《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷3含解析）(1)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷3含解析）(1)（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷3） 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意先解出集合A,進而得

2、到結(jié)果。 詳解：由集合A得, 所以 故答案選C. 點睛：本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題。 2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由復(fù)數(shù)的乘法運算展開即可。 故選D. 點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題。 3. 中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】分析：觀察圖形可

3、得。 詳解：觀擦圖形圖可知，俯視圖為 故答案為A. 點睛：本題主要考擦空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。 4. 若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由公式可得。 詳解： 故答案為B. 點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。 5. 若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】分析：由公式計算可得 詳解：設(shè)設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件

4、B為只用非現(xiàn)金支付， 則 因為 所以 故選B. 點睛：本題主要考查事件的基本關(guān)系和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題。 6. 函數(shù)的最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:將函數(shù)進行化簡即可 詳解：由已知得 的最小正周期 故選C. 點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題 7. 下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：確定函數(shù)過定點（1，0）關(guān)于x=1對稱點，代入選項驗證即可。 詳解：函數(shù)過定點（1，0），（1，0）關(guān)

5、于x=1對稱的點還是（1，0），只有過此點。 故選項B正確 點睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題。 8. 直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可 詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點 ,則 點P在圓上 圓心為（2，0），則圓心到直線距離 故點P到直線的距離的范圍為 則 故答案選A. 點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。 9

6、. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】分析：由特殊值排除即可 詳解：當(dāng)時，，排除A,B. ,當(dāng)時，,排除C 故正確答案選D. 點睛：本題考查函數(shù)的圖像，考查了特殊值排除法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，屬于中檔題。 10. 已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可。 詳解： 所以雙曲線的漸近線方程為 所以點（4，0）到漸近線的距離 故選D 點睛：本題考查雙曲線的

7、離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題。 11. 的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若的面積為，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由面積公式和余弦定理進行計算可得。 詳解：由題可知 所以 由余弦定理 所以 故選C. 點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。 12. 設(shè)，，，是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得。 詳解：如圖

8、所示， 點M為三角形ABC的重心，E為AC中點， 當(dāng)平面時，三棱錐體積最大 此時， , 點M為三角形ABC的重心 中，有 故選B. 點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結(jié)果，屬于較難題型。 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知向量，，．若，則________． 【答案】 【解析】分析：由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可。 詳解：由題可得 ,即 故答案為 點睛：本題

9、主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。 14．某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準(zhǔn)備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________． 【答案】分層抽樣 【解析】分析：由題可知滿足分層抽樣特點 詳解：由于從不同齡段客戶中抽取，故采用分層抽樣 故答案為：分層抽樣。 點睛：本題主要考查簡單隨機抽樣，屬于基礎(chǔ)題。 15. 若變量滿足約束條件則的最大值是________． 【答案】3 【解析】分析：作出可行域，平移直線可得 詳解：作出可行域 由圖可

10、知目標(biāo)函數(shù)在直線與的交點（2，3）處取得最大值3 故答案為3. 點睛：本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。 16. 已知函數(shù)，，則________． 【答案】 【解析】分析：發(fā)現(xiàn)可得。 詳解： ,則 故答案為：-2 點睛：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計算發(fā)現(xiàn)和關(guān)鍵，屬于中檔題。 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 等比數(shù)列中，． （1）求的通項公式； （2）記為的前項和．若，求． 【答案】（1）或

11、 （2） 【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m。 詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解． 若，則．由得，解得． 綜上，． 點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題。 18. 某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉

12、圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：，． 【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由見解析 （2） 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）有 【解析】分析：（1）計算兩種生產(chǎn)方式的平均時間即可。 （2）計算出中位數(shù)，再

13、由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表。 （3）由公式計算出，再與6.635比較可得結(jié)果。 詳解：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： （i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． （ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． （iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于

14、80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． （iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． （2）由莖葉圖知． 列聯(lián)表如下： 超過

15、 不超過 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）由于，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 點睛：本題主要考查了莖葉圖和獨立性檢驗，考察學(xué)生的計算能力和分析問題的能力，貼近生活。 19. 如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點． （1）證明：平面平面； （2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由． 【答案】（1）證明見解析 （2）存在，理由見解析 【解析】分析：（1）先證,再證，進而完成證明。 （2）判斷出P為AM中點，，證明MC∥OP，然后進行證明即可。 詳解：（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，

16、交線為CD． 因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM． 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． （2）當(dāng)P為AM的中點時，MC∥平面PBD． 證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點． 連結(jié)OP，因為P為AM 中點，所以MC∥OP． MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD． 點睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問先斷出P為AM中點，然后作輔助線，由線線平行

17、得到線面平行，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題。 20. 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點．線段的中點為． （1）證明：； （2）設(shè)為的右焦點，為上一點，且．證明：． 【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 【解析】分析：（1）設(shè)而不求，利用點差法，或假設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由判別式和韋達定理進行證明。 （2）先求出點P的坐標(biāo)，解出m，得到直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達定理進行求解。 詳解：（1）設(shè)，，則，． 兩式相減，并由得． 由題設(shè)知，，于是． 由題設(shè)得，故． （2）由題意得F（1，0）．設(shè)，則 ． 由（1）及題設(shè)得，． 又點P在C上，所以，從而，．

18、 于是． 同理． 所以． 故． 點睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第一問利用點差法，設(shè)而不求可減小計算量，第二問由已知得求出m，得到,再有兩點間距離公式表示出，考查了學(xué)生的計算能力，難度較大。 21. 已知函數(shù)． （1）求曲線在點處的切線方程； （2）證明：當(dāng)時，． 【答案】（1）切線方程是 （2）證明見解析 【解析】分析：（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程。 （2）當(dāng)時，,令，只需證明即可。 詳解：（1），． 因此曲線在點處的切線方程是． （2）當(dāng)時，． 令，則． 當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 所以 ．因此． 點睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

19、的綜合應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，第二問當(dāng)時，,令，將問題轉(zhuǎn)化為證明很關(guān)鍵，本題難度較大。 （二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分． 22. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點． （1）求的取值范圍； （2）求中點的軌跡的參數(shù)方程． 【答案】（1） （2） 為參數(shù)， 【解析】分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得。 （2）聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解 詳解：（1）的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時，與交于兩點． 當(dāng)時，記，則的方程為

20、．與交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或． 綜上，的取值范圍是． （2）的參數(shù)方程為為參數(shù)， ． 設(shè)，，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，滿足． 于是，．又點的坐標(biāo)滿足 所以點的軌跡的參數(shù)方程是 為參數(shù)， ． 點睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的參數(shù)方程，考查求點的軌跡方程，屬于中檔題。 23. [選修4—5：不等式選講] 設(shè)函數(shù)． （1）畫出的圖像； （2）當(dāng)，，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值為 【解析】分析：（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖像即可。 （2）結(jié)合（1）問可得a，b范圍，進而得到a+b的最小值 詳解：（1） 的圖像如圖所示． （2）由（1）知，的圖像與軸交點的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，在成立，因此的最小值為． 點睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題。