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1、專題一 常以客觀題形式考查的幾個問題第3講 不等式、線性規(guī)劃 真題試做 1．(2020·重慶高考，理2)不等式≤0的解集為( )． A. B. C. [1，＋∞) D. [1，＋∞) 2．(2020·大綱全國高考，理9)已知x＝ln π，y＝log52，z＝，則( )． A．x

2、品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是( )． A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 4．(2020·安徽高考，理11)若x，y滿足約束條件則x－y的取值范圍是__________． 5．(2020·浙江高考，理17)設aR，若x>0時均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，則a＝__________. 考向分析 通過高考試卷可分析出：在不等式中，主要熱點是線性規(guī)劃知識、均值不等式及解不等式等，

3、單純對不等式性質的考查并不多．解不等式主要涉及一元二次不等式、簡單的分式不等式、對數(shù)和指數(shù)不等式等，并且以一元二次不等式為主，重在考查等價轉化能力和基本的解不等式的方法．均值不等式的考查重在對代數(shù)式的轉化過程及適用條件，等號成立條件的檢驗，常用來求最值或求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍．線性規(guī)劃問題是高考的一個必考內容，主要還是強調用數(shù)形結合的方法來尋求最優(yōu)解的過程，體現(xiàn)了數(shù)學知識的實際綜合應用．不等式知識的考查以選擇題、填空題為主，也蘊含在解答題中，題目難度為中低檔，但考查很廣泛，需引起重視． 熱點例析 熱點一 不等式的性質及應用 【例1】(1)設0

4、 )． A．a

5、時一定要注意基本不等式成立的條件，必要時需要對相關的式子進行變形、構造常數(shù)等以符合基本不等式應用的條件，此外還要特別注意等號成立的條件，以確保能否真正取得相應的最值． 變式訓練1已知log2 a＋log2 b≥1，則3a＋9b的最小值為__________． 熱點二 不等式的解法 【例2】已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}． (1)求a，b； (2)解不等式>0(c為常數(shù))． 規(guī)律方法(1)解一元二次不等式的基本思路：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關

6、系，確定一元二次不等式的解集． (2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解． (3)解含“f”的不等式，首先要確定f(x)的單調性，然后根據(jù)單調性進行轉化、求解． (4)解含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因．確定好分類標準，從而層次清晰地求解． 變式訓練2已知f(x)＝則f(x)>－1的解集為( )． A．(－∞，－1) (0，＋∞) B．(－∞，－1) (0,1) (1，＋∞) C．(－1,0) (1，＋∞) D．(－1,0) (0,1) 熱點三 線性規(guī)劃問題

7、 【例3】(1)在直角坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為( )． A．－或 B．－5或1 C．1 D. (2)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝的最大值為( )． A．4 B．3 C．4 D．3 規(guī)律方法1.線性規(guī)劃問題的三種題型 一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是知最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍． 2．解答線性規(guī)劃問題的步驟及應注意的問題 解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到

8、最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決． 變式訓練3(2020·安徽江南十校聯(lián)考，理10)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數(shù)k的取值范圍是( )． A．－2

9、題型 (1)由數(shù)學運算要求引起的分類討論； (2)由參數(shù)的變化引起的分類討論． 3．常見誤區(qū) 利用均值不等式求最值容易忘記等號成立的條件． 【典型例題】設不等式組表示的平面區(qū)域為D.若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象上存在區(qū)域D內的點，則a的取值范圍是( )． A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞) 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示． 由得交點A(2,9)． 對于y＝ax的圖象，當01時，y＝ax的圖象恰好經過A點時，由a2＝9，得a＝3.

10、由題意知，需滿足a2≤9，解得1

11、需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次．派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤為( )． A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元 4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若PM＝P，則a的取值范圍是( )． A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1] [1，＋∞) 5．設x，y為實數(shù)，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是__

12、________． 6．已知函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，dR)滿足f(0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x)≥0在R上恒成立． (1)求a，c，d的值； (2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f ′(x)＋h(x)<0. 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1．A 解析：不等式可化為解不等式組得－1，y＝log52＝，且e－

13、＋400y. 作出可行域，如圖中四邊形OABC的邊界及其內部整點． 作直線l0：3x＋4y＝0，平移直線l0經可行域內點B時，z取最大值，由得B(4,4)，滿足題意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800. 4．[－3,0] 解析：作出可行域，如圖所示，令z＝x－y，當z＝0時，得l0：x－y＝0.平移l0，當l0過點A(0,3)時滿足z最小，此時zmin＝0－3＝－3；當l0過點B(1,1)時，此時zmax＝1－1＝0，故x－y的取值范圍為[－3,0]． 5. 解析：當a≤1時，(a－1)x－1<0，而x2－ax－1在x取正無窮大時為正，故不滿足題意，所以a>1.

14、 所以(a－1)x－1在x∈上小于0，在x∈上大于0，要滿足題意，x2－ax－1在x∈上也小于0，在x∈上大于0， 故x＝使x2－ax－1＝0，解得a＝. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 (1)B 解析：由a＝<<＝b，排除A，D； 又∵<＝b，排除C，選B. (2)B 解析：由題意得平均每件產品生產準備費用為元． 倉儲費用為元，得費用和為＋≥2＝20(元)． 當＝時，即x＝80時等號成立． 【變式訓練1】 18 解析：∵3a>0,9b＝32b>0， ∴根據(jù)基本不等式得3a＋9b≥2＝2. ∵log2a＋log2 b≥1， ∴有a>0，b>0，log2 (ab)

15、≥1，∴ab≥2. 再由基本不等式得a＋2b≥2＝2≥2＝4. 當且僅當a＝2b＝2，即a＝2，b＝1時等號成立． ∴2≥2＝18. ∴當a＝2，b＝1時，3a＋9b取得最小值18. 【例2】 解：(1)由題知1，b為方程ax2－3x＋2＝0的兩根，即解得 (2)不等式等價于(x－c)(x－2)>0，當c>2時，解集為{x|x>c或x<2}；當c<2時，解集為{x|x>2或x0時，f(x)＝>－1， ∴－2x＋1>－x2， 即x2－2x＋1>0，解得x>0且x≠1. 當x<0時，f(x)＝>

16、－1， 即－x>1，解得x<－1. 故x∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)，選B. 【例3】 (1)C 解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 由解得交點B(t，t＋2)． 在y＝x＋2中，令x＝0得y＝2，即直線y＝x＋2與y軸的交點為C(0,2)． 由平面區(qū)域的面積S＝＝，得t2＋4t－5＝0，解得t＝1或t＝－5(不合題意，舍去)，故選C. (2)C 解析：z＝＝(x，y)·(，1)＝x＋y. 由 畫出可行域，如圖中陰影部分所示． 作直線l0：y＝－x，平移直線l0至l1的位置時，z取得最大值，此時l1過點(，2)，故zmax＝×＋2＝4.

17、 【變式訓練3】 C 解析：符合題意的直線在如圖中的陰影區(qū)域內，可求得0

18、數(shù)量分別為x，y， 則利潤z＝450x＋350y，得約束條件畫出可行域可知目標函數(shù)在直線x＋y＝12和直線2x＋y＝19的交點(7,5)處取得最大值．故最大利潤為450×7＋350×5＝4 900(元)． 4．C 5. 解析：設2x＋y＝m，則y＝m－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得6x2－3mx＋m2－1＝0，由Δ＝9m2－24(m2－1)≥0，得m2≤，所以－≤m≤，所以2x＋y的最大值為. 6．解：(1)∵f(0)＝0， ∴d＝0. ∵f′(x)＝ax2－x＋c，f′(1)＝0， ∴a＋c＝. ∵f′(x)≥0在R上恒成立， 即ax2－x＋c≥0恒成立， ∴ax2－x＋－a≥0恒成立． 顯然當a＝0時，上式不恒成立． ∴a≠0. ∴ 即 即 解得a＝，c＝. ∴a，c，d的值分別為，，0. (2)∵a＝c＝， ∴f′(x)＝x2－x＋. f′(x)＋h(x)<0， 即x2－x＋＋x2－bx＋－<0，即x2－x＋<0， 即(x－b)<0. 當b>時，解集為； 當b<時，解集為； 當b＝時，解集為.