《2020高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 一題多解專題四 利用正（余）弦定理判斷三角形形狀》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 一題多解專題四 利用正（余）弦定理判斷三角形形狀（2頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 一題多解專題四：利用正（余）弦定理判斷三角形形狀 判定三角形形狀通常有兩種途徑： 一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：，等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系.如：sin A＝sin B?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin 2A＝sin 2B?A＝B或A+B＝等； 二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. 例：在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，試判斷△A

2、BC的形狀. 思路一：根據(jù)條件，判斷三角形三邊的關(guān)系，此時(shí)需要化角為邊；思路二：可以把角和 邊巧妙地結(jié)合起來，同時(shí)考慮邊之間的關(guān)系，角之間的關(guān)系. 方法一：由正弦定理得，∵2cos Asin B=sin C， ，由余弦定理的推論得 ∴， 化簡得，∴a=b； 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴， 化簡得，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC是等邊三角形. 方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C，

3、 ∴2cos Asin B=sin(A+B)， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， ∴sin Acos B-cos Asin B=0，∴sin(A-B)=0， ∵A,B∈(0,π)，∴A-B∈(-π,π)， ∴A=B， 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab， ∴，即， 由余弦定理的推論得 又C∈(0,π)，，又A=B，∴△ABC是等邊三角形. 規(guī)律總結(jié)：應(yīng)用正弦定理進(jìn)行判斷或證明的方法

4、： ①判斷三角形的形狀實(shí)質(zhì)是判斷三角形的三邊或三角具有怎樣的關(guān)系； ②利用正弦定理化邊為角或化角為邊，以實(shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具有的 關(guān)系； ③判斷三角形的形狀的常見結(jié)果有等腰三角形、等邊三角形、直角三角形或等腰直角三 角形. 針對(duì)性練習(xí)： 1.在△ABC中，若a2tan B=b2tan A，試判斷△ABC的形狀. 【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin2A·=sin2B·， 即sin Acos A=sin Bcos B，∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2

5、B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B或2A=π-2B.即A=B或A+B=. 所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形. 法二：在得到sin 2A=sin 2B后，也可以化為sin 2A-sin 2B=0， ∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0. ∵0

6、試判斷△ABC的形狀. 【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+sin C. ∵B＝60°，∴A+C＝120°,即A＝120°－C， 代入上式，得2sin 60°=sin(120°-C)+sin C展開，整理得： ∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°， ∴C＝60°，故A＝60°，∴△ABC為正三角形. 方法二：由余弦定理，得， ∵B=60°, ，， 整理，得，∴a=c. 從而a＝b＝c，∴△ABC為正三角形.