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江蘇省姜堰市溱潼中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識梳理 第2章 函數(shù)

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1、第二章 函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理 一、函數(shù): 1.函數(shù)的近代定義:如果A、B都是非空數(shù)集,那么A到B的映射f :A→B就叫做A到B的函數(shù),記作y=f (x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函數(shù)y=f (x)的定義域,象集合C(CíB)叫做函數(shù)y=f (x)的值域. 函數(shù)的三要素是: 、 、 . ⒊函數(shù)的表示法:解析法、列表法、圖象法. ⒋關(guān)于區(qū)間的概念: ⑴滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,表示為 ; ⑵滿足不等式a<x<b的實數(shù)x

2、的集合叫做開區(qū)間,表示為 ; ⑶滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為 或 . 以上的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點. ⒌函數(shù)解析式的求法:⑴換元法;⑵待定系數(shù)法. ⒍求函數(shù)定義域的主要依據(jù): ⑴分式中的分母不為0;⑵偶次根式的被開方數(shù)不小于零;⑶對數(shù)的真數(shù)大于零; ⑷零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;⑸指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1; ⑹對于應(yīng)用問題,要注意自變量所受實際意義的限制. ⒎求函數(shù)值域

3、的方法有:⑴配方法;⑵換元法;⑶判別式法;⑷單調(diào)性法; ⑸基本不等式法;⑹數(shù)形結(jié)合法;三、函數(shù)的單調(diào)性: ⒈函數(shù)單調(diào)性的定義: 如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時, 都有f (x1)<f (x2),那么就說f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù). 這個區(qū)間叫增區(qū)間. 如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時, 都有f (x1)>f (x2), 那么就說f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù). 這個區(qū)間叫減區(qū)間. 注意:函數(shù)的單調(diào)

4、區(qū)間(增區(qū)間或減區(qū)間)是其定義域的子集;函數(shù)的定義域不一定是函數(shù)的單調(diào) 區(qū)間. ⒉函數(shù)單調(diào)性的判別方法: 圖象法.若函數(shù)f (x)的圖象在區(qū)間D上從左至右是上升(下降)的,則f (x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù); ⑴ 定義法.其一般步驟是: ① 值.在所給區(qū)間上任取x1<x2;②作差f (x1)?f (x2);③變形.分解因式或配方等;④定號.看 f (x1)?f (x2)的符號;⑤下結(jié)論. ⑷利用函數(shù)單調(diào)性的判定定理:用定義可直接證出. ①函數(shù)f (x)與f (x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性; ②當(dāng)c>0時,函數(shù)f (x)與c

5、f (x)具有相同的單調(diào)性;當(dāng)c<0時,函數(shù)f (x)與cf (x)具有相反的單調(diào)性; ③若f (x)≠0,則函數(shù)f (x)與具有相反的單調(diào)性; ④若f (x)≥0,則函數(shù)f (x)與具有相同的單調(diào)性; ⑤若函數(shù)f (x), g(x)都是增函數(shù),則f (x)+g(x)也是增函數(shù); (增+增=增) ⑥若函數(shù)f (x), g(x)都是減函數(shù),則f (x)+g(x)也是減函數(shù); (減+減=減) ⑦若函數(shù)f (x)是增函數(shù), g(x)是減函數(shù),則f (x)?g(x)也是增函數(shù);(增?減=增)

6、 ⑧若函數(shù)f (x)是減函數(shù), g(x)是增函數(shù),則f (x)?g(x)也是減函數(shù);(減?增=減) 另外還有以下幾個重要結(jié)論:(用定義可直接證出) ⒊一些特殊函數(shù)的單調(diào)性: ⑴一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)k>0時,在R上是 ;當(dāng)k<0時,在R上是 . ⑵二次函數(shù)y=ax2+bx+c, 當(dāng)a>0時,在(?∞,]上為 ,在[,+∞)上為 ; 當(dāng)a<0時,在(?∞,]上為 ,在[,+∞)上為 . ⑶反

7、比例函數(shù)y=,當(dāng)k>0時,在(?∞,0),(0,+∞)上都是 ; 當(dāng)k<0時,在(?∞,0),(0,+∞)上都是 . ⑷指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a>1時,在R上是 , 當(dāng)0<a<1時,在R上是 . ⑸對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a>1時,在(0,+∞)是 , 當(dāng)0<a<1時,在(0,+∞)是 . ⑹*記住重要函數(shù)y=x+的單調(diào)性,并會證明: 當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,)上單調(diào)遞減,在[,+∞]上單調(diào)遞增; 當(dāng)x<0時

8、,函數(shù)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增. 四、函數(shù)的奇偶性: ⒈函數(shù)奇偶性的定義: 如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f (?x)=f (x),那么函數(shù)f (x)叫做偶函數(shù). 如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f (?x)=?f (x),那么函數(shù)f (x)叫做奇函數(shù). 注意:⑴由定義可知,函數(shù)具有奇偶性的必要條件是定義域關(guān)于 對稱. ⑵函數(shù)的奇偶性可分為四類:奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(此時我們說該函數(shù) 具有奇偶性)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(

9、此時我們說該函數(shù)不具有奇偶性). 注意:設(shè)函數(shù)f (x)的定義域關(guān)于原點對稱,那么函數(shù)f (x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的充要條 件是f (x)恒等于0. 例:f (x)=0,x∈(?1,1);f (x)=0,x∈[?2,2];f (x)=等等. ⒉具有奇偶性函數(shù)的圖象特征: ⑴奇函數(shù)?圖象關(guān)于 對稱; ⑵偶函數(shù)?圖象關(guān)于 對稱. ⒊判斷函數(shù)奇偶性的方法: ⑴圖象法; ⑵定義法.其一般步驟是: ①求函數(shù)的定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱

10、,若不對稱,則此函數(shù)不具有奇偶性; 若對稱,再進(jìn)行第二步; ②判斷f (?x)與f (x)的關(guān)系,并下結(jié)論. 若f (?x)=?f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數(shù)為奇函數(shù); 若f (?x)=f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數(shù)為偶函數(shù); 若f (?x)=?f (x)且f (?x)=f (x),則此函數(shù)為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù); 若f (?x)≠?f (x)且f (?x)≠f (x),則此函數(shù)為既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù). ⑸奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相

11、同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有 相反的單調(diào)性; ⑺若f (x)是奇函數(shù),且f (0)有意義,則必有f (0)= . f (0)=0是f (x)是奇函數(shù)的 條件. 六、函數(shù)圖象的變換: ⒈平移變換: ⑴y=f (x)的圖象沿x軸向右平移a (a>0)個單位得到y(tǒng)=f (x?a)的圖象; ⑵y=f (x)的圖象沿x軸向左平移a (a>0)個單位得到y(tǒng)= f (x+a)的圖象; ⑶y=f (x)的圖象沿y軸向上平移a (a>0)個單位得到y(tǒng)= f

12、 (x)+a的圖象; ⑷y=f (x)的圖象沿y軸向下平移a (a>0)個單位得到y(tǒng)= f (x)?a的圖象. ⒊對稱變換: (一)兩個函數(shù)圖象的對稱關(guān)系: ⑴y=f (x)與y=?f (x)的圖象關(guān)于x軸對稱; ⑵y=f (x)與y=f (?x)的圖象關(guān)于y軸對稱; ⑶y=f (x)與y= ?f (?x)的圖象關(guān)于原點軸對稱; ⑷y=f (x)與y= f ?1(x)的圖象關(guān)于直線y=x軸對稱; ⑸y=f (|x|)的圖象是保留y=f (x)的圖象中y軸右邊部分,并作其關(guān)于

13、y軸對稱的圖象, 再擦掉 y=f (x) 的圖象中y軸左邊部分而得到; ⑹y=|f (x)|的圖象是保留y=f (x)的圖象中x軸上方的圖象及x軸上的點,并將x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方去; ⑺*函數(shù)y=f (a+mx)與函數(shù)y=f (b?mx)(a、b:m∈R,m≠0)的圖象關(guān)于直線x=對稱. 七、指數(shù)與指數(shù)函數(shù): ⒈根式的定義: ⑴方根:如果一個數(shù)的n次方等于a (n>1且n∈N*),那么這個數(shù)叫做a的n次方根. 即:若x n=a,則x叫做a的n次方根. ⑵根式:式子叫做

14、根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù). 當(dāng)n是偶數(shù)時, 表示正數(shù)a的正的n次方根. ⒉根式的性質(zhì): ⑴()n = a; ⑵當(dāng)n為奇數(shù)時, 當(dāng)n是偶數(shù)時;. ⒊分?jǐn)?shù)指數(shù)冪: 當(dāng)a>0,m、n∈N*且n>1時,規(guī)定: ; ; ; 無意義. ⒋有理指數(shù)冪的性質(zhì): ⑴ar·as=ar+s (a>0, r、s∈Q); ⑵(ar)s=ar s (a>0, r、s∈Q); ⑶(ab)r=arbr (a>0, b>0,r∈Q). ⒌指數(shù)函數(shù):

15、 ⑴指數(shù)函數(shù)的定義:把形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù). ⑵指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì): y=ax (a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 圖 象 性 質(zhì) 定義域 值 域 單調(diào)性 其 它性 質(zhì) ①x>0時,y>1; ②x<0時,0<y<1; ③x=0時,y=1. 即圖象恒過點(0,1) ①x>0時, 0<y<1; ②x<0時, y>1; ③x=0時,y=1. 即圖象恒過點(0,1) 八、對數(shù)與對數(shù)函數(shù):

16、 ⒈對數(shù)的概念: ⑴對數(shù)的定義:如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么,數(shù)b叫做以a為底 N的對數(shù).其中,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做對數(shù)的真數(shù). ⑵常用對數(shù):把以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并記log10N為lgN. ⑶自然對數(shù):把以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),并記logeN為lnN. 其中e=2.71828……,是一個無理數(shù). ⑷對數(shù)恒等式:. ⒉對數(shù)的運算法則: 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 ⑴loga(M

17、N)= logaM+logaN;⑵;⑶logaMn=n logaM. ⒊對數(shù)的三個性質(zhì): ⑴1的對數(shù)為0(即loga1=0);⑵底的對數(shù)為1(即logaa=1);⑶零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù). ⒋對數(shù)函數(shù): ⑴對數(shù)函數(shù)的定義:把形如y=logax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù). ⑵對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì): y=logax (a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 圖 象 性 質(zhì) 定義域 值 域 單調(diào)性 其 它性 質(zhì) ①x>1時,y>0; ②0<x<1時, y<0; ③x=1時,y=0. 即圖象恒過點(1,0) ①x>1時, y<0; ②0<x<1時, y>0; ③x=1時,y=0. 即圖象恒過點(1,0)

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