2、等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1)寫出直線的方程；
（2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；
（3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
講解: 通過(guò)讀圖, 看出點(diǎn)的坐標(biāo).
(1 ) 顯然, 于是 直線
的方程為；
（2）由方程組
解出 、；
（3）,
.
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式
3、, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．
講解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程,
由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為
代入橢圓方程 得
化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程
于是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．
方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你
4、能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
講解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得 .
設(shè)的中點(diǎn)是，則
即
故所求k=±.
為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.
例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2
5、的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．
講解：（1）設(shè), 對(duì) 由余弦定理, 得
，
解出
（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①
橢圓方程為
由 得 .
于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 ………………②
將①代入②，消去得 ,
整理為的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且
，
也可這樣求解：
，
AB邊上的高
ii) 當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程得
由①②知S
6、的最大值為 由題意得=12 所以
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：
下面給出本題的另一解法,請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：
設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為：…………①
（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）
橢圓的方程為：
由得：于是橢圓方程可化為：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高,
從而
當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即
由題意知, 于是 .
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：
例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.
（１）求此橢圓的
7、離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.
講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得
,
根據(jù)韋達(dá)定理，得
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）.
由已知得
故橢圓的離心率為 .
（2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
解得
由已知得
故所求的橢圓方程為 .
例6 已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，
（1）如果，求直線MQ的方程；
（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
講解:（1）由，可得由射影定理，得 在R
8、t△MOQ中，
，
故，
所以直線AB方程是
（2）連接MB，MQ，設(shè)由
點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得
適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）過(guò)D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間
9、，設(shè)，
試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．
講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 .
∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y
C
=
A O B
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓 .
∵
10、
∴曲線E的方程是 .
（2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得
設(shè)M1（, 則
①
②
③
i) L與y軸重合時(shí)，
ii) L與y軸不重合時(shí)，
由①得
又∵,
∵ 或
∴0＜＜1 ,
11、
∴ .
∵
而 ∴
∴
∴ , ,
∴的取值范圍是 .
值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應(yīng)當(dāng)引起警惕.
例8 直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A兩點(diǎn).
（1）求證：;
（2）求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
講解: （1）易求得拋物線的焦點(diǎn).
若l⊥x軸，則l的方程為.
若l不垂直于x軸，可設(shè),代
12、入拋物線方程整理得 .
綜上可知 .
（2）設(shè)，則CD的垂直平分線的方程為
假設(shè)過(guò)F，則整理得
，.
這時(shí)的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識(shí)在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，復(fù)課切忌忘掉課本！
例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過(guò)公路上的兩個(gè)道口A和B，沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土石最省工？
講
13、解: 以直線l為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)對(duì)立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點(diǎn)，設(shè)這樣的點(diǎn)為M，則
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,
∴M在雙曲線的右支上.
故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運(yùn)往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運(yùn)往P處，按這種方法運(yùn)土石最省工.
相關(guān)解析幾何的實(shí)際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及，其實(shí)在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？
解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新, 體現(xiàn)在重視能力立意, 強(qiáng)調(diào)思維空間, 是用活題考死知識(shí)的典范. 考題求解時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化, 數(shù)形結(jié)合, 分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學(xué)通法.
2020高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 解析幾何怎么解
