《2020高考數學總復習 第七講 函數的奇偶性與周期性 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020高考數學總復習 第七講 函數的奇偶性與周期性 新人教版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第七講　函數的奇偶性與周期性 班級________　姓名________　考號________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．) 1．定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，則f(99)＝(　　) A．13　　　　　 B．2 C. D. 解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函數，周期為4.所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝. 答案：C 2．(精

2、選考題·鄭州)定義在R上的函數f(x)滿足：對于任意α，β∈R，總有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝精選考題，則下列說法正確的是(　　) A．f(x)－1是奇函數 B．f(x)＋1是奇函數 C．f(x)－精選考題是奇函數 D．f(x)＋精選考題是奇函數 解析：依題意，取α＝β＝0，得f(0)＝－精選考題；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝精選考題，f(－x)＋精選考題＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋精選考題]，因此函數f(x)＋精選考題是奇函數，選D. 答案：D 3．設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，已知x∈(0,1)時，f(x)＝lo

3、g(1－x)，則函數f(x)在(1,2)上(　　) A．是增函數，且f(x)<0 B．是增函數，且f(x)>0 C．是減函數，且f(x)<0 D．是減函數，且f(x)>0 解析：由題意得當x∈(1,2)時，0<2－x<1,00，則可知當x∈(1,2)時，f(x)是減函數，選D. 答案：D 4．設f(x)是連續(xù)的偶函數，且當x>0時是單調函數，則滿足f(x)＝f的所有x之和為(　　) A．－3 B．3 C．－8 D．8 解析：因為f(x)是連續(xù)的偶函數，且x>0時是單調函數，由偶

4、函數的性質可知若f(x)＝f，只有兩種情況：①x＝；②x＋＝0. 由①知x2＋3x－3＝0，故兩根之和為x1＋x2＝－3. 由②知x2＋5x＋3＝0，故其兩根之和為x3＋x4＝－5. 因此滿足條件的所有x之和為－8. 答案：C 5．已知奇函數f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數，且最小值為5，那么函數f(x)在區(qū)間[－7，－3]上(　　) A．是增函數且最小值為－5 B．是增函數且最大值為－5 C．是減函數且最小值為－5 D．是減函數且最大值為－5 解析：∵f(x)為奇函數，∴f(x)的圖象關于原點對稱． ∵f(x)在[3,7]上是增函數， ∴f(x)在[－7，－3]

5、上也是增函數． ∵f(x)在[3,7]上的最小值為5， ∴由圖可知函數f(x)在[－7，－3]上有最大值－5. 答案：B 評析：本題既涉及到函數的奇偶性，又涉及到函數的單調性，還涉及到函數的最值，是一道綜合性較強的題目，由于所給的函數沒有具體的解析式，因此我們畫出函數f(x)在區(qū)間[3,7]上的示意圖，由圖形易得結論． 6．(精選考題·新課標全國)設偶函數f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝(　　) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 解析：當x<0時，－x>0

6、， ∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8， 又f(x)是偶函數， ∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8， ∴f(x)＝. ∴f(x－2)＝， 或， 解得x>4或x<0.故選B. 答案：B 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．(精選考題·江蘇)設函數f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數，則實數a的值為________． 解析：設g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數g(x)＝x是奇函數，則由題意知，函數h(x)＝ex＋ae－x為奇函數，又函數f(x)的定義域為R，∴h(0)＝0，解得a＝－1. 答

7、案：－1 8．已知函數f(x＋1)是奇函數，f(x－1)是偶函數，且f(0)＝2，則f(4)＝________. 解析：依題意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2. 答案：－2 9．(精選考題·湖北八校)設函數f(x)的定義域、值域分別為A、B，且A∩B是單元集，下列命題 ①若A∩B＝{a}，則f(a)＝a； ②若B不是單元集，則滿足f[f(x)]＝f(x)的x值可能不存在； ③若f(x)具有奇偶性，則f(x)可能為偶函數； ④若f(x)不是常數函數，則f(x)不可能

8、為周期函數． 其中，正確命題的序號為________． 解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]滿足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且滿足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①錯，②正確；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，則f(x)＝1，A＝R是偶函數，③正確；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函數，但不是常數函數，所以④錯誤． 答案：②③ 10．對于定義在R上的函數f(x)，有下述四個命題，其中正確命題的序號為________． ①若f(x)是奇函數，則f(x－1)的圖象關于點A(1,0)對稱； ②若

9、對x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱； ③若函數f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，則f(x)為偶函數； ④函數y＝f(1＋x)與函數y＝f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱． 解析：f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，又f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，所以f(x－1)的圖象關于點A(1,0)對稱，故①正確； 由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期為2，無法判斷其對稱軸，故②錯誤； f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，則f(x)關于y軸對稱，故f(x)為偶函數，③正確； y＝f(1＋x)的圖象是由y

10、＝f(x)的圖象向左平移一個單位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的圖象關于y軸對稱后再向右平移一個單位而得到，兩者圖象關于y軸對稱，故④錯誤． 答案：①③ 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數． (1)求a、b的值； (2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函數定義求得a；(2)先分析函數f(x)的單調性，根據單調性去掉函數符號f，然后用判別式解決恒成立問題． 解：(1)

11、因為f(x)是定義在R上的奇函數， 所以f(0)＝0， 即＝0?b＝1， 所以f(x)＝， 又由f(1)＝－f(－1) 知＝－?a＝2. (2)由(1)知f(x)＝ ＝－＋， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數． 又因f(x)是奇函數，從而不等式： f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， 因f(x)為減函數，由上式推得：t2－2t>k－2t2， 即對t∈R有： 3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0?k<－. 12．設函數f(x)的定義域為R，對于任意的實數x，y，都有f(x＋y)＝f(x)

12、＋f(y)，當x＞0時，f(x)＜0，求證：(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數． 證明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數． (2)設x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，則x2－x1＞0， ∵當x＞0時，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0. 又∵對于任意的實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)為奇函數， ∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)

13、． ∴f(x2)－f(x1)＜0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數． 13．設函數f(x)的定義域關于原點對稱，且滿足 ①f(x1－x2)＝； ②存在正常數a，使f(a)＝1. 求證：(1)f(x)是奇函數； (2)f(x)是周期函數，并且有一個周期為4a. 證明：(1)不妨令x＝x1－x2，則 f(－x)＝f(x2－x1)＝ ＝－＝－f(x1－x2) ＝－f(x)．∴f(x)是奇函數． (2)要證f(x＋4a)＝f(x)， 可先計算f(x＋a)，f(x＋2a)， ∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝ 　　?。剑?，(f(a)＝1)． ∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a] ＝＝＝－. ∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝＝f(x) 故f(x)是以4a為周期的周期函數．