(x)在(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)僅有一個零點，不符合題意，排除B，故選C. [答案]C (3)已知f(x)＝x2＋kx＋|x2－1|，若f(x)在(0，2)上有兩個不同的零點x1，x2，則k的取值范圍是________． [解析]不妨設0

19、故f(x)＝0在(0，1]上至多一個解； 若1

20、__________． [解析]由方程，解得a＝－， 設t＝2x(t>0)，則a＝－＝－ ＝2－，其中t＋1>1， 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2， 當且僅當t＝－1時取等號，故a≤2－2. [答案] (－∞，2－2] 8．已知函數f(x)＝ex－x2＋2x，g(x)＝lnx－＋2，h(x)＝－x－2，且－1

21、x，y＝x2－2x圖象交點橫坐標； b是y＝lnx，y＝－2圖象交點橫坐標； c是y＝－2，y＝x圖象交點橫坐標； 即a，b，c分別是圖中點A，B，C的橫坐標， 由圖象可得，a

22、第二段折線無公共點時，方程恰有5個實數解，將y＝mx代入(x－4)2＋y2＝1得(1＋m2)x2－8x＋15＝0，令Δ＝64－60(1＋m2)>0，得m2<.又當x＝6時，6m>1，m>，所以m∈. [答案] 對應學生用書p33 (2018·全國卷Ⅰ理)已知函數f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]函數g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點，即關于x的方程f(x)＝－x－a有2個不同的實根，即函數f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個交點，作出直線y＝－x－a與函數f(x)的圖象，如圖所示， 由圖可知，－a≤1，解得a≥－1. [答案]C 12