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1、1.5.2 充分條件、必要條件 【課堂例題】 例1?判斷下列p與q是否等價 ⑴ p : a 二 b ⑵ p : x > 2 1 ⑶ p : < 1 x (4) p: x>0,y >0 q: a 2 二 b 2 q:x2 > 4 q: x >1 q : x + y > 0, xy > 0 ⑸已知a, b, c g R, a豐0, q: ax2 + bx + c = 0有兩個相等的實根 例2?已知實系數(shù)一元二次ax2 + bx + c二0,a豐0 , 求證：“方程有兩個相等實數(shù)根的”的充要條件是“b2 — 4ac = 0 ” . 例3?求證：“ x > 0且y >

2、 0 ”成立的充要條件是“x + y > 0且xy > 0 ” . （選用）例4?證明1 x I +1 y 1=1 x + y1成立的充分非必要條件是xy > 0 1.5.2 充分條件、必要條件 【知識再現(xiàn)】 i. p與q等價就是指p是q的 ，或者說q當且僅當p. 2?當證明q的充要條件是p時，證明充分性是指證明 ；證明必要性是指證 明 .(填寫 p 二 q, q 二 p) 【基礎訓練】 i?有下列四組命題，其中P是Q的充要條件的有 (填寫所有正確的序號)。 ① P:集合A匸B, B匸C, C匸A，Q :集合A二B二C ② p : a n B 二 A n C，Q: B 二

3、C ； ③ P :(x - 2)(x - 3)二 0， Q 二— 二 0 ； x 一 3 ④ P:拋物線y二ax2 + bx + c過原點，Q: c = 0且a豐0. 2?已知—e R，“ I— I二—”成立的充要條件是 . 3. “方程x2 - x - m二0有兩個正根”成立的充要條件 . 4. 判斷下列命題的真假：(填寫“真”或“假”) (1) a > 0是\；a2 — a的充要條件；( ) ⑵“ AABC與ADEF對應角相等”是“ AABC與ADEF相似”的充要條件；( ) ⑶A匸B是A匸AnB的充要條件；( ) ⑷一次函數(shù)y二kx + b,k豐0的圖像不經(jīng)過第四

4、象限的充要條件是k > 0,b > 0 ；( ) 11 (5)已知ab豐0，那么a > b是 <二的充要條件.( ) ab 5?集合A = {x 1 ax2 -2x + 3 — 0}是單兀素集合的充要條件是 . 〃「a > 1 fa + b > 2 ? 6?為了說明“成立的充要條件不是”，理由可以是： lb > 1 lab > 1 7?求證：“二次方程ax2 + bx + c — 0有兩個異號實根”的充要條件是“ac < 0 ” 證： 充分性： 必要性: 【鞏固提高】 8?已知a b & R，求證：“ a > 1且b > 1 ”成立的充要條件是 “ a + b > 2

5、且 ab 一 (a + b) +1 > 0 " 9?已知x，y e R，寫出一個使得Ix- y IT x I +1 y I成立的充要條件, 并證明. I y 2 = 2 x (選做)10.已知a e R，求使關于x，y的方程組f 有解的 丄x 一 a)2 + y2 二 1 充要條件. 【溫故知新】 11.(x -1)(x - 2) = 0與(x - 2)(x - 3) = 0有且僅有一個成立的充要條件是 . 【課堂例題答案】 例 1. 不等價，不等價，不等價，等價，等價 例 2. 證： 充分性 b 2 一 4ac = 0，又 b2 一 4ac b ax2 + bx +

6、 c = 0 n a(x + )2 2a 因此a( x + b ) a)2 =0n x = x = 12 b 2a 必要性 方程有兩個相等實數(shù)根，設為x = x , 12 [ c b x + x = 2 x = 因為 J? 1 a，所以(-一 )2 = - n b2 - 4ac = 0 c 2a a x x = x 2 =— 、1 2 1 a 證畢 例 3. 證 : 充分性 xy > 0 n x > 0, y > 0 或 x < 0, y < 0 又x + y > 0 n x, y中至少有一個大于零，因此x > 0且y > 0 必要性 x >

7、0且 y >0又兩個正數(shù)的和或乘積都是正數(shù) 因此,x + y > 0且 xy > 0 例 4. 證 : 充分性 xy > 0 nl xy 1= xy n 21 xy 1= 2xy nl x b +21 xy I +1 y I2 = x2 + 2xy + y2 n (I x I +1 y l)2 = (x + y)2 nl x I +1 y l=l x + y I 非必要性 x = 1,y = 0 時，III + I0I=I1 + 0In 1 -0 > 0 證畢 【知識再現(xiàn)答案】 1. 充要條件 2. p n q， q n p 【習題答案】 1?①④ 2. x > 0 1

8、 3. 一 < m < 0 4 4. 假，真，真，假，假 1 5. a = 0 或— 3 6. a =3,b=3 答案不唯一 7. 證 充分性 ac < 0 n b 2 一 4ac > 0 , 又因為方程可變形為(x + 2- )2 = 2a b2 一 4ac 4a2 -b 土、；b2 - 4-c 2a 2- 4-c c =< 0 4-2 - 因此方程有兩個實根xi,2 -b + \：b2 - 4-c x - x =— 1 2 2 - 必要性 設方程的兩個異號實根為x , x 12 c 由韋達定理：xx = <

9、0，因此-c < 0 1 2 - 證畢 8. 證： 充分性 —+ b > 2 (— — 1) + (b — 1) > 0 又—b — (— + b) +1 > 0 (— — 1)(b — 1) > 0 — — 1 > 0, b — 1 > 0 或——1 < 0, b — 1 < 0 因此——1 > 0,b — 1 > 0，即—> 1 且b > 1. 必要性 —> 1, b > 1 — — 1 > 0, b — 1 > 0 (— — 1) + (b — 1) > 0 且(——1)(b — 1) > 0 即—+ b > 2 且—b — (— + b) +1 > 0 證畢 9

10、?充要條件是xy < 0 證： 這題我們用充要條件鏈來證明 xy < 0 ol xy I二-xy ol x b +21 x II y I +1 y b二 x2 - 2xy + y2 o (I x I +1 y l)2 二(x - y)2 ol x - y l=l x I +1 y I 證畢 10.—1<—<1 提示：原方程組有解的充要條件是：方程(x - —)2 + 2x二1存在非負根(否則y2二2x將無 解，原方程組也無解) 由于很難確定該方程到底有幾個非負根，因此我們可以先求出使方程(x - — )2 + 2 x = 1不存 在非負根的情況： ①方程的A<0 ;②方程有兩個負根 11.x — 1 或 3