4、＋(2020－1)·1＝－1，∴S2020＝－2020.
答案：C
7．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則( )
A．a(chǎn)b≤ B．a(chǎn)b≥
C．a(chǎn)2＋b2≤3 D．a(chǎn)2＋b2≥2
解析：∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.
答案：D
8．已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：∵等比數(shù)列{an}中，a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝
a2
5、＝1＋q＋.當(dāng)公比q>0時，S3＝1＋q＋≥1＋2 ＝3，當(dāng)公比q<0時，S3＝1－≤1－2 ＝－1，
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案：D
9．(2020·廣東廣州模擬)p＝＋，q＝· (m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小關(guān)系為( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不確定
解析：q＝ ≥＝＋＝p，故選B.
答案：B
10．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝的最大值為( )
A. B. C. D.
解析：由Sn＝得f(n)＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝8時取等號，即f(n)max＝f(
6、8)＝.
答案：D
11．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y的最大值為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：如圖，由圖可知目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y過點(diǎn)A(1,0)時z取得最大值，zmax＝5.
答案：B
12．{an}為等差數(shù)列，若<－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n＝( )
A．11 B．17
C．19 D．21
解析：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則公差小于零．又<－1，則有a11<0，a10>0，a10＋a11<0，即S19>0，S20<0，則當(dāng)Sn取得最小正值時，n＝19.
7、答案：C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上．
13．在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列，且公差為100d.類比上述結(jié)論，在公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之積，則有____________________________．
答案：，，也成等比數(shù)列，且公比為q100
14．(2020·陜西省高三診斷)觀察下列等式：
12＋22＝，
12＋22＋32＝，
12＋22＋32＋42＝，…，根據(jù)上述規(guī)律可得12＋22
8、＋32＋…＋n2＝________.
解析：通過觀察前三個等式可得12＋22＋32＋…＋n2＝.
答案：
15．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0，
(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，通過類比，則有等式_______ _________．
(2)通過歸納，試寫出等差數(shù)列{an}的前n＋1項(xiàng)a1，a2，……，an，an＋1之間的關(guān)系為____________________．
解析：因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運(yùn)算，后者是乘法運(yùn)算，所以類比規(guī)律是由第一級運(yùn)算轉(zhuǎn)化到高一級運(yùn)算，從
9、而解出第(1)問；通過觀察發(fā)現(xiàn)，已知等式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同，解出第(2)問．
答案：(1)a1aa3＝1，a1aaa＝1，a1aaaa5＝1
(2)Ca1－Ca2＋Ca3－……＋(－1)nCan＋1＝0
16．若不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，則a的取值范圍為________．
解析：由題得a≤4x－2x＋1在[1,2]上恒成立，即a≤(4x－2x＋1)min＝[(2x－1)2－1]min＝0.
答案：(－∞，0]
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)滿足ax·f(x)
10、＝b＋f(x)(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)對定義域中任意x都成立．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
解：(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，得f(x)(ax－1)＝b，若ax－1＝0，則b＝0，不合題意，故ax－1≠0，
∴f(x)＝.
由f(1)＝2＝，得2a－2＝b， ①
由f(x＋2)＝－f(2－x)對定義域中任意x都成立，得＝－，由此解得a＝，
11、 ②
把②代入①，可得b＝－1，
∴f(x)＝＝(x≠2)．
(2)證明：∵f(an)＝，Sn＝2，
∴Sn＝(an＋1)2，a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1；
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(an－1＋1)2，
∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵an>0，
∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
18．(本小題滿分12分)
(2020·山東青島十九中模擬)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝1，b2S2＝64，{b
12、an}是公比為64的等比數(shù)列．
(1)求an與bn；
(2)證明：＋＋＋…＋<.
解：(1)設(shè){an}的公差為d，d為正數(shù)，{bn}的公比為q，則
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依題意有，
由(6＋d)q＝64知q為正有理數(shù)，
又由q＝知，d為6的因數(shù)1,2,3,6之一，解之得d＝2，q＝8.故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)證明：由(1)知Sn＝n(n＋2)，
＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝
＝<.
19．(本小題滿分12分)
(2020·山東青島模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2·3n＋k(k∈R，n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an
13、}的通項(xiàng)公式和k的值；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an＝4(5＋k)anbn，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試比較3－16Tn與4(n＋1)bn＋1的大小，并證明你的結(jié)論．
解：(1)由Sn＝2·3n＋k(k∈R，n∈N*)，得當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4·3n－1.
∵{an}是等比數(shù)列，∴a1＝S1＝6＋k＝4，∴k＝－2，
故an＝4·3n－1(n∈N*)．
(2)由an＝4(5＋k)anbn，an＝4·3n－1和k＝－2，得bn＝，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋
14、 ①
3Tn＝＋＋＋…＋＋ ②
由②－①得，2Tn＝＋＋＋…＋＋－，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋－＝－.
4(n＋1)bn＋1－(3－16Tn)＝－＝，
∵n(n＋1)－3(2n＋1)＝n2－5n－3，
∴當(dāng)n>或n<<0時，有n(n＋1)>3(2n＋1)，
∴當(dāng)n>5(n∈N*)時，有3－16Tn<4(n＋1)bn＋1.
同理可得，當(dāng)4(n＋1)bn＋1.
綜上，當(dāng)n>5(n∈N*)時，有3－16Tn<4(n＋1)bn＋1；
當(dāng)
15、1≤n≤5(n∈N*)時，有3－16Tn>4(n＋1)bn＋1.
20．(本小題滿分12分)
某商店投入81萬元經(jīng)銷某種北京奧運(yùn)會特許紀(jì)念品，經(jīng)銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中．市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤an＝(單位：萬元，n∈N*)．記第n天的利潤率bn＝，例如b3＝.
(1)求b1，b2的值；
(2)求第n天的利潤率bn；
(3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率．
解：(1)當(dāng)n＝1時，b1＝；當(dāng)n＝2時，b2＝.
(2)當(dāng)1≤n≤20時，a1＝a2＝a3＝…＝an－1＝an＝1.
16、
∴bn＝＝＝.
當(dāng)21≤n≤60時，
bn＝
＝＝
＝，
∴第n天的利潤率
bn＝
(3)當(dāng)1≤n≤20時，bn＝是遞減數(shù)列，此時bn的最大值為b1＝；
當(dāng)21≤n≤60時，bn＝＝≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝40時，“＝”成立)．
又∵>，∴當(dāng)n＝40時，(bn)max＝.
∴該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤率最大，且該天的利潤率為.
21．(本小題滿分12分)
(2020·廣東潮州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意的n∈N*，都有an>0，Sn＝.
(1)求a1，a2的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(3)證明：a≥a＋a.
17、
解：(1)當(dāng)n＝1時，有a1＝S1＝，
由于an>0，所以a1＝1.
當(dāng)n＝2時，有S2＝，即a1＋a2＝，
將a1＝1代入上式，由于an>0，所以a2＝2.
(2)由Sn＝，
得a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2， ①
則有a＋a＋…＋a＋a＝(a1＋a2＋…＋an＋an＋1)2. ②
②－①得
a＝(a1＋a2＋…＋an＋an＋1)2－(a1＋a2＋…＋an)2.
由于an>0，所以a＝2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1. ③
同樣有a＝2(a1＋a2＋…＋an－1)＋an(n≥2)，
18、 ④
③－④，得a－a＝an＋1＋an.
所以an＋1－an＝1.
由于a2－a1＝1，即當(dāng)n≥1時都有an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．故an＝n.
(3)證明：要證a≥a＋a，
只需證(2n＋1)n≥(2n)n＋(2n－1)n，
只需證n≥1＋n.
由于n－n
＝－
＝2
＝1＋2≥1，
因此原不等式成立．
22．(本小題滿分14分)
已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，令bn＝，則數(shù)列{bn}(n∈N*)也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．
解：由題意，得等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：
若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，令bn＝，則數(shù)列{bn}(n∈N*)也是等差數(shù)列．
證明這個結(jié)論：
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故所得命題成立．
2020高考數(shù)學(xué) 專題五綜合測試題 文
