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1、
(時(shí)間60分鐘，滿分80分)
一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)
1．在△ABC中，面積S＝a2－(b－c)2，則cosA＝( )
A. B.
C. D.
解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.
答案：B
2．(2020·福州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D
2、．150°
解析：由sinC＝2sinB可得c＝2b，
由余弦定理得cosA＝＝＝，
于是A＝30°.
答案：A
3．(2020·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，則( )
A．a(chǎn)>b
B．a(chǎn)
3、
4．在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝，
∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC為直角三角形．
答案：B
5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2b＝a＋c，則角B的取值范圍是( )
A．(，π] B．(，]
C．(0，] D．(0，]
解析：∵cosB＝＝＝＝－≥－＝，即cosB∈[，1)，∴B∈(0，]．
答案：D
4、6．若△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是10，A＝60°，則BC邊的長(zhǎng)是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：依題意及面積公式S＝bcsinA，
得10＝bcsin60°，得bc＝40.
又周長(zhǎng)為20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°
＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.
答案：C
二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)
7．(2020·山東高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a
5、＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________．
解析：由sin B＋cos B＝sin(B＋)＝得sin(B＋)＝1，所以B＝.由正弦定理＝得sin A＝＝＝，所以A＝或(舍去)．
答案：
8．(2020·全國新課標(biāo))在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面積為3－，則∠BAC＝________.
解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，
又因?yàn)锳D＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－，
所以DC＝2(－1)，
又因?yàn)锽D＝DC，所以BD＝－1，過A點(diǎn)作AE⊥BC于E點(diǎn)，
則S△ADC＝
6、DC·AE＝3－，
所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，
所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，
在直角三角形AEC中，EC＝2－3，
所以tan∠ACE＝＝＝2＋，
所以∠ACE＝75°，
所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
答案：60°
9．在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若＋＝6cosC，則＋的值是________．
解析：取a＝b＝1，則cosC＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，∴c＝，在如圖所示的等腰三角形ABC中，可得tanA＝tanB＝，
7、
又sinC＝，tanC＝2，∴＋＝4.
另解：由＋＝6cosC得，＝6·，
即a2＋b2＝c2，
∴＋＝tanC(＋)＝＝＝4.
答案：4
三、解答題(共3小題，滿分35分)
10．(2020·銀川模擬)在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)設(shè)AC＝，求△ABC的面積．
解：(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
得2A＝－B,0
8、△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA
＝××3×＝3.
11．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A－)的值．
解：(1)在△ABC中，根據(jù)正弦定理，＝.
于是AB＝BC＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得
cosA＝＝.
于是sinA＝＝.
從而sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝cos2A－sin2A＝.
所以sin(2A－)＝sin2Acos－cos2Asin＝.
12．已知向量m＝(sinA，)與n＝(3，sinA＋cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角．
9、(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀．
解：(1)因?yàn)閙∥n，所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，
即sin(2A－)＝1.
因?yàn)锳∈(0，π)，所以2A－∈(－，)．
故2A－＝，A＝.
(2)設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
則由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.
而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，
∴bc≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.
當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，b＝c.又A＝，
故此時(shí)△ABC為等邊三角形．
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