《2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題三 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題三 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 北師大版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、階段性測(cè)試題三(導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2020·九江調(diào)研)甲、乙兩個(gè)物體沿直線運(yùn)動(dòng)的方程分別是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，則在t＝2秒時(shí)兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度關(guān)系是(　　) A．甲大　　　　　　　　　 B．乙大 C．相等　　 D．無法比較 [答案]　B [解析]　v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1， 所以在t＝2秒

2、時(shí)兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度分別是5和11，故乙的瞬時(shí)速度大． 2．(2020·山東文)曲線y＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 [答案]　C [解析]　本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，求導(dǎo)公式等知識(shí)．導(dǎo)數(shù)最基本運(yùn)算及應(yīng)用是每年必考內(nèi)容． 由y＝x3＋11知y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以過點(diǎn)P(1,12)的切線方程為y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0易知選C. 3．(2020·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為3，則f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)

3、＝(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 [答案]　A [解析]　先求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，再代入驗(yàn)證．當(dāng)f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)時(shí)，f′(x)＝3(x－1)2＋3且f′(1)＝3(1－1)2＋3＝3. 4．(2020·許昌調(diào)研)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像，則下列判斷正確的是(　　) A．在區(qū)間(－3,1)上y＝f(x)是增函數(shù) B．在(1,3)上y＝f(x)是減函數(shù) C．在(4,5)上y＝f(x)是增函數(shù) D．在x＝2時(shí)y＝f(x)取到極小值 [答案]　C [解

4、析]　由導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)的關(guān)系可知函數(shù)y＝f(x)在(－3，－)上是減函數(shù)，在(－，1)上是增函數(shù)，知A錯(cuò)；由函數(shù)y＝f(x)在(1,2)上是增函數(shù)，在(2,3)上是減函數(shù)，知B錯(cuò)；由函數(shù)y＝f(x)在(4,5)上是增函數(shù)知C正確；由函數(shù)y＝f(x)在x＝2時(shí)取極大值，知D錯(cuò)． 5．(2020·汕頭一模)如果函數(shù)f(x)＝x4－x2，那么f′(i)＝(　　) A．－2i B．2i C．6i D．－6i [答案]　D [解析]　因?yàn)閒′(x)＝4x3－2x， 所以f′(i)＝4i3－2i＝－6i. 6．(2020·黃山調(diào)研)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切

5、線方程為3x－y＋1＝0，則(　　) A．f′(x0)<0 B．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 [答案]　B [解析]　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)等于曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，故f′(x0)＝3.故選B. 7．(2020·?？谫|(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝excosx的圖像在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的傾斜角為(　　) A．0 B. C．1 D. [答案]　B [解析]　f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，則函數(shù)f

6、(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的斜率k＝f′(x)|x＝0＝ex(cosx－sinx)|x＝0＝e0＝1， 故切線的傾斜角為，故選B. 8．(文)(2020·九江模擬)已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上遞增，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)≤3 [答案]　D [解析]　由f(x)＝x3－ax，得f′(x)＝3x2－a， 由3x2－a≥0對(duì)一切x∈(－∞，－1]恒成立， 3x2≥a，∴a≤3. 若a<3，則f′(x)>0對(duì)于一切x∈(－∞，－1]恒成立． 若a＝3，x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0恒成立， x＝－1

7、時(shí)，f′(－1)＝0，∴a≤3. (理)(2020·新課標(biāo)理)由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(　　) A. B．4 C. D．6 [答案]　C [解析]　本題考查了定積分的應(yīng)用． 依題意，如圖所示，由得其交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)． 因此y＝與y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為 [－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx ＝(x－x2＋2x)|＝×8－×16＋2×4＝. 故選C. 9．(2020·東北師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則f(－1)與f(1)的大小關(guān)系為(　　) A．f(－1)＝f(1)

8、 B．f(－1)>f(1) C．f(－1)f(1)． 10．(文)(2020·新鄉(xiāng)一模)若a>2，則方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　) A．0個(gè)根 B．1個(gè)根 C．2個(gè)根 D．3個(gè)根 [答案]　B [解析]　設(shè)f(x)＝x3－ax2＋1，則f′(x)＝x2－

9、2ax， 而a>2，所以f′(x)≤0?0≤x≤2a.又(0,2)(0,2a)， 故f(x)在區(qū)間(0,2)上遞減， f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝－4a<0. 故f(x)的圖像在(0,2)上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)． (理)(2020·遼寧理)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) [答案]　B [解析]　 本小題考查內(nèi)容為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合思想． 解法一：令g(x)＝2x＋4，∴g′(x)

10、＝2，∴f′(x)>g′(x)， 如圖，f(x)>2x＋4， 解為x>－1. 解法二：設(shè)m(x)＝f(x)－(2x＋4)，則m′(x)＝f′(x)－2>0， ∴m(x)在R上是增函數(shù)． ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0.∴m(x)>0的解集為{x|x>－1}， 即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)． [點(diǎn)評(píng)]　本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)函數(shù)之間的關(guān)系，以及解不等式的相關(guān)知識(shí)，難度較大． 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．(文)(2020·萍鄉(xiāng)一模)已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在

11、區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M－m＝________. [答案]　32 [解析]　∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)， 由f(－3)＝17，f(3)＝－1， f(－2)＝24，f(2)＝－8， 可知M－m＝24－(－8)＝32. (理)(2020·萍鄉(xiāng)一模)已知t>0，若(2x－1)dx＝6，則t＝________. [答案]　3 [解析]　(2x－1)dx＝(x2－x)|＝t2－t＝6， ∴t＝3或t＝－2(舍去)． 12．(2020·合肥一模)已知曲線C：y＝lnx－4x與直線x＝1交于一點(diǎn)P，那么曲線C在點(diǎn)P處的切線方程是____

12、____． [答案]　3x＋y－1＝0 [解析]　由已知得y′＝－4，所以當(dāng)x＝1時(shí)有y′＝－3，即過點(diǎn)P的切線的斜率k＝－3，又y＝ln1－4＝－4，故切點(diǎn)P(1，－4)，所以點(diǎn)P處的切線方程為y＋4＝－3(x－1)，即3x＋y＋1＝0. 13．已知函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________． [答案]　 [解析]　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)， 由f′(x)<0，得－a

13、2a3＋a＝a(2a2＋1)>0， ① 極小值為f(a)＝a(1－2a2)<0， ② 由①②得a∈. 14．(2020·商丘調(diào)研)若點(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為________． [答案]　 [解析]　過點(diǎn)P作y＝x－2的平行直線，且與曲線y＝x2－lnx相切， 設(shè)P(x0，x－lnx0)，則k＝y(tǒng)′|＝2x0－， ∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)， ∴P(1,1)，∴d＝＝. 15．(2020·廣州一模)設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的

14、切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________． [答案]?。? [解析]　本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1， ∴切線l：y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，xn＝，∴an＝lg， ∴原式＝lg＋lg＋…＋lg ＝lg(××…×)＝lg＝－2. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分12分)(2020·鎮(zhèn)江一模)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1.試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求其單調(diào)區(qū)間． [解析]　因?yàn)閒(x)＝

15、x3－3x＋1， 所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 由f′(x)<0，解得x∈(－1,1)； 由f′(x)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)． 所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減， 在(－∞，－1]，[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是[－1,1]， 單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1]與[1，＋∞)． 17．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3bx的圖像與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11)． (1)求a、b的值； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b，

16、 f(1)＝1－3a＋3b＝－11， ① f′(1)＝3－6a＋3b＝k＝－12. ② 解由①、②組成的關(guān)于a，b的方程組，得a＝1，b＝－3. (2)f(x)＝x3－3x2－9x， f′(x)＝3x2－6x－9. 由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. ∴f(x)在(－∞，－1]，[3，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,3)上是減函數(shù)． 18．(本小題滿分12分)(2020·安徽理)設(shè)f(x)＝，其中a為正實(shí)數(shù)． (1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)； (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的

17、取值范圍． [解析]　對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex. ① (1)當(dāng)a＝時(shí)，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝. 結(jié)合①，可知 x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以，x1＝是極小值點(diǎn)，x2＝是極大值點(diǎn)． (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a>0，知0

18、西理) 如圖，從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y＝ex于點(diǎn)Q1(0,1)，曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…，Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k＝1,2，…，n)． (1)試求xk與xk－1的關(guān)系(2≤k≤n)； (2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|. [解析]　(1)設(shè)Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)點(diǎn)處切線方程為y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)． 由y＝0得xk＝xk－1－1　(2≤k≤n

19、)． (2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)， 所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是 Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn| ＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1) ＝＝. 20．(本小題滿分13分)(2020·江蘇卷)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商

20、要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． [解析]　設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)，由已知得 a＝x，h＝＝(30－x)，00；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′<0. 所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是

21、最大值． 此時(shí)＝.即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為. 21．(本小題滿分14分)(文)(2020·北京朝陽一模)已知函數(shù)f(x)＝mx3＋3x2－3x，m∈R. (1)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，試求m的值，并求f(x)在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程； (2)設(shè)m<0，若函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍． [解析]　(1)f′(x)＝3mx2＋6x－3. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝－1處取得極值， 所以f′(－1)＝0，即3m－9＝0，解得m＝3. 于是函數(shù)f(x)＝3x3＋3x2－3x， f(1)＝3，f′(x)＝9x2＋6x－3. 函數(shù)

22、f(x)在點(diǎn)M (1,3)處的切線的斜率k＝f′(1)＝12， 則f(x)在點(diǎn)M處的切線方程為12x－y－9＝0. (2)當(dāng)m<0時(shí)，f′(x)＝3mx2＋6x－3是開口向下的拋物線，要使f′(x)在(2，＋∞)上存在子區(qū)間使f′(x)>0， 應(yīng)滿足或 解得－≤m<0，或－

23、結(jié)論； (3)若x1，x2∈[－1,1]，求證：|f(x1)－f(x2)|≤. [解析]　(1)∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(－x)＝－f(x)， ∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d， 即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0， ∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c， ∵當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極小值－， ∴3a＋c＝0且a＋c＝－. 解得a＝，c＝－1. (2)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，圖像上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立． 假設(shè)圖像上存在兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，

24、則由f′(x)＝x2－1知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1＝x－1，k2＝x－1， 且(x－1)·(x－1)＝－1.(*) ∵x1，x2∈[－1,1]， ∴x－1≤0，x－1≤0. ∴(x－1)(x－1)≥0. 此與(*)相矛盾，故假設(shè)不成立． (3)證明：f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝±1， 當(dāng)x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， 當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)<0， ∴f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)， 且f(x)max＝f(－1)＝，f(x)min＝f(1)＝－. ∴在[－1,1]上，|f(x)|≤， 于是x1，x2∈[－1,1]時(shí)， |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|＋|f(x2)| ≤＋＝.