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1、 回扣6　立體幾何 1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系 2．三視圖 (1)三視圖的正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高． (2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣． 3．柱、錐、臺、球體的表面積和體積 側面展開圖 表面積 體積 直棱柱 長方形 S＝2S底＋S側 V＝S底·h 圓柱 長

2、方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l 棱錐 由若干三角形構成 S＝S底＋S側 V＝S底·h 圓錐 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h 棱臺 由若干個梯形構成 S＝S上底＋S下底＋S側 V＝(S＋＋S′)·h 圓臺 扇環(huán) S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2 V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h 球 S＝4πr2 V＝πr3 4．平行、垂直關系的轉化示意圖 (1) (2)兩個結論 ①?a∥b，②?b⊥α. 1．混淆“點A在直線a上”與“直線a在平面α內”的數學符號關系，應表示為A∈a，a?α. 2．在由三視圖還原

3、為空間幾何體的實際形狀時，根據三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主． 3．易混淆幾何體的表面積與側面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數. 4．不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α的限制條件． 5．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關系．對照前后圖形

4、，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數量關系． 6．幾種角的范圍 兩條異面直線所成的角：0°<α≤90°； 直線與平面所成的角：0°≤α≤90°. 1.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16 B．26 C．32 D．20＋ 答案　C 解析　由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖，其表面積為S＝×3×4＋×3×4＋×5×4＋×5×4＝32，故選C. 2．直三棱柱ABC—A1B1C1的直觀圖及三視圖如圖所示，D為AC的中點，則下列命題中是假命題的是(　　) 　　 A．AB1∥

5、平面BDC1 B．A1C⊥平面BDC1 C．直三棱柱的體積V＝4 D．直三棱柱的外接球的表面積為4π 答案　D 解析　由三視圖可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的側面B1C1CB是邊長為2的正方形， 底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2. 連接B1C交BC1于點O，連接OD. 在△CAB1中，O，D分別是B1C，AC的中點， ∴OD∥AB1， 又OD?平面BDC1，AB1?平面BDC1， ∴AB1∥平面BDC1.故A正確； 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D為AC的中點， ∴BD⊥AC，

6、 又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C， ∴BD⊥平面AA1C1C， 又A1C?平面AA1C1C， ∴BD⊥A1C. 又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1， B1C1，B1B?平面B1C1CB， ∴A1B1⊥平面B1C1CB， 又BC1?平面B1C1CB， ∴A1B1⊥BC1. ∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1C， ∴BC1⊥平面A1B1C， 又A1C?平面A1B1C， ∴BC1⊥A1C， 又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BDC1， ∴A1C⊥平面BDC1.故B正確； V＝S

7、△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，故C正確； 此直三棱柱的外接球的半徑為，其表面積為12π，D錯．故選D. 3．已知直線l，m和平面α，則下列結論正確的是(　　) A．若l∥m，m?α，則l∥α B．若l⊥α，m?α，則l⊥m C．若l⊥m，l⊥α，則m∥α D．若l∥α，m?α，則l∥m 答案　B 解析　若l∥m，m?α，則l∥α或l?α，故A錯誤；若l⊥α，m?α，則l⊥m，B正確；若l⊥m，l⊥α，則m?α或m∥α，故C錯誤；若l∥α，m?α，則l∥m或l，m異面，故選B. 4．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥

8、l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　由題意知，α∩β＝l，∴l(xiāng)?β， ∵n⊥β，∴n⊥l. 故選C. 5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 答案　D 解析　假設α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，得m∥n，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么α與β相交，設交線為l1，則l1⊥m，l1⊥n，在直線m上任取一點作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面， 所以l1

9、∥l. 6.如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H，以下四個命題：①點H是△A1BD的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③直線AH和BB1所成的角為45°；④AH的延長線經過點C1，其中假命題的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　∵AB＝AA1＝AD，BA1＝BD＝A1D， ∴三棱錐 A－BA1D為正三棱錐， ∴點H是△A1BD的垂心，故①正確； ∵平面A1BD與平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD， ∴AH⊥平面CB1D1，故②正確； ∵AA1∥BB1， ∴∠A1AH就是直線AH和BB1所成的角， 在

10、直角三角形AHA1中， ∵AA1＝1，A1H＝××＝， ∴sin∠A1AH＝≠，故③錯誤； 根據正方體的對稱性得到AH的延長線經過點C1， 故④正確，故選B. 7.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 答案　D 解析　因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝

11、90°， 所以BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD， 所以CD⊥平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ADC， 所以AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ADC，故選D. 8．長方體的頂點都在同一球面上，其同一頂點處的三條棱長分別為3,4,5，則該球面的表面積為(　　) A．25π B．50π C．75π D.π 答案　B 解析　設球的半徑為R，由題意可得(2R)2＝32＋42＋52＝50， ∴4R2＝50，球的表面積為S＝4πR2＝50π. 9.

12、如圖，三棱錐A－BCD的棱長全相等，點E為棱AD的中點，則直線CE與BD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　取AB中點G，連接EG，CG. ∵E為AD的中點，∴EG∥BD. ∴∠GEC為CE與BD所成的角．設AB＝1， 則EG＝BD＝， CE＝CG＝， ∴cos∠GEC＝ ＝＝. 10.如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，AC∩EF＝G.現在沿AE，EF，FA把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，則在四面體P－AEF中必有(　　) A．AP⊥△PEF所在平面 B．AG⊥△

13、PEF所在平面 C．EP⊥△AEF所在平面 D．PG⊥△AEF所在平面 答案　A 解析　在折疊過程中，AB⊥BE，AD⊥DF保持不變． ∴ ?AP⊥平面PEF. 11.如圖，在空間四邊形ABCD中，點M∈AB，點N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關系是________． 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD. 而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 12.如圖，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，E，F，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的有________條．

14、 答案　6 解析　如圖，連接EG，EH，FG，EF，HG， ∵EH∥FG且EH＝FG， ∴EFGH四點共面，由EG∥AB′，EH∥AD′， EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A， 可得平面EFGH與平面AB′D′平行， ∴符合條件的共有6條． 13．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點P是平面A1B1C1D1內的一個動點，則三棱錐P－ABC的正(主)視圖與俯視圖的面積之比的最大值為________． 答案　2 解析　因為在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，所以三棱錐P－ABC的正(主)視圖是底邊為1，高為

15、2的三角形，其面積為1；三棱錐P－ABC的俯視圖面積的最小值是△ABC的面積，其面積為. 所以三棱錐P－ABC的正(主)視圖與俯視圖的面積之比的最大值為2. 14．設m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個命題： ①?β∥γ；②?m⊥β； ③?α⊥β；④?m∥α. 其中，正確的命題是________．(填序號) 答案?、佗? 解析?、僦衅叫杏谕黄矫娴膬善矫嫫叫惺钦_的；②中m，β可能平行，相交或直線在平面內；③中由面面垂直的判定定理可知結論正確；④中m，α可能平行或線在面內． 15．如圖(1)，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E，F分別是邊CD，C

16、B的中點，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖(2)所示的五棱錐P－ABFED，且PB＝. (1)求證：BD⊥PA； (2)求四棱錐P－BFED的體積． (1)證明　∵點E，F分別是邊CD，CB的中點， ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對角線互相垂直， ∴BD⊥AC， ∴EF⊥AC， ∴EF⊥AO，EF⊥PO. ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O， ∴EF⊥平面POA， ∴BD⊥平面POA， 又PA?平面POA， ∴BD⊥PA. (2)解　設AO∩BD＝H. 連接BO， ∵∠DAB＝60°，

17、∴△ABD為等邊三角形， ∴BD＝4，BH＝2， HA＝2，HO＝PO＝， 在Rt△BHO中，BO＝＝， 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2， ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED， BO?平面BFED， ∴OP⊥平面BFED， 梯形BFED的面積S＝(EF＋BD)·HO＝3， ∴四棱錐P－BFED的體積 V＝S·PO＝×3×＝3. 16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝1，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD為底的等腰三角形． (1)證明：AD⊥

18、PB； (2)若三棱錐C－PBD的體積等于，問：是否存在過點C的平面CMN，分別交PB，AB于點M，N，使得平面CMN∥平面PAD？若存在，求出△CMN的面積；若不存在，請說明理由． (1)證明　取AD中點E，連接PE，BE， ∵△PAD為等腰三角形，PA＝PD，∴PE⊥AD， 在直角梯形ABCD中，由AB＝AD＝2，CD＝1，得BC＝，∠DAB＝60°， 則△ABD為正三角形，∴BE⊥AD， 又PE∩BE＝E，PE，BE?平面PBE， ∴AD⊥平面PEB， 又PB?平面PEB，∴AD⊥PB. (2)解　由(1)知，PE⊥AD， 又平面PAD⊥底面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， PE?平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD， 則VC－PBD＝VP－BDC＝·PE×DC×BC＝， ∴PE＝. 取PB中點M，AB中點N，連接CM，MN，CN， 由MN∥PA，CN∥AD可知，平面CMN∥平面PAD， 取BE中點G，連接MG，MG∥PE，MG＝PE， ∴MG⊥CN. S△CMN＝CN·MG＝×2×＝. 14