《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（天津卷含解析）（通用）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（天津卷含解析）（通用）（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（天津卷） 本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷 注意事項(xiàng)： 1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 2．本卷共8小題，每小題5分，共40分。 參考公式： ·如果事件 A

2、，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的體積公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高． ·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面積，h表示棱錐的高. 一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 設(shè)集合，，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由并集的定義可得：， 結(jié)合交集的定義可知：. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查并集運(yùn)算、交集運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的計(jì)

3、算求解能力. 2. 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 【答案】C 【解析】分析：由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的解析式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值， 聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：， 據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：. 本題選擇C選項(xiàng). 3. 設(shè)，則“”是“” 的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】分析

4、：求解三次不等式和絕對(duì)值不等式，據(jù)此即可確定兩條件的充分性和必要性是否成立即可. 詳解：求解不等式可得， 求解絕對(duì)值不等式可得或， 據(jù)此可知：“”是“” 的充分而不必要條件. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 4. 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為20，則輸出的值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由題意結(jié)合流程圖運(yùn)行程序即可求得輸出的數(shù)值. 詳解：結(jié)合流程圖運(yùn)行程序如下： 首先初始化數(shù)據(jù)：， ，結(jié)果為整數(shù)

5、，執(zhí)行，，此時(shí)不滿足； ，結(jié)果不為整數(shù)，執(zhí)行，此時(shí)不滿足； ，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，，此時(shí)滿足； 跳出循環(huán)，輸出. 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路： (1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)． (2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題． (3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證． 5. 已知，則的大小關(guān)系為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系. 詳解：由題意可知：，即， ，即， ，即， 綜上可

6、得：. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確． 6. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) A. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 C. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 【答案】A 【解析】分析：首先確定平移之后的對(duì)應(yīng)函

7、數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項(xiàng)是否符合題意即可. 詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知： 將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后的解析式為： . 則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：， 即， 令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤； 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：， 即， 令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤； 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 7. 已知雙曲線 的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且 則雙曲線的方程為 A

8、. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得b的值，之后求解a的值即可確定雙曲線方程. 詳解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c>0），則， 由可得：， 不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為， 據(jù)此可得：，， 則，則， 雙曲線的離心率：， 據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利

9、用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 8. 在如圖的平面圖形中，已知,則的值為 A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】分析：連結(jié)MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：如圖所示，連結(jié)MN， 由 可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)， 則， 由題意可知： ，， 結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得： . 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 第Ⅱ卷 注意事項(xiàng)

10、： 1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2．本卷共12小題，共110分。 二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________. 【答案】4–i 【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得：. 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 10. 已知函數(shù)f(x)=exlnx，為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則的值為_(kāi)_________． 【答案】e 【解析】分析：首先求導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳

11、解：由函數(shù)的解析式可得：， 則：.即的值為e. 點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 11. 如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱柱A1–BB1D1D的體積為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】分析：由題意分別求得底面積和高，然后求解其體積即可. 詳解：如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)，很明顯平面， 則是四棱錐的高，且， ， 結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為：. 點(diǎn)睛：本題主要考查棱錐體積的計(jì)算，空間想象能力等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 12. 在平面直角坐標(biāo)系中

12、，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可. 詳解：設(shè)圓的方程為， 圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0），則： ，解得：， 則圓的方程為. 點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法： (1)幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線． (2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般

13、式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式． 13. 已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】分析：由題意首先求得a-3b的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果，注意等號(hào)成立的條件. 詳解：由可知， 且：，因?yàn)閷?duì)于任意x，恒成立， 結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 綜上可得的最小值為. 點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 14.

14、已知a∈R，函數(shù)若對(duì)任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 【答案】［，2］ 【解析】分析：由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：分類討論：①當(dāng)時(shí)，即：， 整理可得：， 由恒成立的條件可知：， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知： 當(dāng)時(shí)，，則； ②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：， 由恒成立的條件可知：， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知： 當(dāng)或時(shí)，，則； 綜合①②可得的取值范圍是. 點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二

15、次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析． 三．解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 15. 已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取７名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)． （Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ （Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； （ii）設(shè)M為

16、事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率． 【答案】(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人；(Ⅱ)（i）答案見(jiàn)解析；（ii）． 【解析】分析：（Ⅰ）結(jié)合人數(shù)的比值可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）由題意列出所有可能的結(jié)果即可，共有21種． （ii）由題意結(jié)合（i）中的結(jié)果和古典概型計(jì)算公式可得事件M發(fā)生的概率為P（M）=． 詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人

17、． （Ⅱ）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種． （ii）由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以，事件M

18、發(fā)生的概率為P（M）=． 點(diǎn)睛：本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力． 16. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c．已知bsinA=acos(B–)． （Ⅰ）求角B的大??； （Ⅱ）設(shè)a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值． 【答案】(Ⅰ)B=；(Ⅱ)b=， 【解析】分析：（Ⅰ）由正弦定理有，結(jié)合，可得．則B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．則．．結(jié)合兩角差的正弦公式可得 詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?/p>

19、，可得B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=． 由，可得．因?yàn)閍

20、ABD所成角的正弦值． 【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)． 【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面ABC，則AD⊥BC． （Ⅱ）取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND．由幾何關(guān)系可知∠DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與MD所成的角．計(jì)算可得．則異面直線BC與MD所成角的余弦值為． （Ⅲ）連接CM．由題意可知CM⊥平面ABD．則∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．計(jì)算可得．即直線CD與平面ABD所成角的正弦值為． 詳解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC． （Ⅱ）取棱AC的中點(diǎn)N，連接

21、MN，ND．又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn)，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因?yàn)锳D⊥平面ABC，故AD⊥AC． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=． 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得． 所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為． （Ⅲ）連接CM．因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，故CM⊥AB，CM=．又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角． 在Rt△CAD中，CD==4． 在Rt△CMD中，． 所以，直線CD與平面A

22、BD所成角的正弦值為． 點(diǎn)睛：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)．考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力． 18. 設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4. 【解析】分析：（I）由題意得到關(guān)于q的方程，解方程可得，則.結(jié)合題意可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差為，則其前n項(xiàng)和. （

23、II）由（I），知 據(jù)此可得 解得（舍），或.則n的值為4. 詳解：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由b1=1，b3=b2+2，可得． 因?yàn)?，可得，故．所以，? 設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，可得．由，可得從而，故，所以，． （II）由（I），有 由可得， 整理得解得（舍），或．所以n的值為4． 點(diǎn)睛：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力. 19. 設(shè)橢圓 的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限.若的面積是面積的2

24、倍，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】分析：（I）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得.則橢圓的方程為. （II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，由題意可得. 易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，或.經(jīng)檢驗(yàn)的值為. 詳解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由,從而． 所以，橢圓的方程為． （II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為．由的面積是面積的2倍，可得， 從而，即． 當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意． 所以，的值為． 點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意： (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條

25、件，明確確定直線、橢圓的條件； (2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題． 20. 設(shè)函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列. （I）若 求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （II）若，求的極值； （III）若曲線 與直線 有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)極大值為6；極小值為?6；(Ⅲ) 【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得f(x)=x3?x，=3x2?1，結(jié)合f(0)=0，=?1，可得切線方程為x+y=0. （Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3?3t2x2+(3t22?9)x? t23

26、+9t2.則= 3x2?6t2x+3t22?9.令=0，解得x= t2?，或x= t2+.據(jù)此可得函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=6；函數(shù)極小值為f(t2+)=?6. （III）原問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于x的方程(x?t2+d) (x?t2) (x?t2?d)+ (x?t2)+ 6=0有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，令u= x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0.設(shè)函數(shù)g(x)= x3+(1?d2)x+6，則y=g(x)有三個(gè)零點(diǎn).利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的性質(zhì)可得的取值范圍是 詳解：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，故=3x2?1，因此f(0)=0，=?1，又因?yàn)榍€y=f

27、(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y?f(0)=(x?0)，故所求切線方程為x+y=0． （Ⅱ）由已知可得 f(x)=(x?t2+3)(x?t2)(x?t2?3)=(x?t2)3?9(x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?t23+9t2． 故=3x2?6t2x+3t22?9．令=0，解得x=t2?，或x=t2+． 當(dāng)x變化時(shí)，，f(x)的變化如下表： x (?∞，t2?) t2? (t2?，t2+) t2+ (t2+，+∞) + 0 ? 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=(

28、?)3?9×(?)=6；函數(shù)f(x)的極小值為f(t2+)=()3?9×()=?6． （Ⅲ）曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程(x?t2+d)(x?t2)(x?t2?d)+(x?t2)+ 6=0有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，令u=x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0． 設(shè)函數(shù)g(x)=x3+(1?d2)x+6，則曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=g(x)有三個(gè)零點(diǎn)． =3x3+(1?d2)． 當(dāng)d2≤1時(shí)，≥0，這時(shí)在R上單調(diào)遞增，不合題意． 當(dāng)d2>1時(shí)，=0，解得x1=，x2=． 易得，g(x)

29、在(?∞，x1)上單調(diào)遞增，在[x1，x2]上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增． g(x)的極大值g(x1)=g()=>0． g(x)的極小值g(x2)=g()=?． 若g(x2)≥0，由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)y=g(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意． 若即，也就是，此時(shí)，且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意． 所以，的取值范圍是． 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．