2、
A．100 B．101
C．200 D．201
解析：∵＝a100＋a101且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)O)，
∴a100＋a101＝1，
∴S200＝＝100×(a1＋a200)＝100×1＝100.
答案：A
3．在數(shù)列{an}中，對(duì)任意n∈N*，都有＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”．下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；
③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；
④通項(xiàng)公式為an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列．
其中正確的判斷為( )
A．①② B．
3、②③
C．③④ D．①④
解析：若k＝0時(shí)，則an＋2－an＋1＝0，因?yàn)閍n＋2－an＋1可能為分母，故無意義，故k不可能為0，①正確；若等差、等比數(shù)列為常數(shù)列，則②③錯(cuò)誤．由定義知④正確．
答案：D
4．(2020·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為( )
A．－110 B．－90
C．90 D．110
解析：因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以a＝a3a9，又因?yàn)楣顬椋?，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
4、
通項(xiàng)公式為an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，
所以S10＝＝5(20＋2)＝110.
答案：D
5．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比數(shù)列，則xy( )
A．有最大值e B．有最小值e
C．有最大值 D．有最小值
解析：∵lnx，，lny成等比數(shù)列，∴＝lnxlny，
∵x＞1，y＞1，∴l(xiāng)nx＞0，lny＞0.
∴l(xiāng)nx＋lny≥2＝1(當(dāng)且僅當(dāng)lnx＝lny時(shí)等號(hào)成立)，
即lnx＋lny＝lnxy的最小值為1，故xy的最小值為e.
答案：B
6．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2
5、－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
解析：依題意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列，a2，a4，a6，…也成等比數(shù)列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因?yàn)閍n＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
答案：D
二、填空題
7．(2020·臺(tái)州模擬)若數(shù)列{an}滿足－＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為調(diào)和數(shù)列．記數(shù)列{}為調(diào)和數(shù)列，且x1＋x2＋…＋x20＝200
6、，則x5＋x16＝________.
解析：由題意知，－＝d，即xn＋1－xn＝d，
{xn}是等差數(shù)列，又x1＋x2＋…＋x20＝200，
所以x5＋x16＝x1＋x20＝20.
答案：20
8．(2020·江蘇高考)設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．
解析：設(shè)a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是.
答案：
9．已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y
7、)＋yf(x)成立．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________.
解析：令x＝2，y＝2n－1，則f(x·y)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1a1，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列{}為等差數(shù)列，由此可得an＝n·2n.
答案：n·2n
三、解答題
10．已知函數(shù)f(x)＝ax的圖象過點(diǎn)(1，)，且點(diǎn)(n－1，)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝ax的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝an＋1－an，若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn
8、<5.
解：(1)∵函數(shù)f(x)＝ax的圖象過點(diǎn)(1，)，
∴a＝，f(x)＝()x.
又點(diǎn)(n－1，)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝ax的圖象上，從而＝，即an＝.
(2)由bn＝－＝得，
Sn＝＋＋…＋，
則Sn＝＋＋…＋＋，
兩式相減得：Sn＝＋2(＋＋…＋)－，
∴Sn＝5－，
∴Sn<5.
11．(2020·湖南高考)某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.
(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；
(2)設(shè)An＝，若An大于
9、80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新．證明：須在第9年初對(duì)M更新．
解：(1)當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120，公差為－10的等差數(shù)列，
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}是以a6為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，又a6＝70，所以an
＝70×()n－6.
因此，第n年初，M的價(jià)值an的表達(dá)式為
an＝
(2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
當(dāng)n≥7時(shí)，由于S6＝570，
故Sn＝S6＋(a7＋a8
10、＋…＋an)
＝570＋70××4×[1－()n－6]
＝780－210×()n－6，
An＝.
因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列，
又A8＝＝82＞80，
A9＝＝76＜80，
所以須在第9年初對(duì)M更新．
12．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a3＋a5＝40.設(shè)bn＝log2an.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若c1＝1，cn＋1＝cn＋，求證：cn＜3；
(3)是否存在正整數(shù)k，使得＋＋…＋＞對(duì)任意正整數(shù)n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，說明理由．
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，
由題意有，
∴a1＝q＝2，∴an＝2n，
∴bn＝n.
(2)∵c1＝1＜3，cn＋1－cn＝，
當(dāng)n≥2時(shí)，cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝1＋＋＋…＋，
∴cn＝＋＋＋…＋.
相減整理得：cn＝1＋1＋＋…＋－＝3－＜3，
故cn＜3.
(3)令f(n)＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
∵f(n＋1)－f(n)＝＋－
＝－＞0，
∴f(n＋1)＞f(n)．
∴數(shù)列{f(n)}單調(diào)遞增，
∴f(n)min＝f(1)＝.
由不等式恒成立得：＜，
∴k＜5.
故存在正整數(shù)k，使不等式恒成立，k的最大值為4
【成功方案】2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)檢測(cè) 第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題 理
