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1、高考專題訓(xùn)練二十二　函數(shù)與方程思想 班級(jí)_______　姓名_______　時(shí)間：45分鐘　分值：75分　總得分_______ 一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上． 1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<－1　　　　　　 B．a(chǎn)>1 C．－1

2、b的值為(　　) A．a(chǎn)＝4，b＝3 B．a(chǎn)＝－4，b＝3 C．a(chǎn)＝±4，b＝3 D．a(chǎn)＝4，b＝±3 解析：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閇－1,4]，所以對(duì)任意的y∈[－1,4]，必有x∈R，使y＝成立，所以關(guān)于x的方程y(x2＋1)＝ax＋b有實(shí)數(shù)根，即方程yx2－ax＋(y－b)＝0，若y＝0，則x＝－∈R.若y≠0，則Δ＝a2－4(y－b)y≥0，即4y2－4by－a2≤0，而－1≤y≤4. 所以方程4y2－4by－a2＝0的兩根為－1,4.由根與系數(shù)的關(guān)系，得b＝3，a2＝16，故a＝±4，b＝3. 答案：C 點(diǎn)評(píng)：求解本題關(guān)鍵是構(gòu)造出關(guān)于x的一元二次方程后，借助判別式解決問(wèn)

3、題，它是方程思想的一個(gè)體現(xiàn)，用判別式解題，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)囊辉畏匠?，讓研究的量處于方程系?shù)的位置上． 3．關(guān)于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<－8 C．a(chǎn)>0或a<－8 D．a(chǎn)≥0或a≤－8 解析：令t＝3x，問(wèn)題等價(jià)于方程t2＋(4＋a)t＋4＝0在(0，＋∞)上有兩個(gè)實(shí)根．令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4，則有解得a<－8，故選B. 答案：B 點(diǎn)評(píng)：解答本題要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解決，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性． 4．設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝x－2的圖象交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在

4、的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：根據(jù)函數(shù)與方程關(guān)系，兩函數(shù)的交點(diǎn)即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)＝x3－x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間．由于f(1)＝1－2<0，f(2)＝8－1>0，所以x0∈(1,2)． 答案：B 點(diǎn)評(píng)：由于函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，如比較方程根的大小，確定方程根的分布，證明根的存在，借助函數(shù)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象加以解決． 5．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱．據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f(x)]

5、2＋nf(x)＋p＝0的解集不可能是(　　) A．{1,2} B．{1,4} C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64} 解析：令f(x)＝t，則方程有解，則t有解(至多有兩解)．對(duì)于f(x)＝t，若x存在，則關(guān)于x＝－ 對(duì)稱(有兩根或四根)．選項(xiàng)A，B，C均有可能，選項(xiàng)D由對(duì)稱性可知不成立． 答案：D 6．已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，那么在區(qū)間[－1,3]內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)的根的個(gè)數(shù)(　　) A．不可能有三個(gè) B．最少有一個(gè)，最多有四個(gè) C．最少有一個(gè)，最多有三個(gè) D．最少有二個(gè)

6、，最多有四個(gè) 解析：y＝kx＋k＋1過(guò)定點(diǎn)(－1,1)，結(jié)合y＝f(x)的圖象(連續(xù))，當(dāng)k＝－1時(shí)，在x∈[－1,0]有無(wú)數(shù)個(gè)解，又k≠－1，故選B. 答案：B 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上． 7．對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范圍是________． 解析：設(shè)f(p)＝p(x－1)＋x2－4x＋3，f(p)為關(guān)于p的一次函數(shù)，要使f(p)>0對(duì)p∈[0,4]恒成立，則 解得x>3或x<－1. 答案：x>3或x<－1 8．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且

7、在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. 解析： 因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因?yàn)閒(x)在[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4.不妨設(shè)x1

8、2

9、＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(t)min＝f(1)＝3. ∴(S△F1AB)max＝，此時(shí)t＝1，即m＝0. 答案： 點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是常用的求最值方法．本題求解是先設(shè)AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，將三角形的面積表示出來(lái)，建立函數(shù)關(guān)系式，然后由函數(shù)的單調(diào)性求最值． 10.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題： (1)從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空

10、氣中含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______； (2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)________小時(shí)后，學(xué)生才能回教室． 解析：(1)由圖象知函數(shù)應(yīng)為分段函數(shù)，當(dāng)0≤t≤0.1，設(shè)解析式為y＝kt，由于圖象過(guò)(0.1,1)，代入函數(shù)的解析式，得y＝10t；當(dāng)t>0.1時(shí)，圖象也過(guò)(0.1,1)，代入y＝t－a中，得a＝0.1.所以函數(shù)的關(guān)系式為 (2)由題意得，當(dāng)空氣中每立方米的藥含量降到0.25毫克以下時(shí)，應(yīng)該滿足函數(shù)的第二個(gè)解析式，即t－0.1≤0.25.解得t≥0.6.

11、即至少有0.6小時(shí)，學(xué)生才能進(jìn)入教室． 答案：(1)y＝　(2)0.6 三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 11．(12分)已知函數(shù)α，β滿足α3－3α2＋5α＝1，β 3－3β 2＋5β＝5，求α＋β的值． 解：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋5x＝(x－1)3＋2(x－1)＋3， 則有f(α)＝1，f(β)＝5. 又g(t)＝t3＋2t在R上是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且 g(α－1)＝f(α)－3＝－2， g(β－1)＝f(β)－3＝2， 故g(α－1)＝－g(β－1)＝g(1－β)，得α－1＝1－β，即α＋β＝2. 12．(13分

12、)如圖，直線y＝kx＋b與橢圓＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S. (1)求在k＝0,00. 故直線AB的方程是 y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－.