《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 第4講　離散型隨機變量的分布列教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 第4講　離散型隨機變量的分布列教案 理 新人教版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　離散型隨機變量的分布列 【2020年高考會這樣考】 1．考查離散型隨機變量及其分布列的概念理解； 2．兩點分布和超幾何分布的簡單應用． 【復習指導】 復習時，要會求與現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系的離散型隨機變量的分布列，掌握兩點分布與超幾何分布列，并會應用． 基礎梳理 1．離散型隨機變量的分布列 (1)隨機變量 如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)離散型隨機變量 對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量． (3)分布列 設離散型隨機變量X可能取得值為

2、x1，x2，…，xi，…xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率為P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列． (4)分布列的兩個性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_. 2．兩點分布 如果隨機變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、k}發(fā)生的概率為：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，則稱分布列 X 0 1 … m P … 為超幾何分布列． 一類表格 統(tǒng)計就是通過采集數(shù)據(jù)，用圖表或其他方法去處理數(shù)據(jù)，利用一些重要的特征數(shù)信息進行評估并做出決策，而離散型隨機變量的分布列就是進行數(shù)據(jù)處理的一種表格．第一行數(shù)據(jù)是隨機變量的取值，把試驗的所有結果進行分類，分為若干個事件，隨機變量的取值，就是這些事件的代碼；第二行數(shù)據(jù)是第一行數(shù)據(jù)代表事件的概率，利用離散型隨機變量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值． 兩條性質(zhì) (1

4、)第二行數(shù)據(jù)中的數(shù)都在(0,1)內(nèi)； (2)第二行所有數(shù)的和等于1. 三種方法 (1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量分布列； (2)由古典概型求出離散型隨機變量分布列； (3)由互斥事件、獨立事件的概率求出離散型隨機變量分布列． 雙基自測 1．拋擲均勻硬幣一次，隨機變量為(　　)． A．出現(xiàn)正面的次數(shù) B．出現(xiàn)正面或反面的次數(shù) C．擲硬幣的次數(shù) D．出現(xiàn)正、反面次數(shù)之和 解析　拋擲均勻硬幣一次出現(xiàn)正面的次數(shù)為0或1. 答案　A 2．如果X是一個離散型隨機變量，那么下列命題中假命題是(　　)． A．X取每個可能值的概率是非負實數(shù) B．X取所有可能值的概率之和

5、為1 C．X取某2個可能值的概率等于分別取其中每個值的概率之和 D．X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和 3．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2

6、 C．7 D．6 解析　X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9. 答案　C 5．設某運動員投籃投中的概率為P＝0.3，則一次投籃時投中次數(shù)的分布列是________． 解析　此分布列為兩點分布列． 答案　 X 0 1 P 0.7 0.3 　　 考向一　由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求離散型隨機變量的分布列 【例1】?(2020·北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù) 分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學 (1)求這兩名同學的植樹總棵數(shù)y的分布列； (2

7、)每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學獲得錢數(shù)的數(shù)學期望． [審題視點] 本題解題的關鍵是求出Y的取值及取每一個值的概率，注意用分布列的性質(zhì)進行檢驗． 解　(1)分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學的方法種數(shù)是4×4＝16，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的取值分別為 17,18,19,20,21， P(Y＝17)＝＝ P(Y＝18)＝＝ P(Y＝19)＝＝ P(Y＝20)＝＝ P(Y＝21)＝＝ 則隨機變量Y的分布列是： Y 17 18 19 20 21 P (2)由(1)知E(Y)＝＋＋＋＋＝19， 設這名同學獲得錢數(shù)為X元，則X＝10Y，

8、 則E(X)＝10E(Y)＝190. (1)可設出隨機變量Y，并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義． 【訓練1】 某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結果： 投資成功 投資失敗 192次 8次 則該公司一年后估計可獲收益的期望是________． 解析　設該公司一年后估計可獲得的錢數(shù)為X元，則隨機變量X的取值分別為50 000×12

9、%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知條件隨機變量X的概率分布列是 X 6 000 －25 000 P 因此E(X)＝6 000×＋(－25 000)×＝4 760 答案　4 760 考向二　由古典概型求離散型隨機變量的分布列 【例2】?袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止．每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機變量X的

10、分布列；(3)求甲取到白球的概率． [審題視點] 對變量的取值要做到不重不漏，計算概率要準確． 解　(1)設袋中白球共有x個，根據(jù)已知條件＝， 即x2－x－6＝0， 解得x＝3，或x＝－2(舍去)． (2)X表示取球終止時所需要的次數(shù)，則X的取值分別為：1,2，3,4,5. 因此，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 則隨機變量X的分布列為： X 1 2 3 4 5 P (3)甲取到白球的概率為P＝＋＋＝＋＋＝. 求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然

11、后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率．而超幾何分布就是此類問題中的一種． 【訓練2】 (2020·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元．令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)．假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求X的分布列； (2)求此員工月工資的期望． 解　(1)X的所有可能取值為：0,1,2

12、,3,4， P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)， 則 X 0 1 2 3 4 P (2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500，則P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝， E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280， 所以此員工月工資的期望為2 280元． 考向三　由獨立事件同時發(fā)生的概率求離散型隨 機變量的分布列 【例3】?(2020·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞

13、了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________. [審題視點] 分別求出隨機變量X取每一個值的概率，然后求其期望． 解析　由已知條件P(X＝0)＝ 即(1－P)2×＝，解得P＝， 隨機變量X的取值分別為0,1,2,3. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝×2＋2××2＝， P(X＝2)＝2×××＋×2＝， P(X＝3)＝×2＝. 因此隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P

14、E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案　 本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率求法以及分布列，期望的相關知識，公式應用，計算準確是解題的關鍵． 【訓練3】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)．B肯定是受A感染的．對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量．寫出X的分布列(不要求寫出計算過程)，并求X的均值(即數(shù)學期望)． 解　隨機變量X的分布列是 X 1 2 3 P X的均值E

15、(X)＝1×＋2×＋3×＝. 附：X的分布列的一種求法 共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A－B－C－D 在情形①和②之下，A直接感染了一個人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個人；在情形⑥之下，A直接感染了三個人． 規(guī)范解答22——求離散型隨機變量的分布列 【問題研究】 離散型隨機變量的分布列問題是新課標教材概率統(tǒng)計中的一個重要的內(nèi)容，從近幾年新課標區(qū)高考試題來看，每年都有考查，而且它是進行概率計算，期望與方差計算的重要依據(jù). 【解決方案】 (1)用好概率分布列的性質(zhì)：在隨機變量的分布列中隨機

16、變量各個可能值對應的概率均符合概率的一般性性質(zhì)，并且所有的概率之和等于1. (2)掌握好幾個特殊分布的分布列：如兩點分布、超幾何分布、二項分布等. 【示例】?(本題滿分12分)在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y，記ξ＝|x－2|＋|y－x|. (1)求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求隨機變量ξ的分布列． (1)根據(jù)x，y的取值，隨機變量ξ的最大值為3，當ξ＝3時，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根據(jù)x，y的取值，ξ的所有取值為0,1,2,3，列舉計數(shù)計算其相應的概率值

17、即可． [解答示范] (1)∵x，y可能的取值為1,2,3， ∴|x－2|≤1，|y－x|≤2， ∴ξ≤3，且當x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時，ξ＝3. 因此，隨機變量ξ的最大值為3.(3分) ∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3＝9種， ∴P(ξ＝3)＝. 故隨機變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為.(6分) (2)ξ的所有取值為0,1,2,3. ∵ξ＝0時，只有x＝2，y＝2這一種情況， ξ＝1時，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四種情況， ξ＝2時，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2兩種情況． ξ＝3時，有x＝1，y＝3

18、或x＝3，y＝1兩種情況． ∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝.(10分) 則隨機變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P (12分) 解決隨機變量分布列問題的關鍵是正確求出隨機變量可以取哪些值以及取各個值對應的概率，只有正確地理解隨機變量取值的意義才能解決這個關鍵問題，理解隨機變量取值的意義是化解這類問題難點的必要前提． 【試一試】 某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響． (1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率(用數(shù)字作答)； (2)求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率(用數(shù)字作答)； (3)設隨機變量ξ表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數(shù)，求ξ的分布列． [嘗試解答]　(1)記“射手射擊1次，擊中目標”為事件A，則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率 P1＝P(AA )＋P(AA)＋P(AAA) ＝××＋××＋××＝. (2)射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率P2＝C×2××＝. (3)由題設，“ξ＝k”的概率為 P(ξ＝k)＝C×2×k－3×＝C×k－3×3(k∈N*且k≥3)． 所以，ξ的分布列為： ξ 3 4 … k … P … Ck－33 …