《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 文（北京卷含解析）(1)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 文（北京卷含解析）(1)（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 文（北京卷） 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 1. 已知集合A={(𝑥||𝑥|<2)},B={?2,0,1,2},則 A. {0,1} B. {?1,0,1} C. {?2,0,1,2} D. {?1,0,1,2} 【答案】A 【解析】分析：將集合化成最簡形式，再

2、進行求交集運算. 詳解： 故選A. 點睛：此題考查集合的運算，屬于送分題. 2. 在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】分析：將復數化為最簡形式，求其共軛復數，找到共軛復數在復平面的對應點，判斷其所在象限. 詳解：的共軛復數為 對應點為，在第四象限，故選D. 點睛：此題考查復數的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導致馬虎丟分. 3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解

3、析】分析：初始化數值，執(zhí)行循環(huán)結構，判斷條件是否成立， 詳解：初始化數值 循環(huán)結果執(zhí)行如下： 第一次：不成立； 第二次：成立， 循環(huán)結束，輸出， 故選B. 點睛：此題考查循環(huán)結構型程序框圖，解決此類問題的關鍵在于：第一，要確定是利用當型還是直到型循環(huán)結構；第二，要準確表示累計變量；第三，要注意從哪一步開始循環(huán)，弄清進入或終止的循環(huán)條件、循環(huán)次數. 4. 設a,b,c,d是非零實數，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數列”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】分析：證明“”

4、“成等比數列”只需舉出反例即可，論證“成等比數列”“”可利用等比數列的性質. 詳解：當時，不成等比數列，所以不是充分條件； 當成等比數列時，則，所以是必要條件. 綜上所述，“”是“成等比數列”的必要不充分條件 故選B. 點睛：此題主要考查充分必要條件，實質是判斷命題“”以及“”的真假.判斷一個命題為真命題，要給出理論依據、推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例即可，或者當一個命題正面很難判斷真假時，可利用原命題與逆否命題同真同假的特點轉化問題. 5. “十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純

5、八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率f，則第八個單音頻率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解. 詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為， 所以， 又，則 故選D. 點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列. 等比數列的判斷方法主要有如下兩種： （1）定義法，若（）或（）， 數列是等比數列； （2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等

6、比數列. 6. 某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分析：根據三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數. 詳解：由三視圖可得四棱錐， 在四棱錐中，， 由勾股定理可知：， 則在四棱錐中，直角三角形有：共三個， 故選C. 點睛：此題考查三視圖相關知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關問題的求解. 7. 在平面坐標系中，是圓上的

7、四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以O𝑥為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數的三角函數線可得正確結論. 詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線. A選項：當點在上時，， ，故A選項錯誤； B選項：當點在上時，，， ，故B選項錯誤； C選項：當點在上時，，， ，故C選項正確； D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤. 綜上，故選C. 點睛：此題考查三角函數的定義，解題的關鍵是能夠利用數形結

8、合思想，作出圖形，找到所對應的三角函數線進行比較. 8. 設集合則 A. 對任意實數a， B. 對任意實數a，（2,1） C. 當且僅當a<0時,（2,1） D. 當且僅當 時,（2,1） 【答案】D 【解析】分析：求出及所對應的集合，利用集合之間的包含關系進行求解. 詳解：若，則且，即若，則， 此命題的逆否命題為：若，則有，故選D. 點睛：此題主要結合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據成立時對應的集合之間的包含關系進行判斷. 設，若，則；若，則，當一個問題從正面思考很難入手時，可以考慮其逆否命題形式. 第二部分（非

9、選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 9. 設向量a=（1,0），b=（?1,m）,若，則m=_________. 【答案】 【解析】分析：根據坐標表示出，再根據，得坐標關系，解方程即可. 詳解：， ， 由得：， ， 即. 點睛：此題考查向量的運算，在解決向量基礎題時，常常用到以下：設，則①；②. 10. 已知直線l過點（1,0）且垂直于𝑥軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_________. 【答案】 【解析】分析：根據題干描述畫出相應圖形，分析可得拋物線經過點，將點坐標代入可求參數的值，進而可求焦點

10、坐標. 詳細：由題意可得，點在拋物線上，將代入中， 解得：，， 由拋物線方程可得：， 焦點坐標為. 點睛：此題考查拋物線的相關知識，屬于易得分題，關鍵在于能夠結合拋物線的對稱性質，得到拋物線上點的坐標，再者熟練準確記憶拋物線的焦點坐標公式也是保證本題能夠得分的關鍵. 11. 能說明“若a﹥b，則”為假命題的一組a，b的值依次為_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】分析：根據原命題與命題的否定的真假關系，可將問題轉化為找到使“若，則”成立的，根據不等式的性質，去特值即可. 詳解：使“若，則”為假命題 則使“若，則”為真命題即可， 只需取即可滿足 所以

11、滿足條件的一組的值為（答案不唯一） 點睛：此題考查不等式的運算，解決本題的核心關鍵在于對原命題與命題的否定真假關系的靈活轉換，對不等式性質及其等價變形的充分理解，只要多取幾組數值，解決本題并不困難. 12. 若雙曲線的離心率為，則a=_________. 【答案】4 【解析】分析：根據離心率公式，及雙曲線中的關系可聯(lián)立方程組，進而求解參數的值. 詳解：在雙曲線中，，且 點睛：此題考查雙曲線的基本知識，離心率是高考對于雙曲線考查的一個重要考點，根據雙曲線的離心率求雙曲線的標準方程及雙曲線的漸近線都是常見的出題形式，解題的關鍵在于利用公式，找到之間的關系. 13. 若&

12、#119909;,y滿足，則2y?𝑥的最小值是_________. 【答案】3 【解析】分析：將原不等式轉化為不等式組，畫出可行域，分析目標函數的幾何意義，可知當時取得最小值. 詳解：不等式可轉化為，即 滿足條件的在平面直角坐標系中的可行域如下圖 令， 由圖象可知，當過點時，取最小值，此時， 的最小值為. 點睛：此題考查線性規(guī)劃，求線性目標函數的最值，當時，直線過可行域在軸上截距最大時，值最大，在軸上截距最小時，值最??；當時，直線過可行域在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大. 14. 若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=_________；的

13、取值范圍是_________. 【答案】 (1). (2). 【解析】分析：根據題干結合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問題轉化為求函數的取值范圍問題. 詳解：， ，即， ， 則 為鈍角，， 故. 點睛：此題考查解三角形的綜合應用，余弦定理的公式有三個，能夠根據題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個關鍵；根據三角形內角的隱含條件，結合誘導公式及正弦定理，將問題轉化為求解含的表達式的最值問題是解題的第二個關鍵. 三、解答題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 15. 設是等差數列，且. （Ⅰ）求的

14、通項公式； （Ⅱ）求. 【答案】（I） （II） 【解析】分析：（1）設公差為，根據題意可列關于的方程組，求解，代入通項公式可得；（2）由（1）可得，進而可利用等比數列求和公式進行求解. 詳解：（I）設等差數列的公差為， ∵， ∴， 又，∴. ∴. （II）由（I）知， ∵， ∴是以2為首項，2為公比的等比數列. ∴ . ∴ 點睛：等差數列的通項公式及前項和共涉及五個基本量，知道其中三個可求另外兩個，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想. 16. 已知函數. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【

15、解析】分析：（1）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根據，可求的范圍，結合函數圖像的性質，可得參數的取值范圍. 詳解： （Ⅰ）， 所以的最小正周期為. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因為，所以. 要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1. 所以，即. 所以的最小值為. 點睛：本題主要考查三角函數的有關知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數化簡，化簡時要注意特殊角三角函數值記憶的準確性，及公式中符號的正負. 17. 電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 1

16、40 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值. （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率； （Ⅱ）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率； （Ⅲ）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？（只需

17、寫出結論） 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）增加第五類電影的好評率,?減少第二類電影的好評率. 【解析】分析：（1）分別計算樣本中電影總部數及第四類電影中獲得好評的電影部數，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，計算沒有獲得好評的電影部數，代入公式可得概率；（3）根據每部電影獲得好評的部數做出合理建議.. 詳解： （Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000. 第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50， 故所求概率為. （Ⅱ）設“隨機選取1部電影,這部電影沒有獲得好評”為事件B. 沒有獲得好評的電影共有140×0

18、.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部. 由古典概型概率公式得. （Ⅲ）增加第五類電影的好評率, 減少第二類電影的好評率. 點睛：本題主要考查概率與統(tǒng)計知識，屬于易得分題，應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；第二步，分別求出基本事件的總數與所求事件中所包含的基本事件個數；第三步，利用公式求出事件的概率. 18. （本小題14分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點. （Ⅰ）求證：PE

19、⊥BC； （Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求證：EF∥平面PCD. 【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）見解析 （Ⅲ）見解析 【解析】分析：（1）欲證，只需證明即可；（2）先證平面，再證平面PAB⊥平面PCD；（3）取中點，連接，證明，則平面. 詳解： （Ⅰ）∵，且為的中點，∴. ∵底面為矩形，∴， ∴. （Ⅱ）∵底面為矩形，∴. ∵平面平面，∴平面. ∴.又, ∵平面，∴平面平面. （Ⅲ）如圖，取中點，連接. ∵分別為和的中點，∴，且. ∵四邊形為矩形，且為的中點， ∴， ∴，且，∴四邊形為平行四邊形， ∴. 又平面，平面， ∴平面.

20、點睛：證明面面關系的核心是證明線面關系，證明線面關系的核心是證明線線關系.證明線線平行的方法：（1）線面平行的性質定理；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法. 證明線線垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質定理；（4）菱形對角線互相垂直. 19. 設函數. （Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a； （Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】分析：（1）求導，構建等量關系，解方程可得參數的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數的取值范圍. 詳解： 解

21、：（Ⅰ）因為， 所以. ， 由題設知，即，解得. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得. 若a>1，則當時，； 當時，. 所以在x=1處取得極小值. 若，則當時，， 所以. 所以1不是的極小值點. 綜上可知，a的取值范圍是. 方法二：. （1）當a=0時，令得x=1. 隨x的變化情況如下表： x 1 + 0 ? ↗ 極大值 ↘ ∴在x=1處取得極大值，不合題意. （2）當a>0時，令得. ①當，即a=1時，， ∴在上單調遞增， ∴無極值，不合題意. ②當，即0

22、 0 ? 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在x=1處取得極大值，不合題意. ③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表： x + 0 ? 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意. （3）當a<0時，令得. 隨x的變化情況如下表： x ? 0 + 0 ? ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ ∴在x=1處取得極大值，不合題意. 綜上所述，a的取值范圍為. 點睛：導數類問題是高考數學中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式

23、有以下四個：①考查導數的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導數證明函數單調性或求單調區(qū)間問題；③利用導數求函數的極值最值問題；④關于不等式的恒成立問題. 解題時需要注意的有以下兩個方面：①在求切線方程問題時，注意區(qū)別在某一點和過某一點解題步驟的不同；②在研究單調性及極值最值問題時常常會涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉換的等價性. 20. 已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B. （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）若，求 的最大值； （Ⅲ）設，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢

24、圓M的另一個交點為D.若C,D和點 共線，求k. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】分析：（1）根據題干可得的方程組，求解的值，代入可得橢圓方程；（2）設直線方程為，聯(lián)立，消整理得，利用根與系數關系及弦長公式表示出，求其最值；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據韋達定理寫出兩根關系，結合三點共線，利用共線向量基本定理得出等量關系，可求斜率. 詳解： （Ⅰ）由題意得，所以， 又，所以，所以， 所以橢圓的標準方程為． （Ⅱ）設直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 設，，則，， 則， 易得當時，，故的最大值為． （Ⅲ）設，，，， 則 ①， ②， 又，所以可設，直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故，， 因為三點共線，所以， 將點的坐標代入化簡可得，即． 點睛：本題主要考查橢圓與直線的位置關系，第一問只要找到三者之間的關系即可求解；第二問主要考查學生對于韋達定理及弦長公式的運用，可將弦長公式變形為，再將根與系數關系代入求解；第三問考查橢圓與向量的綜合知識，關鍵在于能夠將三點共線轉化為向量關系，再利用共線向量基本定理建立等量關系求解.