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1、【專題十】化歸思想 【考情分析】 化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想.等價轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法. 【知識交匯】 化歸思想的核心，是以可變的觀點對所要解決的問題進行變形，就是在解決數(shù)學問題時，不是對問題進行直接進攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術，通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經(jīng)解決的問題。從而求得原問題的解決?；瘹w思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”或“變換”。它的基本形式有：①化未知為已知；②化難為易，化

2、繁為簡；③化高維為低維；④化抽象為具體；⑤化非規(guī)范性問題為規(guī)范性問題；⑥化數(shù)為形，化形為數(shù)；；⑦化曲為直；⑧化實際問題為數(shù)學問題；⑨化綜合為單一；⑩化一般為特殊等。 匈牙利著名數(shù)學家羅莎·彼得在他的名著《無窮的玩藝》中，通過一個十分生動而有趣的笑話，來說明數(shù)學家是如何用化歸的思想方法來解題的。有人提出了這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應當怎樣去做？”對此，某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放在煤氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答，但是，他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應該怎樣去做？”這時被提問者一定會大聲

3、而有把握地回答說：“點燃煤氣，再把水壺放上去?！钡歉晟频幕卮饝撌沁@樣的：“只有物理學家才會按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學家會回答：‘只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了’”。 化歸思想是指問題之間的相互轉(zhuǎn)化。前蘇聯(lián)著名數(shù)學家C.A.雅諾夫斯卡婭，有一次向奧林匹克競賽參加者發(fā)表了《什么叫解題》的演講，她的答案顯得驚人地簡單，完全出乎人的意料：“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解決過的問題”，這句話實際上就是體現(xiàn)了化歸思想。因此化歸的常用模式為 問題A 問題B 問題A的解答 問題B的解答 轉(zhuǎn)化 對 象

4、 目 標 解答 【思想方法】 一、將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識 【例1】設若方程中的cosx有兩個不同的符號,求實數(shù)k的取值范圍。 【分析】令cosx=t,,則由得方程 中的cosx有兩個不同的符號，等價于關于t的方程(1)在有異號兩根,設,則原問題又等價于, 由此可得 【評注】將未知的問題向已知的知識轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題。這種轉(zhuǎn)化經(jīng)?？蛇_到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的

5、兩相交直線所成的角。又如復雜的三角函數(shù)的最值問題有時也可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等。 二、數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化 【例3】討論方程的實數(shù)解的個數(shù). 分析:此題若從代數(shù)的角度去解恐怕是無從下手,我們不妨利用數(shù)形結(jié)合來考慮看會怎么樣？此題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的問題. 解:作出函數(shù)的圖象,如右圖所示,函數(shù)為水平直線,由圖形可知: 當時,解的個數(shù)是; 當或時,解的個數(shù)是; 當時,解的個數(shù)是; 當時, 解的個數(shù)為3; 【評注】注意數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化，使數(shù)形達到和諧的統(tǒng)一，以增強直

6、觀性和形象性及深刻了解數(shù)學的內(nèi)涵，便于發(fā)現(xiàn)和解決實質(zhì)問題。某些代數(shù)問題、三角問題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念，復雜的數(shù)量關系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論。 三、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化 在平面直角坐標系中，已知的頂點和，頂點在橢圓上，則_____． 解析：這里頂點是橢圓上的動點，所以、、不易確定。但根據(jù)“一般成立特殊一定成立”可將這個一般性的問題轉(zhuǎn)化化歸為點在特殊位置（橢圓短軸端點）來處理較易。 當然：注意到A、C是兩焦點，利用正弦定理，進行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果. 答案：頂點取橢圓短軸端點，即 ，則，，， 點評：象這種“特殊與一

7、般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常應用。 【評注】對于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。 四、正與反的相互轉(zhuǎn)化 若下列方程：，，=0中至少有一個方程有實根. 試求實數(shù)a的取值范圍. 分析：三個方程至少有一個方程有實根的反面情況有一種：三個方程均沒有實數(shù). 先求出反面情況時a的范圍，取所得范圍的補集就是正面情況的答案. 解：設三個方程均無實根，則有 解得 所以當時，三個方程至少有一個方程有實根. 【評注】對于那些從“正面進攻”很難奏效或

8、運算較難的問題，可先攻其反面，從而使正面問題得以解決。 五、實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化歸結(jié) 【例6】某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費用萬元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件. 已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）． （1）將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用萬元的函數(shù)； （2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最

9、大？ 解：（1）由題意可知，當時，，∴即， ∴，每件產(chǎn)品的銷售價格為元. ∴2020年的利潤 （2）∵時，. ∴，當且僅當，即時，. 答：該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元. 【評注】將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，使之能用數(shù)學理論解決具體的實際問題。解答數(shù)學應用問題。要善于調(diào)整應用題中的條件關系和題型結(jié)構(gòu)，使問題化難為易，化繁為簡。若有些較復雜的應用題采用直接設元列方程轉(zhuǎn)化較困難，則可合理地設置間接未知數(shù)來設法進行轉(zhuǎn)化，以尋求解決問題的新途徑。 【專題演練】 1．若不等式對一切均成立，試求實數(shù)的取值范圍。

10、 2. 方程y=x3–3x=a有相異三個解，求a的取值范圍. 3. 曲線y=1+ (–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍 . 4. 為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）？ 化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某種

11、函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想.等價轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法. 【參考答案】 1. 解: 令，則要使它對均有，只要有 或。 2. 解：.提示：f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1)易確定f(–1)=2是極大值，f(1)=–2是極小值.當–2

12、中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，則由條件y=(k＞0為比例系數(shù))其中a、b滿足2a+4b+2ab=60 ① 要求y的最小值，只須求ab的最大值. 由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b) 應用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ ∴ab≤18，當且僅當a=2b時等號成立 將a=2b代入①得a=6,b=3. 故當且僅當a=6,b=3時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小. 解法二：由2a+4b+2ab=60,得, 記(0＜a＜30)則要求y的最小值只須求u的最大值. 由，令u′=0得a=6 且當0＜a＜6時，u′＞0，當6＜u＜30時u′＜0, ∴在a=6時取最大值，此時b=3. 從而當且僅當a=6，b=3時,y=取最小值.