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1、【精品文檔】如有侵權，請聯(lián)系網站刪除，僅供學習與交流 三年高考(2014-2016)數學(理)真題分項版解析—— 專題06 數列 .....精品文檔...... 三年高考（2014-2016）數學（理）試題分項版解析 第六章 數列 一、選擇題 1. 【2014高考北京理第5題】設是公比為的等比數列，則“”是“為遞增數列”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】 試題分析：對等比數列，若，則當

2、時數列是遞減數列；若數列是遞增數列，則滿足且，故當“”是”數列為遞增數列的既不充分也不必要條件.故選C. 考點：等比數列的性質，充分條件與必要條件的判定，容易題. 【名師點睛】本題考查充要條件，本題屬于基礎題，充要條件問題主要命題方法有兩種，一種為判斷條件是結論的什么條件？第二種是尋求結論成立的某種條件是什么？近幾年高考充要條件命題以選填題為主，表面看很簡單。但由于載體素材豐富，幾何、代數、三角可以隨意選材，所以涉及知識較多，需要扎實的基本功，本題以數列有關知識為載體，考查了數列的有關知識和充要條件. 2. 【2015高考北京，理6】設是等差數列. 下列結論中正確的是（ ） A

3、．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】C 考點定位：本題考點為等差數列及作差比較法，以等差數列為載體，考查不等關系問題，重 點是對知識本質的考查. 【名師點睛】本題考查等差數列的通項公式和比較法，本題屬于基礎題，由于前兩個選項無法使用公式直接做出判斷，因此學生可以利用舉反例的方法進行排除，這需要學生不能死套公式，要靈活應對，作差法是比較大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效. 3. 【2016高考新課標1卷】已知等差數列前9項的和為27,,則 （ ） （A）100 （B）99 （C）

4、98 （D）97 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知,所以故選C. 考點：等差數列及其運算 【名師點睛】我們知道,等差、等比數列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化解關于基本量的方程（組）,因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題,所以用方程思想解決數列問題是一種行之有效的方法. 4. 【2016高考浙江理數】如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，， （）.若（ ） A．是等差數列 B．是等差數列 C．是等差數列

5、 D．是等差數列 【答案】A 【解析】 考點：等差數列的定義． 【思路點睛】先求出的高，再求出和的面積和，進而根據等差數列的定義可得為定值，即可得是等差數列． 5. 【2016年高考四川理數】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( ) （參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年

6、 （D）2021年 【答案】B 【解析】 試題分析：設第年的研發(fā)投資資金為，，則，由題意，需 ，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B. 考點：等比數列的應用. 【名師點睛】本題考查等比數列的實際應用．在實際問題中平均增長率問題可以看作是等比數列的應用，解題時要注意把哪個作為數列的首項，然后根據等比數列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可解得結論． 6. 【2015高考浙江，理3】已知是等差數列，公差不為零，前項和是，若，，成等比數列，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】∵等差數列

7、，，，成等比數列，∴， ∴，∴，，故選B. 【考點定位】1.等差數列的通項公式及其前項和；2.等比數列的概念 【名師點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，等比數列的概念等知識點，同時考查了學生的運算求解能力，屬于容易題，將，表示為只與公差有關的表達式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數列與等比數列概念以及相關公式的靈活運用. 7.【2014高考重慶理第2題】對任意等比數列,下列說法一定正確的是( ) 成等比數列 成等比數列 成等比數列 成等比數列 【答案】D 【解析】 試題分析：因為

8、數列為等比數列，設其公比為，則 所以，一定成等比數列，故選D. 考點：1、等比數列的概念與通項公式；2、等比中項. 【名師點睛】本題考查了等比數列的概念與通項公式，等比數列的性質，本題屬于基礎題，利用下標和相等的兩項的積相等更能快速作答. 8. 【2015高考重慶，理2】在等差數列中，若=4，=2，則=（　?。? A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B 【解析】由等差數列的性質得，選B. 【考點定位】本題屬于數列的問題，考查等差數列的通項公式與等差數列的性質.

9、【名師點晴】本題可以直接利用等差數列的通項公式求解，也可應用等差數列的性質求解，主要考查學生靈活應用基礎知識的能力.是基礎題. 9.【2014福建，理3】等差數列的前項和，若，則( ) 【答案】C 【解析】 試題分析：假設公差為,依題意可得.所以.故選C. 考點：等差數列的性質. 【名師點睛】本題主要考查等差數列的通項公式及簡單的計算問題，等差、等比數列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化解關于基本量的方程（組）,因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題,所以用方程思

10、想解決數列問題是一種行之有效的方法. 10.【2015高考福建，理8】若 是函數 的兩個不同的零點，且 這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【考點定位】等差中項和等比中項． 【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項和等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心．三個數成等差數列或等比數列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進行討論，屬于難題． 11. 【2014遼寧理8】設等差數列的公差為d，若數列為遞減數列，則（ ） A．

11、B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：因為是等差數列，則，又由于為遞減數列，所以，故選C. 考點：1.等差數列的概念；2.遞減數列. 【名師點睛】本題考查等差數列的通項公式、數列的性質等，解答本題的關鍵，是寫出等差數列的通項，利用是遞減數列，確定得到，得到結論. 本題是一道基礎題.在考查等差數列等基礎知識的同時，考查考生的計算能力. 12. 【2015課標2理4】已知等比數列滿足a1=3， =21，則 ( ) A．21 B．42 C．63 D．84 【答案】B 【解析】設等比數列公比為，則，又因為，所以，解得，

12、所以，故選B． 【考點定位】等比數列通項公式和性質． 【名師點睛】本題考查等比數列的通項公式和性質，通過求等比數列的基本量，利用通項公式求解，若注意到項的序號之間的關系，則可減少運算量，屬于基礎題． 二、填空題 1. 【2016高考浙江理數】設數列{an}的前n項和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1= ，S5= . 【答案】 【解析】 試題分析：， 再由，又， 所以 考點：1、等比數列的定義；2、等比數列的前項和． 【易錯點睛】由轉化為的過程中，一定要檢驗當時是否滿足，否則很容易出現錯誤． 2. 【2014高考北京理第1

13、2題】若等差數列滿足，則當 時，的前項和最大.【答案】 考點：等差數列的性質，前項和的最值，容易題. 【名師點睛】本題考查等差數列的性質及等差數列的通項公式及前項和公式，本題屬于基礎題，由于題目提供a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，推出，從而說明數列{an}的前8項和最大.這個題目命題角度新穎，不需死套公式，重視對知識的理解和對知識本質的考查. 3.【2016年高考北京理數】已知為等差數列，為其前項和，若，，則_______.【答案】6 【解析】試題分析：∵是等差數列，∴，，，，∴，故填：6． 考點：等差數列基本性質. 【名師點睛】在等差數列五個基本量，，，，中，已

14、知其中三個量，可以根據已知條件結合等差數列的通項公式、前項和公式列出關于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換及方程思想的應用. 4. 【2014高考廣東卷.理.13】若等比數列的各項均為正數，且，則 . 【答案】. 【解析】由題意知，所以， 因此， 因此. 【考點定位】本題考查等比數列的基本性質與對數的基本運算，屬于中等偏難題. 【名師點晴】本題主要考查的是等比數列的性質和對數的基本運算，屬于中等偏難題．解題時要抓住關鍵字眼“正數”，否則很容易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是等比數列的性質和對數的基本運算，即等比數列中，若（、、、），則，（，，

15、，）． 5. 【2015高考廣東，理10】在等差數列中，若，則= . 【答案】． 【解析】因為是等差數列，所以，即，所以，故應填入． 【考點定位】等差數列的性質． 【名師點睛】本題主要考查等差數列性質及其簡單運算和運算求解能力，屬于容易題，解答此題關鍵在于熟記，及其熟練運用． 6. 【2016高考新課標1卷】設等比數列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2 …an的最大值為 ． 【答案】 考點：等比數列及其應用 【名師點睛】高考中數列客觀題大多具有小、巧、活的特點,在解答時要注意方程思想及數列相關性質的應用,盡量避免小題大做.

16、 7. 【2016高考江蘇卷】已知是等差數列，是其前項和.若，則的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由得，因此 考點：等差數列性質 【名師點睛】本題考查等差數列基本量，對于特殊數列，一般采取待定系數法，即列出關于首項及公差的兩個獨立條件即可.為使問題易于解決，往往要利用等差數列相關性質，如及等差數列廣義通項公式 8. 【2014江蘇，理7】在各項均為正數的等比數列中，若，，則的值是 . 【答案】4． 【解析】設公比為，因為，則由得，，解得，所以． 【考點定位】等比數列的通項公式． 【名師點晴】在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立

17、方程(組)獲得解．即等差數列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算． 9. 【2015江蘇高考，11】數列滿足，且（），則數列的前10項和為 【答案】 【解析】由題意得： 所以 【考點定位】數列通項，裂項求和 【名師點晴】由數列的遞推公式求通項公式時，若遞推關系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，

18、則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數列的通項公式，注意：有的問題也可利用構造法，即通過對遞推式的等價變形，轉化為特殊數列求通項．數列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據通項特點進行選用. 10. 【2015高考陜西，理13】中位數1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為 ． 【答案】 【解析】設數列的首項為，則，所以，故該數列的首項為，所以答案應填：． 【考點定位】等差中項． 【名師點晴】本題主要考查的是等差中項，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“中位數

19、”和“等差數列”，否則很容易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是等差中項的概念，即若，，成等差數列，則稱為與的等差中項，即． 11.【2015高考新課標2，理16】設是數列的前n項和，且，，則________． 【答案】 【考點定位】等差數列和遞推關系． 【名師點睛】本題考查數列遞推式和等差數列通項公式，要搞清楚項與的關系，從而轉化為與的遞推式，并根據等差數列的定義判斷是等差數列，屬于中檔題． 12. 【2014，安徽理12】數列是等差數列，若構成公比為的等比數列，則________． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵成等比， ∴，令， 則，即， ∴，即，∴． 考點：1

20、．等差，等比數列的性質． 【名師點睛】對于等差數列與等比數列綜合考查的問題，要做到：①熟練掌握等差或等比數列的性質，尤其是，則（等差數列），（等比數列）；②注意在平時提高自己的運算求解能力，尤其是換元法在計算題中的應用；③要熟練掌握數列中相關的通項公式，前項和公式等. 13. 【2015高考安徽，理14】已知數列是遞增的等比數列，，則數列的前項和等于 . 【答案】 【考點定位】1.等比數列的性質；2.等比數列的前項和公式. 【名師點睛】對于等差數列與等比數列綜合考查的問題，要做到：①熟練掌握等差或等比數列的性質，尤其是，則（等差數列），（等比數列）；②注意題目給定的限制條件，

21、如本題中“遞增”，說明；③要熟練掌握數列中相關的通項公式，前項和公式等. 14. 【2014天津，理11】設是首項為，公差為的等差數列，為其前項和．若成等比數列，則的值為__________． 【答案】． 【解析】 試題分析：依題意得，∴，解得． 考點：1．等差數列、等比數列的通項公式；2．等比數列的前項和公式． 【名師點睛】本題考查等差數列的通項公式和前項和公式，本題屬于基礎題，利用等差數列的前項和公式表示出然后依據成等比數列，列出方程求出首項.這類問題考查等差數列和等比數列的基本知識，大多利用通項公式和前項和公式通過列方程或方程組就可以解出. 15. 【2015湖南理14】設

22、為等比數列的前項和，若，且，，成等差數列，則 . 【答案】. 【解析】 試題分析：∵，，成等差數列， ∴， 又∵等比數列，∴. 【考點定位】等差數列與等比數列的性質. 【名師點睛】本題主要考查等差與等比數列的性質，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關于等比數列 基本量的方程即可求解，考查學生等價轉化的思想與方程思想. 三、解答題 1. 【2016高考新課標2理數】為等差數列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數列的前1 000項和． 【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用等差數列的求和公式求

23、公差，從而求得通項，再根據已知條件表示不超過的最大整數，求；（Ⅱ）對分類討論，再用分段函數表示，再求數列的前1 000項和． 試題解析：（Ⅰ）設的公差為，據已知有，解得 所以的通項公式為 （Ⅱ）因為 所以數列的前項和為 考點：等差數列的的性質，前項和公式，對數的運算. 【名師點睛】解答新穎性的數學題，一是通過轉化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運用數學思想方法，以“新”制“新”，應特別關注創(chuàng)新題型的切入點和生長點. 于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝

24、0，與dm－1＝1矛盾． 所以對于任意n≥1，有an≤2，即非負整數列{an}的各項只能為1或2. 因為對任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2. 故Bn＝An－dn＝2－1＝1. 因此對于任意正整數n，存在m滿足m＞n，且am＝1，即數列{an}有無窮多項為1. 考點定位：本題考查新定義信息題，考查學生對新定義的理解能力和使用能力。 【名師點睛】本題考查學生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an＋1，an＋2，…的最小值記

25、為Bn，dn＝An－Bn ,對于數列{an}給出這樣一個新的定義，首先要理解定義，題目的第一步，前一項的最大值為2，第一項后面的項的最小值為1，即，則，同理求出，通過第一步的計算應用新定義，加深對定義的認識進入第二步就容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環(huán)境下進行思維，需要在原有的知識儲備，還需要嚴密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力，有得分的機會，但得滿分較難. 2. 【2014高考廣東卷.理.19】 (本小題滿分14分)設數列的前項和為，滿足，，且. (1)求..的值； (2)求數列的通項公式. 【答案】(

26、1)，，；(2). (2)由題意得， 由(1)知，，，猜想， 假設當時，猜想成立，即，則有， 則當時，有， 這說明當時，猜想也成立， 由歸納原理知，對任意，. 【考點定位】本題考查利用與的關系來考查數列的通項的求解，主要考查數學歸納法的應用，屬于中等題. 【名師點晴】本題主要考查的是數列的通項公式，屬于中等題．本題通過計算，，的值猜想數列的通項公式，利用數學歸納法進行證明，可得數列通項公式．用數學歸納法證明時一定要注意當時猜想也成立的推理，否則很容易出現錯誤． 3. 【2016高考山東理數】（本小題滿分12分） 已知數列 的前n項和Sn=3n2+8n，是等差數列，且 （

27、Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）令 求數列的前n項和Tn. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又， 得， ， 兩式作差，得 所以 考點：1.等差數列的通項公式；2.等差數列、等比數列的求和；3.“錯位相減法”. 【名師點睛】本題主要考查等差數列的通項公式及求和公式、等比數列的求和、數列求和的“錯位相減法”.此類題目是數列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數列的項數.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等. 4.【2015高

28、考廣東，理21】數列滿足， (1) 求的值； (2) 求數列前項和； (3) 令，，證明：數列的前項和滿足． 【答案】（1）；（2）；（3）見解析． 【解析】（1）依題， ∴ ； （2）依題當時， ， ∴ ，又也適合此式， ∴ ， ∴ 數列是首項為，公比為的等比數列，故； （3）依題由知，，， ∴ ， 記，則， ∴ 在上是增函數，又即， 又且時，， ∴ 即， ∴ ，，…，， 即有， ∴ ，即． 【考點定位】前項和關系求項值及通項公式，等比數列前項和，不等式放縮． 【名師點睛】本題主要考查前項和關系求項值及通項公式，等比數

29、列前項和，不等式放縮等，轉化與化歸思想的應用和運算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應能求得，并由得到，再用構造函數（）結合不等（）放縮方法或用數學歸納法證明． 5. 【 2014湖南20】已知數列滿足,. (1)若為遞增數列,且成等差數列,求的值; (2)若,且是遞增數列,是遞減數列,求數列的通項公式. 【答案】(1) (2) 或 【解析】 試題解析:(1)因為數列為遞增數列,所以,則,分別令可得,因為成等差數列,所以或, 當時,數列為常數數列不符合數列是遞增數列,所以. (2)由題可得,因為是遞增數列且是遞減數列,所以且,則有

30、,因為 (2)由題可得,因為是遞增數列且是遞減數列,所以且,兩不等式相加可得, 又因為,所以,即, 同理可得且,所以, 則當時,,這個等式相加可得 . 當時, ,這個等式相加可得 ,當時,符合,故 綜上. 【考點定位】疊加法 等差數列 等比數列 數列單調性 【名師點睛】本題考查了等差數列的通項公式，等比數列前n項和公式、數列的單調性，累加法求數列的通項公式，不等式的性質等，同時考查數列的基礎知識和化歸、分類整合等數學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．本題設計巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大． 6. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）

31、 記.對數列和的子集T，若,定義;若，定義.例如：時，.現設是公比為3的等比數列，且當時，. （1）求數列的通項公式； （2）對任意正整數，若，求證：； （3）設,求證：. 【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）根據及時定義，列出等量關系，解出首項，根據等比數列通項公式寫出通項公式（2）數列不等式證明，一般是以算代征，而非特殊數列一般需轉化到特殊數列，便于求和，本題根據子集關系，先進行放縮為一個等比數列，再利用等比數列求和公式得（3）利用等比數列和與項的大小關系，確定所定義和的大小關系：設則因此由，因此中最大項必在A中，由（2）得，（2）為（3）搭

32、好臺階，只不過比較隱晦，需明晰其含義. （3）下面分三種情況證明. ①若是的子集，則. ②若是的子集，則. ③若不是的子集，且不是的子集. 令，則，，. 于是，，進而由，得. 設是中的最大數，為中的最大數，則. 由（2）知，，于是，所以，即. 又，故， 從而， 故，所以， 即. 綜合①②③得，. 考點：等比數列的通項公式、求和 【名師點睛】本題三個難點，一是數列新定義，利用新定義確定等比數列首項，再代入等比數列通項公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的，是將非特殊數列轉化為特殊數列，從而可利用特殊數列性質，以算代征，三是結論含義的應用，實質又是一個新定義，

33、只不過是新定義的性質應用. 7.【2014江蘇，理20】設數列的前項和為.若對任意的正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”. （1）若數列的前項和為，證明：是“數列”. （2）設是等差數列，其首項，公差，若是“數列”，求的值； （3）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“數列” 和，使得成立. 【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析． 【解析】（1）首先，當時，，所以，所以對任意的，是數列中的項，因此數列是“數列”． （2）由題意，，數列是“數列”，則存在，使，，由于，又，則對一切正整數都成立，所以． （3）首先，若（是常數），則數列前項和為是數列中的第項，因此是“數

34、列”，對任意的等差數列，（是公差），設，，則，而數列，都是“數列”，證畢． 【考點定位】（1）新定義與數列的項，（2）數列的項與整數的整除；（3）構造法． 【名師點晴】在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便，而一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解；解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略. 8. 【2015江蘇高考，20】（本小題滿分16分） 設是各項為正數且公差為d的等差數列 （1）證明：依次成等比數列； （2）是否存在，使

35、得依次成等比數列，并說明理由； （3）是否存在及正整數，使得依次成等比數列，并說明理由. 【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在 【解析】 試題分析（1）根據等比數列定義只需驗證每一項與前一項的比值都為同一個不為零的常數即可（2）本題列式簡單，變形較難，首先令將二元問題轉化為一元，再分別求解兩個高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，無解，所以不存在（3）同（2）先令將二元問題轉化為一元，為降次，所以兩邊取對數，消去n,k得到關于t的一元方程，從而將方程的解轉化為研究函數零點情況，這個函數需要利用二次求導才可確定其在上無零點 試題解析：（1）證明：因為（，，）是同一個常數，

36、 所以，，，依次構成等比數列． （2）令，則，，，分別為，，，（，，）． 假設存在，，使得，，，依次構成等比數列， 則，且． 令，則，且（，）， 化簡得（），且．將代入（）式， ，則． 顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設不成立， 因此不存在，，使得，，，依次構成等比數列． 化簡得， 且． 再將這兩式相除，化簡得（）． 令， 則． 令， 則． 令，則． 令，則． 由，， 知，，，在和上均單調． 故只有唯一零點，即方程（）只有唯一解，故假設不成立． 所以不存在，及正整數，，使得，，，依次構成等比數列． 【考點定位】等差、等比數列的定義及性質，函數與方程

37、 【名師點晴】解決等差數列與等比數列的綜合問題，關鍵是理清兩個數列的關系．如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，要把成等差數列或等比數列的項抽出來單獨研究；如果兩個數列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數列分割開，弄清兩個數列各自的特征，再進行求解． 9. 【2015高考山東，理18】設數列的前n項和為.已知. （I）求的通項公式； （II）若數列滿足，求的前n項和. 【答案】（I）; （II）. 【解析】 （I）因為 所以， ，故 當 時， 此時， 即 所以， （II）因為 ，所以 當 時， 所以 當 時， 所以

38、兩式相減，得 所以 經檢驗， 時也適合， 綜上可得： 【考點定位】1、數列前 項和 與通項 的關系；2、特殊數列的求和問題. 【名師點睛】本題考查了數列的基本概念與運算，意在考查學生的邏輯思維能力與運算求解能力，思維的嚴密性和運算的準確性，在利用與通項的關系求的過程中，一定要注意 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學生的運算能力提出了較高的要求. 10. 【2016高考天津理數】已知是各項均為正數的等差數列，公差為，對任意的是和的等差中項. (Ⅰ)設，求證：是等差數列； (Ⅱ)設 ，求證： 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ

39、）先根據等比中項定義得：，從而，因此根據等差數列定義可證：（Ⅱ） 對數列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項相消法求和，易得結論. 考點：等差數列、等比中項、分組求和、裂項相消求和 【名師點睛】分組轉化法求和的常見類型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和． 11.【2014山東.理19】（本小題滿分12分） 已知等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）令，求數

40、列的前項和. 【答案】（I）. （II），（或） 【解析】 （II） 當n為偶數時， 當n為奇數時， 所以，（或） 試題解析：(I）因為， ， 由題意，得， 解得， 所以. （II） 當n為偶數時， 當n為奇數時， 所以，（或） 【名師點睛】本題考查等差數列的通項公式、等差數列及等比數列的求和公式、“裂項相消法”等.求等差數列的通項公式，主要是要運用已知條件，建立首項a1，公差為d的方程組.數列的求和問題，基本解法有“分組求和法”、“錯位相減法”、“裂項相消法”. 本題是一道能力題.在考查等差數列等基礎知識、基本方法的同時，考查考生的計算能力、轉化與化歸思想

41、及分類討論思想. 12. 【2016高考新課標3理數】已知數列的前n項和，其中． （I）證明是等比數列，并求其通項公式； （II）若 ，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數列的遞推公式，然后通過變換結合等比數列的定義可證；（Ⅱ）利用（Ⅰ）前項和化為的表達式，結合的值，建立方程可求得的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． 考點：1、數列通項與前項和為關系；2、等比數列的定義與通項及前項和為． 【方法總結】等比數列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數）；（2）中項法，即證明．根據數列的遞推關系求通項常常要將遞推關系變形

42、，轉化為等比數列或等差數列來求解． 13. 【2015高考陜西，理21】（本小題滿分12分）設是等比數列，，，，的各項和，其中，，． （I）證明：函數在內有且僅有一個零點（記為），且； （II）設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為，比較 與的大小，并加以證明． 【答案】（I）證明見解析；（II）當時， ，當時，，證明見解析． 【解析】 試題解析：（I），則 所以在內至少存在一個零點. 又，故在內單調遞增， 所以在內有且僅有一個零點. 因為是的零點，所以，即，故. (II)解法一：由題設， 設 當時， 當時， 若， 若，

43、 所以在上遞增，在上遞減， 所以，即. 綜上所述，當時, ；當時 解法二 由題設， 當時, 當時, 用數學歸納法可以證明. 當時, 所以成立. 假設時，不等式成立，即. 那么，當時， . 又 令， 則 所以當,,在上遞減； 當,,在上遞增. 所以，從而 故.即，不等式也成立. 所以，對于一切的整數，都有. 解法三:由已知，記等差數列為,等比數列為,則，， 所以, 令 當時, ,所以. 當時, 而，所以，. 若，，， 當，，， 從而在上遞減，在上遞增.所以， 所以當又，，故 綜上所述，當時，；當時. 考點：1、等比數列的前項和

44、公式；2、零點定理；3、等差數列的前項和公式；4、利用導數研究函數的單調性. 【名師點晴】本題主要考查的是等比數列的前項和公式、零點定理、等差數列的前項和公式和利用導數研究函數的單調性，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”，否則很容易出現錯誤．證明函數僅有一個零點的步驟：①用零點存在性定理證明函數零點的存在性；②用函數的單調性證明函數零點的唯一性．有關函數的不等式，一般是先構造新函數，再求出新函數在定義域范圍內的值域即可． 14. 【2014新課標，理17】（本小題滿分12分） 已知數列滿足=1，. （Ⅰ）證明是等比數列，并求的通項公式； （Ⅱ）證明：. 【解析】：（

45、Ⅰ）證明：由得，所以，所以是等比數列，首項為，公比為3，所以，解得. 【考點定位】1.等比數列；2.等比數列的前n項和公式；3.放縮法. 【名師點睛】本題考查了數列的概念，遞推數列，等比數列的定義、通項公式、等比數列的前n項和公式，放縮法證明不等式，屬于中檔題目，本題體現了化歸與轉化的基本數學思想方法，注意放縮的適度. 15．【2015高考四川，理16】設數列的前項和，且成等差數列. （1）求數列的通項公式； （2）記數列的前n項和，求得成立的n的最小值. 【答案】（1）；（2）10. 【解析】（1）由已知，有， 即. 從而. 又因為成等差數列，即. 所以，解得.

46、 所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列. 故. 【考點定位】本題考查等差數列與等比數列的概念、等比數列通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查運算求解能力. 【名師點睛】凡是有與間的關系，都是考慮消去或（多數時候是消去，得與間的遞推關系）.在本題中，得到與間的遞推關系式后，便知道這是一個等比數列，利用等比數列的相關公式即可求解.等差數列與等比數列是高考中的必考內容，多屬容易題，考生應立足得滿分. 16. 【2016高考浙江理數】設數列滿足，． （I）證明：，； （II）若，，證明：，． 【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析． 【解析】 試題分析：（I）先利用三角形

47、不等式得，變形為，再用累加法可得，進而可證；（II）由（I）可得，進而可得，再利用的任意性可證． 試題解析：（I）由得，故 ，， 所以 ， 因此 ． （II）任取，由（I）知，對于任意， ， 故． 從而對于任意，均有． 由的任意性得． ① 否則，存在，有，取正整數且，則 ， 與①式矛盾． 綜上，對于任意，均有． 考點：1、數列；2、累加法；3、證明不等式． 【思路點睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進而可證；（II）由（I）的結論及已知條件可得，再利用的任意性可證． 17. 【2014四川，理19】

48、設等差數列的公差為，點在函數的圖象上（）. （1）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和； （2）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列的前 項和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：據題設可得，.（1），由等差數列的前項和公式可得.（2）首先可求出在處的切線為，令得，由此可求出，.所以，這個數列用錯位相消法可得前 項和. 試題解答：據題設可得.（1），所以. （2）將求導得，所以在處的切線為，令得， 所以，.所以， 其前項和…………………………① 兩邊乘以2得：…………………………② ②－①得：，所以. 【考點定位】等差數列與等比數列. 【名師點

49、睛】已知數列是等差數列，只需求得首項與公差即可；考生在解決此題時，都知道利用錯位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計算量大導致了漏項或添項以及符號出錯等．兩邊乘公比后，對應項的冪指數會發(fā)生變化，應將相同冪指數的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩項相減，除第一項和最后一項外，剩下的項是一個等比數列． 18.【2015高考新課標1，理17】為數列{}的前項和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通項公式； （Ⅱ）設 ,求數列{}的前項和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用數列第項與前項和的關系求出數列{}的遞推公式，可

50、以判斷數列{}是等差數列，利用等差數列的通項公式即可寫出數列{}的通項公式；（Ⅱ）根據（Ⅰ）數列{}的通項公式，再用拆項消去法求其前項和. 試題解析：（Ⅰ）當時，，因為，所以=3， 當時，==， 即，因為，所以=2， 所以數列{}是首項為3，公差為2的等差數列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以數列{}前n項和為= =. 【考點定位】數列前n項和與第n項的關系；等差數列定義與通項公式；拆項消去法 【名師點睛】已知數列前n項和與第n項關系，求數列通項公式，常用將所給條件化為關于前n項和的遞推關系或是關于第n項的遞推關系，若滿足等比數列或等差數列定義，用等比數列或等差數列通

51、項公式求出數列的通項公式，否則適當變形構造等比或等數列求通項公式. 19. 【2014課標Ⅰ，理17】 已知數列的前項和為，，，，其中為常數， （I）證明：； （II）是否存在，使得為等差數列？并說明理由. 【答案】（I）詳見解析；（II）存在，. 【解析】 因此存在，使得為等差數列． 【考點定位】1、遞推公式；2、數列的通項公式；3、等差數列． 【名師點睛】本題考查了遞推公式、等差數列的通項公式及其前n項和公式和概念、等差數列的充要條件等基礎知識與基本技能方法, 考查了考生運用數列的有關知識解題的能力和觀察、分析、歸納、猜想及用數學歸納法證明的能力，同時考查了考生的推理能力

52、和計算能力、分類討論的思想方法. 20. 【2016年高考北京理數】（本小題13分） 設數列A： ， ,… ().如果對小于()的每個正整數都有 ＜ ，則稱是數列A的一個“G時刻”.記“是數列A的所有“G時刻”組成的集合. （1）對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素； （2）證明：若數列A中存在使得>，則 ； （3）證明：若數列A滿足- ≤1（n=2,3, …,N）,則的元素個數不小于 -. 【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）關鍵是理解G時刻的定義，根據定義即可寫出的所有元素； （2）要證，即證中含有一元素即可

53、； （3）當時，結論成立.只要證明當時仍然成立即可. 試題解析：（1）的元素為和. （2）因為存在使得，所以. 記， 則，且對任意正整數. 因此，從而. （3）當時，結論成立. 以下設. 由（Ⅱ）知. 設，記. 則. 對，記. 如果，取，則對任何. 從而且. 又因為是中的最大元素，所以. 從而對任意，，特別地，. 對. 因此. 所以. 考點：數列、對新定義的理解. 【名師點睛】數列的實際應用題要注意分析題意，將實際問題轉化為常用的數列模型，數列的綜合問題涉及到的數學思想：函數與方程思想(如：求最值或基本量)、轉化與化歸思想(如：求和或應用)、特殊到一般

54、思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數列求和，或)等. 21. 【2014年.浙江卷.理19】（本題滿分14分）已知數列和滿足.若為等比數列，且 （1） 求與； （2） 設。記數列的前項和為. （i）求； （ii）求正整數，使得對任意，均有． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（i）；（ii）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求與得通項公式，由已知得，再由已知得，，又因為數列為等比數列，即可寫出數列的通項公式為，由數列的通項公式及，可得數列的通項公式為，； （Ⅱ）（i）求數列的前項和，首先求數列的通項公式，由，將，代入整理得，利用等比數列求和公式，即可得數列的前項和；（ii）求正

55、整數，使得對任意，均有，即求數列的最大項，即求數列得正數項，由數列的通項公式，可判斷出，當時，，從而可得對任意恒有，即． 試題點評：本題主要考查等差數列與等比的列得概念，通項公式，求和公式，不等式性質等基礎知識，同時考查運算求解能力． 【名師點睛】本題考查了等比數列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項式定理，還可以用數學歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學生有較高的分析問題解決問題的能力．本題屬于難題．解決等差數列與等比數列的綜合問題，關鍵是理清兩個數列的關系．如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，則要把成等差數列和成等比數列

56、的項分別抽出來，研究這些項與序號之間的關系；如果兩個數列是通過運算綜合在一起的，就要從分析運算入手，把兩個數列分割開，再根據兩個數列各自的特征進行求解．解決數列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．總之解決這類問題把數列和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了． 22. 【2015高考浙江，理20】已知數列滿足=且=-（） （1）證明：1（）； （2）設數列的前項和為，證明（）. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. 試題分析：（1）首先根據遞

57、推公式可得，再由遞推公式變形可知 ，從而得證；（2）由和得， ，從而可得，即可得證. 試題解析：（1）由題意得，，即，，由 得，由得， ，即；（2）由題意得， ∴①，由和得，， ∴，因此②，由①②得 . 【考點定位】數列與不等式結合綜合題. 【名師點睛】本題主要考查了數列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結合已知條件即可得證，第二小問具有較強的技巧性，首先根據遞推公式將轉化為只與有關的表達式，再結合已知條件得到的取值范圍即可得證，此次數列自2008年之后作為解答題壓軸題重出江湖，算是一個不大不小的冷門（之

58、前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數為背景的函數綜合題），由于數列綜合題常與不等式，函數的最值，歸納猜想，分類討論等數學思想相結合，技巧性比較強，需要平時一定量的訓練與積累，在后續(xù)復習時應予以關注. 23. 【2014高考重慶理第22題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分） 設 （Ⅰ）若，求及數列的通項公式； （Ⅱ）若，問：是否存在實數使得對所有成立？證明你的結論. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在， 【解析】 試題解析： 解: （Ⅰ）解法一： 再由題設條件知 從而是首項為0公差為1的等差數列， 故=，即 解法二： 可寫為.因此猜想. 下用數學歸

59、納法證明上式： 當時結論顯然成立. 假設時結論成立，即.則 這就是說，當時結論成立. 所以 （Ⅱ）解法一：設，則. 令，即，解得. 下用數學歸納法證明加強命： 當時，，所以，結論成立. 假設時結論成立，即 易知在上為減函數，從而 即 再由在上為減函數得. 故，因此，這就是說，當時結論成立. 綜上，符合條件的存在，其中一個值為. 解法二：設，則 先證：…………………………① 當時，結論明顯成立. 假設時結論成立，即 易知在上為減函數，從而 即這就是說，當時結論成立，故①成立. 再證：………………………………② 當時，，有，即當時結論②成

60、立 假設時，結論成立，即 由①及在上為減函數，得 這就是說，當時②成立，所以②對一切成立. 由②得 即 因此 又由①、②及在上為減函數得 即 所以解得. 綜上，由②③④知存在使對一切成立. 考點：1、數列通項公式的求法；2、等差數列；3、函數思想在解決數列問題中的應用.4、數學歸納法. 【名師點睛】本題考查了數列通項公式的求法，等差數列，函數思想在解決數列問題中的應用，數學歸納法，屬于難題，解題時要認真審題及等價轉化的應用，需要學生具有較強的分析解決問題的能力． 24. 【2015高考重慶，理22】在數列中， （1）若求數列的通項公式； （2）若證明：

61、【答案】（1）；（2）證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會得出），從而，所以是等比數列，由其通項公式可得結論；（2）本小題是數列與不等式的綜合性問題，數列的遞推關系是可變形為, 由于，因此，于是可得， 即有， 又， 于是有 ， 這里應用了累加求和的思想方法，由這個結論可知，因此 ，這樣結論得證，本題不等式的證明應用了放縮法.(1)由,有 若存在某個，使得，則由上述遞推公式易得，重復上述過程可得，此與矛盾，所以對任意,. 從而，即是一個公比的等比數列. 故. (2)由，數列的遞推關系式變?yōu)? 變形為. 由上式及，

62、歸納可得 因為，所以對 求和得 另一方面，由上已證的不等式知得 綜上： 【考點定位】等比數列的通項公式，數列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識． 【名師點晴】數列是考查考生創(chuàng)新意識與實踐精神的最好素材．從近些年的高考試題來看，一些構思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數列與方程、函數(包括三角函數)、不等式以及導數等的綜合性試題不斷涌現，這部分試題往往以壓軸題的形式出現，考查綜合運用知識的能力，突出知識的融會貫通．數列的問題難度大，往往表現在與遞推數列有關，遞推含義趨廣，不僅有數列前后項的遞推，更有關聯(lián)數列的遞推，更甚的是

63、數列間的“復制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，還有分式、三角、分段、積(冪)等形式．在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、代數推理能力、分析問題解決問題的能力． 本題第（1）小題通過遞推式證明數列是等比數列，從而應用等比數列的通項公式求得通項，第（2）小題把數列與不等式結合起來，利用數列的遞推式證明數列是單調數列，利用放縮法證明不等式，難度很大． 25. 【2015高考安徽，理18】設，是曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）記，證明. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（Ⅰ）解：，曲線在點處的切線斜率為. 從而切線方

64、程為.令，解得切線與軸交點的橫坐標. （Ⅱ）證：由題設和（Ⅰ）中的計算結果知 . 當時，. 當時，因為， 所以. 綜上可得對任意的，均有. 【考點定位】1.曲線的切線方程；2.數列的通項公式；3.放縮法證明不等式. 【名師點睛】數列是特殊的函數，不等式是深刻認識函數與數列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點，且數列的重心已經偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項，此類問題在2010年、2012年、2013年安徽高考解答題中都曾考過.對于數列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再

65、放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項開始放縮. 26. 【2014，安徽理21】（本小題滿分13分） 設實數，整數，． （I）證明：當且時，； （II）數列滿足，，證明：． 【答案】（I）證明：當且時，；（II）． 【解析】 試題分析：（I）證明原不等式成立，可以用數學歸納法，當時，當，由成立．得出當時， ，綜合以上當且時，對一切整數，不等式均成立．（II）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數學歸納法證明．其中要利用到當時，．當得．由（I）中的結論得．因此，即．所

66、以時，不等式也成立．綜合①②可得，對一切正整數，不等式均成立．再證由可得，即．第二種方法，構造函數設，則，并且 ．由此可得，在上單調遞增，因而，當時，．再利用數學歸納法證明． 試題解析：（I）證明：用數學歸納法證明 ①當時，，原不等式成立． ②假設時，不等式成立． 當時， 所以時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當且時，對一切整數，不等式均成立． （2） 證法1：先用數學歸納法證明． ①當時，由題設知成立．②假設時，不等式成立． 由易知． 當時，． 當得． 由（I）中的結論得． 因此，即．所以時，不等式也成立． 綜合①②可得，對一切正整數，不等式均成立． 再由可得，即． 綜上所述，． 證法2：設，則，并且 ． 由此可得，在上單調遞增，因而，當時，． ①當時，由，即可知 ，并且，從而． 故當時，不等式成立． ②假設時，不等式成立，則當時，，即有． 所以當時，原不等式也成立． 綜合①②可得，對一切正整數，不等式均成立． 考點：1．數學歸納法證明不等式；2．構造函數法證明不等式． 【名師點睛】本題第（1）題是課本上關于貝努利不等式的